2022年江苏省南通市如东县掘港中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年江苏省南通市如东县掘港中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是(

)①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D【分析】根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近相关性越强.2.若的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线与曲线围成的封闭区域面积为

A.

B.12

C.

D．36参考答案：C略3.一个几何体的三视图如下图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知命题：，且，命题：，.下列命题是真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.下列命题中的真命题是

（▲）A．若，则

B．若则C．若则

D．若则参考答案：D6.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.不等式的解集为(

)A.

B.C.

D.参考答案：B8.已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），函数f（x）的图象如图所示，则f（2016π）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），求出φ，从而得到f（x）的解析式，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算求值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，T==4×（﹣）=4π，解得ω=．又图象经过（，0），0=2sin（×+φ），0＜φ＜π，φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），所以：f（2016π）=2sin（×2016π+）=．故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于中档题．9.（理）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4m，不考虑树的粗细．现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为Sm2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是参考答案：C10.已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆）,根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_____（单位cm）A.

B.C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC中，，若，则

=______________.参考答案：【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积.

F1

F3解析：因为,所以.故填.【思路点拨】先把用表示，再用向量数量积的运算性质求解.

12.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是________．参考答案：(1,3)【分析】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.13.若，则=

.参考答案：，即.，；14.命题“若实数a满足，则”的否命题是

命题（填“真”、“假”之一）．参考答案：真

15.（04年全国卷Ⅱ文）已知a为实数，(x＋a)10展开式中x7的系数是－15，则a＝

参考答案：答案：－

16.已知某算法的流程图如图所示，输出的

(x，y)值依次记为，若程序运行中输出的一个数组是，则t=

．

参考答案：略17.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为______.参考答案：【分析】根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正四棱锥，设正方形的底面边长，因为四棱锥的体积为12，即，解得，再正方形中，可得，在直角中，，可得，在直角中，，可得，在中，由余弦定理可得，所以，则外接圆的直径为，解得，即四棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：e﹣2＜a＜1．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围得出函数的单调区间，从而求出函数的最值；（2）设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，通过讨论a的范围，得出a的取值．【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，得g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，所以g′（x）=ex﹣2a．当x∈时，g′（x）∈．当a≤时，g′（x）≥0，所以g（x）在上单调递增，因此g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；当a≥时，g′（x）≤0，所以g（x）在上单调递减，因此g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b；当＜a＜时，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），所以函数g（x）在区间上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，于是，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b．综上所述，当a≤时，g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；当＜a＜时，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b；当a≥时，g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b．…（2）证明：设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由f（0）=f（x0）=0可知，f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1．同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2．故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点，由（1）知，当a≤时，g（x）在递增，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，当a≥时，g（x）在递减，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，都不合题意，所以＜a＜，此时，g（x）在区间递减，在区间（ln（2a），1）递增，因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1﹣b＞0，g（1）=e﹣2a﹣b＞0，由f（1）=0，得a+b=e﹣1＜2，有g（0）=a﹣e+2＞0，g（1）=1﹣a＞0，解得：e﹣2＜a＜1，所以函数f（x）在区间（0，1）内有零点时，e﹣2＜a＜1．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．19.（本小题满分12分）已知函数

.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.

参考答案：解：（1）的定义域为（0，+∞），…2分当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；……………4分当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调递增，在单调递减.…………5分（2）因为，所以当时，恒成立令，则,

……………6分因为，由得，且当时，；当时，.所以在上递增，在上递减.所以，故

……9分（3）由（2）知当时，有，当时，即，令，则，即

…………10分所以，，…，，相加得而所以，.……12分20.已知函数．(1)试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的；(2)(文科)若函数，试判断函数的奇偶性，写出函数的最小正周期并说明理由；(3)求函数的单调区间和值域．参考答案：解(1)∵，

∴．∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到：①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像；③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．(说明：横坐标先放缩，再平移也可．即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．)(2)(文科)由(1)知，，∴．

又对任意，有，∴函数是偶函数．∵函数的最小正周期是，∴结合图像可知，函数的最小正周期是．(3)(文科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。当时，，故．易知，此时函数的单调增区间是，单调减区间是；函数的取值范围是．因此，依据周期函数的性质，可知函数的单调增区间是；单调减区间是；函数的值域是．21.已知函数为偶函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程有且只有一个根,求实数的取值范围.参考答案：略2