吉林省长春市市育成中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

吉林省长春市市育成中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故选B．2.已知偶函数时，，=（

）

参考答案：C

3.设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，为直角顶点作等腰，则动点的轨迹是（

）

A．圆

B．两条平行直线

C．抛物线

D．双曲线参考答案：B略4.一个几何体的主视图是长为3，宽为1的矩形，左视图是腰长为2的等腰三角形，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略5.已知向量，，.若，则实数k的值为（

）A．－8

B．－6

C．－1

D．6参考答案：D6.已知向量且，则（

）A．3

B．-3

C．

D．参考答案：C试题分析：，选C.考点：向量共线【思路点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.7.在梯形ABCD中，已知，，，，若，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据向量的运算法则，化简得到，得到，即可求解.【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：，又因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

考点：二次函数实根分布

9.若,则复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（

）参考答案：D根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足，则z=2x+y的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.对函数，现有下列命题：①函数是偶函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。其中是真命题的是（

）A．①④

B．②④

C．②③

D．①③参考答案：A略13.等差数列中，则该数列前十项的和

．参考答案：14.设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=，cn+1=，则∠An的最大值是． 参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用． 【分析】根据数列的递推关系得到bn+cn=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论． 【解答】解：∵an+1=an，∴an=a1， ∵bn+1=，cn+1=， ∴bn+1+cn+1=an+=a1+， ∴bn+1+cn+1﹣2a1=（bn+cn﹣2a1）， 又b1+c1=2a1， ∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0， 当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0， … ∴bn+cn﹣2a1=0， 即bn+cn=2a1为常数， ∵bn﹣cn=（﹣）n﹣1（b1﹣c1）， ∴当n→+∞时，bn﹣cn→0，即bn→cn， 则由基本不等式可得bn+cn=2a1≥2， ∴bncn， 由余弦定理可得=（bn+cn）2﹣2bncn﹣2bncncosAn， 即（a1）2=（2a1）2﹣2bncn（1+cosAn）， 即2bncn（1+cosAn）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosAn）， 即3≤2（1+cosAn）， 解得cosAn， ∴0＜An， 即∠An的最大值是， 故答案为： 【点评】本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大． 15.若4x﹣5×2x+6≤0，则函数f（x）=2x﹣2﹣x的值域是．参考答案：[，]【考点】一元二次不等式的解法；函数的值域．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】用换元法，设t=2x，求出t的取值范围，再把函数f（x）化为f（t），求f（t）的值域即可．【解答】解：∵4x﹣5×2x+6≤0，∴（2x）2﹣5×2x+6≤0，设t=2x，则原不等式化为t2﹣5t+6≤0，解得2≤t≤3；又函数f（x）=2x﹣2﹣x=2x﹣，∴f（t）=t﹣（t∈[2，3]），∴f′（t）=1+＞0，∴f（t）在t∈[2，3]上是增函数，∴f（2）≤f（t）≤f（3），即≤f（t）≤；∴f（x）的值域是[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了求函数值域的应用问题，是综合性题目．16.函数在区间上的最大值是

。参考答案：1817.函数的最小正周期是

，单调递增区间是

.参考答案：

，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列的首项，公差，且第项、第项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设数列对，均有成立，求．参考答案：解：（Ⅰ）

解得

又所以，等比数列的公比（Ⅱ）

当时，两式相减，得

当时，不满足上式

故略19.给出定义:若(其中为整数),则叫做与实数“亲密的整数”,记作,在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于直线对称;③函数是周期函数,最小正周期为1;④当时，函数有两个零点.其中正确命题的序号是____________.参考答案：②③④略20.动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)求证：；

(Ⅲ)求△ABM的面积的最小值．参考答案：(Ⅰ)解：由已知，动点P在直线上方，条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线距离 1分

∴动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线为准线的抛物线

故其方程为． 2分(Ⅱ)证：设直线AB的方程为：

由得： 3分

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 4分

由得：，∴

∴直线AM的方程为：① 5分

直线BM的方程为：② 6分

①－②得：，即 7分

将代入①得：

∴

故 9分

∴

∴ 10分(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M到AB的距离

∵

∴

∴当k=0时，△ABM的面积有最小值4． 12分

21.(本小题满分12分)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E-AG-C的大小.

参考答案：解：（Ⅰ）因为，，，平面，，所以平面，又平面，所以，又，因此（Ⅱ）解法一：取的中点，连接，，.因为，所以四边形为菱形，所以.取中点，连接，，.则，，所以为所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.解法二：以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，故，，，设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.所以.因此所求的角为.22.设是定义在上的奇函数，函数与的图象关于轴对称，且当时，．（I）求函数的解析式；（II）若对于区间上任意的，都有成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）∵的图象与的图象关于y轴对称，∴的图象上任意一点关于轴对称的对称点在的图象上．当时，，则．

2分∵为