2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题3 数列（理科）解答题30题 含答案

2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题3数列（理科）解答题30题1．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（理）试题）已知数列满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：2．（陕西省渭南市华阴市2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．3．（内蒙古满洲里市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试试题理科数学试题）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（理）试题）设等差数列的前项和为，，数列为等比数列，其中，，.(1)求，的通项公式；(2)若，求的前项和.5．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（理科）试题）在数列中，，它的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，求数列的前n项和.6．（2023·贵州·校联考一模）已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．7．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知是数列的前项和，已知目，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知数列的前n项之积为．(1)求数列的通项公式；(2)设公差不为0的等差数列中，，，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．9．（贵州省贵阳市第一中学2023届高三上学期12月月考数学（理）试题）已的数列的首项，，．(1)求证：数列等比数列；(2)记，若，求的最大值．10．（贵州省遵义市红花岗区2023届高三上学期第一次联考数学（理）试题）已知数列满足，，．(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；(2)设，记为数列的前项和，求．11．（专题04数列求和及综合应用之测案（理科科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版））已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2021.12．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）设数列的前n项和为，．(1)证明：数列是等比数列．(2)若数列的前m项和，求m的值．13．（甘肃省2022届高三下学期第一次高考诊断考试理科数学试题）已知数列满足，．数列满足，，，．(1)求数列及的通项公式；(2)求数列的前n项和．14．（河北省邯郸市部分学校2023届高三上学期11月月考数学试题）在公差不为0的等差数列中，成公比为的等比数列，又数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.15．（山东省实验中学2022-2023学年高三第二次诊断考试数学试题）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足的前项和为，求证:．16．（山西省2022届高三第二次模拟数学（理）试题）已知数列的前n项和为，若，．(1)求证：数列是等差数列；(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．①；②．17．（内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题）正项数列中，，，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．①，；②为等差数列；③为等差数列，试完成下面两个问题：(1)求的通项公式；(2)求证：．18．（宁夏育才中学2023届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列的前项和为，且.在数列中，，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19．（宁夏青铜峡市宁朔中学2023届高三上学期线上期末考试数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，．(1)求数列和的通项公式；(2)若设的前项和为，求．20．（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）已知等差数列满足，，数列满足，．(1)求，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．22．（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．23．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）已知为数列的瞐项和.且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.24．（江西省萍乡市2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）记为数列的前n项和，已知(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.25．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知为数列的前n项和，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求前项的和.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）已知数列的前n项和为(1)证明：数列{}为等差数列；(2)，求λ的最大值．27．（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）已知等比数列的前项和为，，且成等差数列.(1)证明数列是等比数列；(2)若，求数列前项和.28．（青海省2022届高三五月大联考理科数学试题）已知正项数列的前n项和为满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．29．（山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）在①；②，；③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．已知正项数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，记表示x除以3的余数，求．注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．30．（山西省吕梁市2022届高三第二次模拟数学（理）试题）已知为数列的前n项和，且；数列是各项均为正数的等差数列，，4，成等比数列，且．(1)求数列和的通项公式；(2)若，证明．专题3数列（理科）解答题30题1．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（理）试题）已知数列满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)由题意可知，数列是等比数列，可求通项.(2)由（1）化简可得，数列是等比数列，求其前项和为，可证.【详解】（1）由已知，，可得数列是1为首项为公比的等比数列，所以.（2），，，所以数列是为首项为公比的等比数列，，由，则，即.2．（陕西省渭南市华阴市2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，（2）由错位相减法即可求和.【详解】（1）设数列的公差为，则解得∴．（2）依题意，知数列的通项公式为．由（1）知，∴，，①①×3得，②①-②得，∴．3．（内蒙古满洲里市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试试题理科数学试题）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.(2)求得，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（1）由，得，由成等比数列，得，即，整理得，又因为公差d为整数，所以，所以数列的通项公式为；（2）==，所以==．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（理）试题）设等差数列的前项和为，，数列为等比数列，其中，，.(1)求，的通项公式；(2)若，求的前项和.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可；（2）运用等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】（1）设数列的公差为，则，，，由得，，∴，或.当时，，；当时，，，所以当时，，；当时，，；（2）若，即，∴，，又，∴，∴.5．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（理科）试题）在数列中，，它的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合函数的单调性得到数列的最大项和最小项，解出，可得等比数列的通项公式；（2）用错位相减法求数列的前n项和【详解】（1）由题意，，结合函数的单调性，可知，所以数列中的最大项为，最小项为，所以，即，所以等比数列的公比，（2），，，两式相减得：，故.6．（2023·贵州·校联考一模）已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值．【答案】(1)（）(2)5【分析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解.（2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解.【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，则由题意得：，即，解得：或，因为数列是递增的等比数列，所以，即，，所以，故数列的通项公式为（）.（2）由（1）得：（），则，①即，②则得：即（），所以（），设，则（），因为在上单调递减，所以是单调递减数列，又有，，所以当且时，成立，故使成立的最大正整数的值为.7．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知是数列的前项和，已知目，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，.(2)，其中.【分析】对于（1），先由可得表达式，再由，其中.可得的通项公式；对于（2），由（1）可得，则，据此可得数列的前项和.【详解】（1）由题，又由，.可得，.故.则当，时，.又时，，故数列的通项公式是，.（2）由（1）可知，，则.则当为偶数时，.当为奇数时，.综上：，其中.8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知数列的前n项之积为．(1)求数列的通项公式；(2)设公差不为0的等差数列中，，，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．【答案】(1)；(2)条件选择见解析，.【分析】（1）根据给定条件，利用前n项积的意义求解作答.（2）选择条件①②，结合等差数列求出的通项，再利用错位相减法求解作答.【详解】（1）因为数列的前n项之积为，则当时，，而当时，满足上式，所以数列的通项公式是．（2）选①，，设等差数列的公差为d，而，则，又，解得，因此，，则于是得两式相减得，所以．选②，，而数列是等差数列，则，即，又，则公差，因此，，则于是得两式相减得，所以．9．（贵州省贵阳市第一中学2023届高三上学期12月月考数学（理）试题）已的数列的首项，，．(1)求证：数列等比数列；(2)记，若，求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列的通项公式，然后根据等比数列的求和公式代入计算，结合函数的单调性即可得到结果.【详解】（1）证明：因为数列满足，即整理得，又所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即所以由可得，，即因为函数在上单调递增，且满足故满足条件的最大值为10．（贵州省遵义市红花岗区2023届高三上学期第一次联考数学（理）试题）已知数列满足，，．(1)求，，，并写出一个符合题意的的通项公式（不需要证明）；(2)设，记为数列的前项和，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出数列的周期为3，写出通项公式；（2）在第一问的基础上，写出的通项公式，并分组求和.【详解】（1），，，可看出数列为周期为3的数列，故，理由如下：为周期为3的数列，当时，，当时，，当时，；（2）由第一问可知：，则，故.11．（专题04数列求和及综合应用之测案（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版））已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2021.【答案】(1)an＝n(2)【分析】（1）由Sn＝，则当n≥2时，，相减求得(n－1)an＝nan－1，验证n=1后，从而求得数列{an}的通项公式；（2）代入后利用裂项求和求得T2021的值.【详解】（1）解：由题设，Sn＝①当n≥2时，②①－②，得，则(n－1)an＝nan－1.∴.所以an＝n.又a1适合上式，故an＝n.（2）解：..12．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）设数列的前n项和为，．(1)证明：数列是等比数列．(2)若数列的前m项和，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）根据与的关系式化简证明；（2）由（1）得数列的通项公式为．所以，继而求和计算.（1）当时，，．当时，，两式相减得，即，，则数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，，当时，，数列的通项公式为．，，令，得，解得．13．（甘肃省2022届高三下学期第一次高考诊断考试理科数学试题）已知数列满足，．数列满足，，，．(1)求数列及的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据等差、等比数列的定义直接求出通项公式即可；（2）利用分组求和及等差、等比数列的求和公式求解.（1）由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，由可知数列是等差数列，首项，公差，所以.（2）即14．（河北省邯郸市部分学校2023届高三上学期11月月考数学试题）在公差不为0的等差数列中，成公比为的等比数列，又数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比中项的性质，建立方程，解得首项，利用等差数列的通项，整理方程，可得公差，可得答案；（2）由（1）可得数列的通项公式，分奇数和偶数两种情况，利用分组求和，结合等差和等比的求和公式，可得答案.【详解】（1）公差d不为0的等差数列中，成公比为的等比数列，所以，则，即，解得，在公差不为0的等差数列中，由，可得，代入，可得，整理可得，解得，所以.（2）由（1）可得，当n为偶数时，；当n为奇数时，.所以15．（山东省实验中学2022-2023学年高三第二次诊断考试数学试题）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足的前项和为，求证:．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；（2）利用裂项相消求和即可.【详解】（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，又，可得方程组，即，又，解得，故．（2），所以因为，所以．所以．16．（山西省2022届高三第二次模拟数学（理）试题）已知数列的前n项和为，若，．(1)求证：数列是等差数列；(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．①；②．【答案】(1)证明见解析(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据可得，相减可得，再得到，再次相减即可证明结论；（2）若选①，则讨论n的取值范围，分段求得结果；若选②，将化为，利用（1）的结果，结合等差数列的前n项和公式求得答案．（1）证明：因为，所以，则，两式相减得，所以，以上两式相减得，所以数列是等差数列．（2）中令得，又，所以等差数列的公差，所以，，若选①：若，，则；若，，所以；若选②：．17．（内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题）正项数列中，，，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．①，；②为等差数列；③为等差数列，试完成下面两个问题：(1)求的通项公式；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）选①，由已知分n为奇数和偶数两种情况可得，即得答案；选②：根据为等常数列即可求得的通项公式；选③:由为等差数列可求得，继而利用求得答案.（2）由（1）的结论，利用裂项求和可求得的表达式，即可证明结论.【详解】（1）选①：，设，则n为奇数时，，，设，则n为偶数时，，所以.选②：的第1项为，第2项，则，则.选③:为等差数列，，，则，则，，则，经检验也成立，所以．（2）证明：由（1）可得，则，则18．（宁夏育才中学2023届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列的前项和为，且.在数列中，，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求通项公式；（2）先求出，再用错位相减法求和.【详解】（1）由题意数列的前项和为，且，当时，；当时，，所以，经检验：也适合上式.故.（2）在数列中，，若，则，与矛盾，故所以，则，其中，所以，所以.故.所以，故，两式相减得：，即，所以.19．（宁夏青铜峡市宁朔中学2023届高三上学期线上期末考试数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，．(1)求数列和的通项公式；(2)若设的前项和为，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接根据题意列出关于和的方程组，解出结合等差、等比数列的通项公式即可得结果；（2）先求出，再将分组求和与裂项相消法相结合即可得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，或是正项等比数列，，．（2）由（1）知，，．20．（宁夏银川市第一中学2023届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）确定数列是首项为，公差为1的等差数列，利用等差数列和等比数列公式分别计算三种情况得到答案.（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1），所以，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列．若选①：由，得，即，所以，解得．所以，即数列的通项公式为．若选②：由，，成等比数列，得，则，所以，所以．若选③：因为，所以，所以，所以．（2），则，则，，两式相减得：，故．21．（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）已知等差数列满足，，数列满足，．(1)求，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据等差数列的基本量结合题意求得首项和公差，即可求得；利用累加法，结合等比数列的前项和公式，即可求得；（2）根据（1）中所求，求得，再利用错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设数列的公差为，由题可得，解得，故；因为满足，，故当时，，故，符合该式，所以；（2）由题可得，设的前项和为，则，故，则即，故.故数列的前项和为.22．（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意列出方程组，求得首项和公比，即得答案；（2）根据，可得的表达式，结合等比数列的前n项和公式和裂项求和法，即可求得答案.【详解】（1）由题意得，故，，即；（2）由已知，得n为奇数时，；当n为偶数时，，则．23．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）已知为数列的瞐项和.且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，两式相减后得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可;（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项相消法可得数列的前项和.【详解】（1）①当时，②，①-②得，即，又当时，，得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；（2）由（1）得，24．（江西省萍乡市2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）记为数列的前n项和，已知(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得到，将换成，然后两式相减并化简可得，由累乘法可得答案.（2）先代出，由错位相减法可得出答案.【详解】（1）由可得

（1）当时，

（2）由（1）（2）得，化简得当时，，也满足上式所以（2）设，则则两式相减得所以25．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知为数列的前n项和，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求前项的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得；（2）结合（1）得，进而分组求和即可.【详解】（1）解：因为，所以，当时，，解得，当时，，，所以，即，所以，数列是等比数列，公比为，首项为，所以，数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，所以，记前项的和为，所以，.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）已知数列的前n项和为(1)证明：数列{}为等差数列；(2)，求λ的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；（2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．【详解】（1），∴，∴，∴，又∵，∴，所以数列是以为首项和公差的等差数；（2）由(1)知：，所以，∴，∴，又满足上式，∴，因为，所以，所以，记，又在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，所以，所以的最大值为．27．（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）已知等比数列的前项和为，，且成等差数列.(1)证明数列是等比数列；(2)若，求数列前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再根据求和公式得到，再证明即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）∵是等比数列，且①，又、、成等差数列，∴，∴②，联立①②解得，∴，∴，∴，∴数列是公比为的等比数列．（2）由（1）知，所以，∴①，②，①②得，，整理得.28．（青海省2022届高三五月大联考理科数学试