2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（理科）（二模）（问卷）

第1页（共1页）2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（理科）（二模）（问卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}2．（5分）已知复数z＝1+i，则＝（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1 C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞14．（5分）已知，则tan2θ＝（）A． B． C． D．5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P﹣ACD1的体积为（）A． B． C．1 D．6．（5分）已知a×2a＝1，b×log2b＝1，则（）A．a＜1＜b B．b＜1＜a C．1＜a＜b D．b＜a＜17．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（）A．2 B．4 C．4 D．88．（5分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕．簸箕的三视图如图所示（单位cm），已知制造簸箕每cm2的成本是0.01元，试估计500元最多可以制造（）个簸箕A．43 B．44 C．45 D．469．（5分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为﹣2，则其一条边所在直线的斜率是（）A．﹣ B．﹣ C． D．210．（5分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝2cost，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（）A．3.6 B．3.9 C．4.0 D．4.511．（5分）已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（）A． B． C． D．12．（5分）设函数f（x）＝﹣ln|x|﹣ax+4a，其中a＜0，若仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），＝（1，﹣2），若（﹣）∥，则m＝．14．（5分）（x﹣）7的展开式中，x3的系数是．15．（5分）一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为．16．（5分）在△ABC中，tanB＝2tanC，则的取值范围为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝6，a4+a6＝20，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等，如果存在，求出CP的长，如果不存在，请说明理由．19．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝|PN|．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若曲线E与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B，C，D四点，O为坐标原点，斜率满足kOA＝2kOB，求此抛物线的方程．20．（12分）温室效应对我们的生存环境提出了挑战，节能减排是全人类的共识．某地区从当地居民的户月均用电量中随机地抽取了一批数据，将其分成6组作出了频率分布直方图，如图1：（Ⅰ）试估计该地区月均用电量的平均值和标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；（Ⅱ）由直方图可以认为，该地区居民的户月均用电量服从正态分布N（μ，σ2）其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差，这样得到正态分布的密度曲线φ（x），如图2，用随机模拟的方法向曲线φ（x）与x轴之间的区域投掷1000个点，ξ表示落入阴影部分的点的数目．（ⅰ）求E（ξ）；（ⅱ）正态分布的近似值为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.955，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．）（i）可以用作为概率P（28＜X＜106）的估计值，试求这种估计的误差不超过0.001的概率．附表：P（k）＝0.997i×0.0031000﹣ik995996997998P（k）0.18850.35280.57710.801321．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+sinx+cosx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[]时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≤1+ax，求a．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知点M是曲线C1：x2+y2﹣2y＝0上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l：y＝2，射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2、直线l分别交于A、B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，a+b≤2ab．（Ⅰ）求证：a+b≥2ab；（Ⅱ）求a与b的值．

2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（理科）（二模）（问卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}【分析】根据并集的定义写出A∪B即可．【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2．（5分）已知复数z＝1+i，则＝（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【分析】利用复数的运算将所要求解的式子化简即可．【解答】解：因为复数z＝1+i，所以＝．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1 C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．4．（5分）已知，则tan2θ＝（）A． B． C． D．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．【解答】解：∵＝，∴tanθ＝，则tan2θ＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P﹣ACD1的体积为（）A． B． C．1 D．【分析】判断P所在的平面与平面ACD1平行，然后转化求解几何体的体积即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，可知平面A1BC1∥平面ACD1，所以P到平面ACD1的距离与A1到平面ACD1的距离相等，故，所以三棱锥P﹣ACD1的体积：＝2×2×1＝．故选：B．【点评】本题考查几何体的体积的求法，平行与平面平行的判断，是中档题．6．（5分）已知a×2a＝1，b×log2b＝1，则（）A．a＜1＜b B．b＜1＜a C．1＜a＜b D．b＜a＜1【分析】根据条件即可得出a＜1，b＞1，然后即可得出正确的选项．【解答】解：∵a×2a＝1，∴a≥1时，a•2a＞1；a＜1时，a×2a＜2，∴a＜1；∵b×log2b＝1，∴b≤1时，b×log2b≤0；b＞1时b×log2b＞0，∴b＞1，∴a＜1＜b．故选：A．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】设出椭圆方程，通过四边形F1B1F2B2的面积是8，列出a的表达式，然后求解最小值即可．【解答】解：不妨设椭圆方程，F1，F2是椭圆的两个焦点（±c，0），B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，因为a2＝b2+c2≥2bc，所以8＝＝2bc≤a2，所以a≥2，当且仅当b＝c时取等号，所以椭圆长轴长的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．8．（5分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕．簸箕的三视图如图所示（单位cm），已知制造簸箕每cm2的成本是0.01元，试估计500元最多可以制造（）个簸箕A．43 B．44 C．45 D．46【分析】首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱和三棱锥组成的组合体；如图所示：利用分割法，所以，1098×0.01＝10.98元，所以n＝，故最多制造45个．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为﹣2，则其一条边所在直线的斜率是（）A．﹣ B．﹣ C． D．2【分析】根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，由正方形的性质可得tan45°＝＝1，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，正方形的对角线与四边的夹角都为45°，则有tan45°＝＝1，解可得：k＝﹣或3，故选：B．【点评】本题考查直线的夹角公式，注意两直线的夹角公式的形式，属于基础题．10．（5分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝2cost，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（）A．3.6 B．3.9 C．4.0 D．4.5【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到l的关系式，求解即可．【解答】解：由题意可知，s＝2cost，由函数的图象可知函数的周期为0.4，故，所以，所以．故选：C．【点评】本题考查了三角函数模型在实际生活中的应用，考查了三角函数的图象和性质的运用，考查了识图能力与化简运算能力，属于基础题．11．（5分）已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（）A． B． C． D．【分析】设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．求出|OH|，|FH|．通过求解三角形推出直线MF的斜率．【解答】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα＝＝，∴直线MF的斜率是﹣．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角函数求值、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）设函数f（x）＝﹣ln|x|﹣ax+4a，其中a＜0，若仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】令g（x）＝﹣ln|x|，h（x）＝ax﹣4a＝a（x﹣4），由题意可得仅存在一个整数使得g（x）≤h（x），由奇偶性的定义判断g（x）的奇偶性，利用函数的导数求解函数g（x）的最小值，结合图象，列出不等式组，转化求解即可．【解答】解：令g（x）＝﹣ln|x|（x≠0），h（x）＝ax﹣4a＝a（x﹣4），因为仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，所以仅有一个整数，使得g（x）≤h（x），因为g（﹣x）＝﹣ln|x|＝g（x），所以g（x）为偶函数，当x＞0时，g′（x）＝x﹣＝，令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝，当x→0，g（x）+∞，当x→+∞，g（x）→+∞，由偶函数的性质可得当x＜0时，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，g（x）min＝g（﹣1）＝，当x→0，g（x）+∞，当x→﹣∞，g（x）→+∞，h（x）＝a（x﹣4），恒过定点（4，0），且a＜0，作出图象，由图象可得满足条件的整数为﹣1，所以，即，解得﹣＜a≤﹣，即实数a的取值范围是（﹣，﹣]．故选：C．【点评】本题考查导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），＝（1，﹣2），若（﹣）∥，则m＝3．【分析】可求出，然后根据∥即可得出﹣2（2﹣m）﹣2＝0，从而解出m的值即可．【解答】解：∵，，且，∴﹣2（2﹣m）﹣2＝0，解得m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）（x﹣）7的展开式中，x3的系数是21．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，即得系数．【解答】解：（x﹣）7的展开式中，通项公式为：Tr+1＝•x7﹣r•＝C7r（x）7﹣2r（﹣1）r，令7﹣2r＝3，解得r＝2，∴x3的系数为：T4′＝C72（﹣1）2＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．15．（5分）一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为．【分析】投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，由此能求出投掷一次得到质数的概率．【解答】解：一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，∴投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，∴投掷一次得到质数的概率为：P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．16．（5分）在△ABC中，tanB＝2tanC，则的取值范围为（1，2）．【分析】在△ABC中，设tanC＝，则tanB＝，x∈（0，+∞），利用三角函数的定义可得＝，令f（x）＝4﹣，x∈（0，+∞），求导，根据函数的单调性即可求解其取值范围．【解答】解：如图，在△ABC中，设tanC＝，则tanB＝，x∈（0，+∞），可得＝＝，令f（x）＝4﹣，x∈（0，+∞），因为f′（x）＝＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）∈（1，4），则∈（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题主要考查了三角函数计算，考查了函数求导及函数的单调性的应用，属于中档题．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝6，a4+a6＝20，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝an，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）先设等差数列{an}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式，再根据等差数列的求和公式即可计算出Sn；（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则，解得，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，Sn＝2n+•2＝n（n+1）．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得bn＝an＝2n•22n＝2n•4n，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝2•41+4•42+6•43+…+2n•4n，4Tn＝2•42+4•43+…+2（n﹣1）•4n+2n•4n+1，两式相减，可得﹣3Tn＝2•41+2•42+2•43+…+2•4n﹣2n•4n+1＝2•（41+42+43+…+4n）﹣2n•4n+1＝2•﹣2n•4n+1＝﹣•4n+1﹣，∴Tn＝•4n+1+．【点评】本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等，如果存在，求出CP的长，如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）先证明AA1⊥BD，再利用正方形的性质证明AC⊥BD，从而可证BD⊥平面A1ACC1，由面面垂直的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，设CP＝a，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出三个平面的法向量，利用向量的夹角公式列出等式关系，求出a的值判断即可．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，又因为底面ABCD是正方形，所以对角线AC⊥BD，又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1，又BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为正方体的棱长为1，设CP＝a，则P（0，1，a），A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），所以，设平面A1BD的法向量为，则有，令x＝﹣1，则y＝z＝1，故，设平面PBD的法向量为，则有，令p＝﹣1，则q＝1，，故，因为AA1⊥平面ABCD，不妨取平面CBD的一个法向量为，因为二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等，所以，即，所以，解得，所以，故在棱CC1上不存在点P，使得二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等．【点评】本题考查了面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝|PN|．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若曲线E与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B，C，D四点，O为坐标原点，斜率满足kOA＝2kOB，求此抛物线的方程．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由|PM|＝|PN|，得＝，化简即可得出答案．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由kOA＝2kOB，得x2＝4x1，联立，得x2+（2p﹣4）x+1＝0，联立圆与抛物线的方程，由Δ＝（2p﹣4）2﹣4＞0，解得p范围，结合韦达定理可得x1x2，x1+x2，联立，解得p即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知点M（﹣1，0），N（1，0），|PM|＝|PN|，所以＝，所以动点P的轨迹E的方程为（x﹣2）2+y2＝3．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为kOA＝2kOB，所以＝2•，又y12＝2px1，y22＝2px2，整理得x2＝4x1，联立，得x2+（2p﹣4）x+1＝0，所以Δ＝（2p﹣4）2﹣4＞0，解得p＞3或p＜1，x1x2＝1，x1+x2＝4﹣2p＞0，得p＜2，联立，解得p1＝，p2＝＞2（舍去），所以抛物线的方程为y2＝x．【点评】本题考查椭圆的与圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20．（12分）温室效应对我们的生存环境提出了挑战，节能减排是全人类的共识．某地区从当地居民的户月均用电量中随机地抽取了一批数据，将其分成6组作出了频率分布直方图，如图1：（Ⅰ）试估计该地区月均用电量的平均值和标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；（Ⅱ）由直方图可以认为，该地区居民的户月均用电量服从正态分布N（μ，σ2）其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差，这样得到正态分布的密度曲线φ（x），如图2，用随机模拟的方法向曲线φ（x）与x轴之间的区域投掷1000个点，ξ表示落入阴影部分的点的数目．（ⅰ）求E（ξ）；（ⅱ）正态分布的近似值为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.955，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．）（i）可以用作为概率P（28＜X＜106）的估计值，试求这种估计的误差不超过0.001的概率．附表：P（k）＝0.997i×0.0031000﹣ik995996997998P（k）0.18850.35280.57710.8013【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中平均数以及方差的求解公式求解即可；（Ⅱ）（i）可得μ＝67，σ＝13，设事件A是点落入阴影部分，则P（A）＝0.997，利用ξ～B（1000，0.997）以及数学期望的计算公式求解即可；（ii）根据题意，所求概率为，由题中给出的数据信息求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设户月均用电量的平均值为，则＝45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05＝67；设户月均用电量的标准差为s，则s2＝（45﹣67）2×0.1+（55﹣67）2×0.2+（65﹣67）2×0.3+（75﹣67）2×0.25+（85﹣67）2×0.1+（95﹣67）2×0.05＝166，随意≈13；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可知，μ＝67，σ＝13，落入阴影部分可看作28＜X＜106，即μ﹣3σ＜X＜μ+3σ设事件A是点落入阴影部分，则P（A）＝0.997，由题意可知，ξ～B（1000，0.997），所以E（ξ）＝1000×0.997＝997；（ii）由题意可知所求概率为＝P（998）﹣P（995）＝0.8013﹣0.1885＝0.6128．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，平均数以及标准差公式的应用，正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+sinx+cosx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[]时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≤1+ax，求a．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；（Ⅱ）结合三角函数的性质判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1，结合函数恒成立，求出a的值，再代入a的值证明函数恒成立即可确定a的值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝+cosx﹣sinx，故f′（0）＝2，又f（0）＝1，故切线方程为：y＝2x+1；（Ⅱ）x∈[]时，＞0，cosx﹣sinx＝cos（x+）≥0，故f′（x）＞0，f（x）在[]单调递增，无递减区间；（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1＝ln（x+1）+sinx+cosx﹣ax﹣1，则g（x）≤0恒成立，又g（0）＝0，故0为函数的极大值点，而g′（x）＝+cosx﹣sinx﹣a，故g′（0）＝0，解得：a＝2，a＝2时，g（x）＝ln（x+1）+sinx+cosx﹣2x﹣1≤ln（x+1）+sinx﹣2x，令h（x）＝ln（x+1）+sinx﹣2x，下面证明h（x）≤0，h′（x