江苏高考数学(理科)答案与解析

2014江苏高考数试题及参考案数学I一、填空题：本大题共4小，每小，共计分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

开始．已知集合A1,3,4}，B1,2,3}，【解析】{

______

n0nn+2>20

N．已知复数(52i)【解析】

(i是虚数单位，的部为．

Y输出254i20i．右图是一个算法流程图，则输出的的是______【解析】5

结束(第)．从这4个数中一次随机地取个数，则所取2个数的乘积为6的率______．【解析】

当且仅当两数或2,3时乘积为6，2种况，从这4个中任取两个数有C

种故概率为

π．已知函数y与ysin(2x(0，们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是．【解析】

π

由题意，

π22π，，333当且仅当

π5π，时等式成立6．某种树木的底部周长的频率布直方图如图所示，则在抽测的6株木中，______株树的底部周长小于cm0.0300.0250.0200.0150.010底部周/(第6题【解析】∵(0.1524．在各项均为正数的等比数列{}中若，，则的为_____．【解析】设公比为(0)，由aa得aq

2q

，解得，a9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，积分别为,，它们的侧面积相等，且，则【解析】

的值是_．设两圆柱底面半径为rr，圆柱的高为h,hr3rh23则，两圆柱侧面积相等，∴，，r2rh3Vh2

．在平面直角坐标系xoy中直线被xy得的弦长为_______．【解析】∵圆心到线的离d

∴直线y被(x

截的弦长为24

．已知函数(x围是_______．2【解析】,0

，若对于任意xm,m，有f()成立，则实数的值范m若，称轴x，f(m，解得，去；当时

m

，fx在上最大值只可能在和处到因此

fm)fmm

2，解得2．在平面直角坐标系xOy

b中，若曲线为常数过且该曲线在点处的切线与直线xy平，则a的是______．【解析】由已知，∴a

b7又，∴a，得bax．如图，在平行四边形ABCD中已知AB，AD，PD，，AB的值是_______．

11DP

CA

B(第题)【解析】∵DPAD，BCCPADAB∴APAD

11ABAB，AB222．已知()是定义在R上周期的的数，当[0,3)，fx)

x

，若函数f(x)在间[上0个零点（互不相同），则实数a的值范围是．【解析】0,2由已知得曲线yf()与y在3,4]范围内10交点，数形结合得到0

．若的角满足sin2C，则cosC的小值是_______．【解析】

624由已知，2c

π2，∴π2，∴cos

1(a+ab2ab4

2b2，且仅当b时等号成立ab4三、解答题（本大题共6小，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程及计算步骤。）．（本小题满分14分已知

，sin

55

．⑴求

sin

的值；⑵求

π

的值．【解析】∵

，

sin

cos1ππsinsincossin4

210sin210(2)∵22sin

cos

4,cos2cos55∴

ππcos2coscos

33422

3410．（本小题满分14分如图，在三棱锥PABC中,EF分为棱PCAC,AB中点，已知PAAC，，，DF求证：(1)直//平面DEF；(2)平面ABC．

PDA

F

E

CB16)【证明(1)

为

中点，∴∵PA

平面DEF，DE

平面DEF∴PA平D(2)∵

为

中点，∴DE

12

PA∵为点，∴

4∴DE

2

EF

2

DF

2

，∴，∴DE∵DE∥PAAC，∴∵ACEFE，

平面ABC∵DE

平面，平面

平面ABC17．（本小题满分14分如图直角坐标系xOy中分椭圆12

x22

a右焦点的坐标为BF并交圆于点Ax的垂线交椭圆于另一点C．2点C的为

41，，且BF33

2

2,求的方；1

AB求椭圆离心率e的．

9b119b11abcyFOF

x【解析】∵C,

116，∴，ba∵BF

，∴

22，b

∴椭圆方程为

x2

y(2)设焦点FBF:xy与椭圆方程联立得，理得bcx

xc解得x或x

22a2

2∵A∴

2c2bba2a

，且、关x轴称∴

2bb2ac3aa

∵AB∴3c由得

c1，e=a5

．（本小题满分16分如图，为保护河上古桥，划建一座新BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸垂；保护区的边界为圆心M在段上与BC相的圆．且古两端和A到该圆上任意一点的距离均不少于m．测量，点位于点O

正北方向m处C位点O东方向170m处（河岸），BCO求桥的；当多时，圆保护区的面积最大？

北60m

MO

东(第题【解析】⑴过B作BE于E，作AFF，∵∴BCE∴ABFBCO

43设，BFx(m)∵AFE∴四边形为矩形∴AFx，EFAO60m∴∵tan

，∴CEBEm

∴OCxx45∴170∴，∴120m，．∴BC(2)设BC与切于延长、于P∵PQC90∴PMOBCO设，

45，PMx33∴PC170m∴PQ136，半径R∴Rm136m5∵A、O到O上任一点距离不少于则R≥80，ROM≥3∴136≥，≥805∴10≤x35∴R大当且仅当时到∴OM时，保护区面积最大．（本小题满分16分已知函数f()

，其中自然对数的底数(1)证明：fx)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)

在(0,恒立，求实数m的取值范围；

(3)已知正数满：存在x，得f)(大小，并证明你的结论．

x)立，试比较e与的【解析】R,f(

f(x)，f()是上的偶函数(2)由题意，

)

，

∵(0,∴即m

x

对(0,成令tt，则m

1t

对任意t成.∵

tttt

t

，当且仅当t时等号成立t∴

⑶，x时

，()在(1,单调增令(x))，

(∵，，

，即h()在(1,单减∵存在[1，得f(x)()，f

1即2∵ln

eea

lna

e

ln

a

1)ln设m()a，m

，(e)a211当(e)时m，m单增；当时m，ma)单调减2e因此m(a至有两个零点，而m(e)11∴当时m()，(e)时m()，a时m)2e∵a)a，m)a，m)故当(e

)

；当时

；当a时a

．（本小题满分16分

设数列{}前n是“H数”．

项和为S．若对任意的正整数

，总存在正整数，使得S，称{}(1)若数列{}前项和为(N*)，明：则{}是数(2)设{}等差数列，其首项，差，{}是“H数

的值；(3)证明任的等差数列{}存两H数列{b}和{}得a成．【解析】当n2时a当时a

∴时，Sa，时∴{}是“H数”

Sna

(nn(nd2对

*

，*使S，

n(2

取得md，

∵∴m，又N*，m，d⑶设{}公差为d令na(2)a，对

*

，

cna)，

*

，

则d，且{}{}为等差数列{}前项na

(()，令T(2)，则当时m当m当时由于与n奇性不同，即n(非偶数，因此对，可找到*使成，即{}为H数列

*{}的前n项和

(((a)，令a)，m2∵对*，n(是负偶数，∴*

2y即对*，都可找到mN*使得R成，即{}为H数列因此命题得证数Ⅱ附题【做】题括A、B、、四题，请选定其中两小题，并在相应答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4-1：几何证明选讲】本小题满分10分）如图，AB是圆的径，圆上于侧的两点，证明：OCBB.【修4-2：矩阵与变换】（小题满分1分2已知矩阵，B，量a

，y是数，若Aaa，的C.【修4-4：坐标系与参数方】（本小题满分10分在平面直角坐标系中，已知直线l

的参数方程

xy2

2222

(t是数)，直线l

与抛物线

x相于两点求线段的长D．【选修4-5：不等式选讲】（小题满分10分）已知，，明：(1y)(1y【解析】．证明：OB，∴又∵，B．解：A，aABa得

yy

，解得x

，C．解：直线l:xy代入抛物线方程

并理得x

x

∴交点A(1,2)，，82

2

D．证明：由均值不等式

y≥1y3分别当且仅当xy，xy时候等号成立因此

x

xy当且仅当xy的候等号成立【必做题】22题第23题每题分，计20分，在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分盒中共有9个，其中有4个球，个黄球和绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机抽出个球，求取出的2个颜色相同的概率(2)从盒中一次随机抽出个球，其中红球、黄球、绿球的个分别为x,,，随机变量X表示,x,的大数，求X的率分布和数期望E)【解析】一次取个共有

36种能情况，个球颜色相同共有C

+C

+C

种能情况105∴取出的个颜色相同的概率3618(2)X的有可能取值为4,3,2，(X4)11于是(2)(X(X14∴X的率分布列为

113，(X3)126C

，

3

P故X的学期望

1631269

ππππ23.（本小题满分10分已知函数fx)

sinxx

(x0)

，设f(

为f(

的导数，

*(1)求f()f()22

的值(2)证明：对任意n

*

，等式

πππ2()f()都成立44【解析】(1)(),两边求导得f(x)xf()两边再同时求导得2f(x)xf(x)x

(*)将x

ππ代入(*)式得()f(