专题《分类讨论思想》课件

专题19分类讨论思想分类讨论思想思想方法概述热点分类突破真题与押题思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.32.分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则(1)不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.4.解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论热点二由图形位置或形状引起的讨论热点三由参数引起的分类讨论热点分类突破热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.思维升华变式训练1答案C(2投)已知冻数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常患数)，则欠数列{an}是()A.等差梦数列B.等比誓数列C.等差助数列弄或等课比数耀列D.以上觉都不徒对解析∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等却比数权列；当p＝1时，{an}是等苍差数究列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此快时{an}既不剂是等卖差数落列也骄不是习等比委数列.答案D热点奋二盈由案图形鞋位置篇或形您状引翻起的垄讨论解析画出控不等巧式组漏表示帮的平典面区剑域(如图).当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整肉点；当x＝0时，0≤y≤3，有4个整晕点；当x＝1时，撒－1≤y≤4，有6个整寄点；当x＝2时，穷－2≤y≤5，有8个整伐点；所以雀平面介区域州内的昂整点铸共有2＋4＋6＋8＝20某(个).答案20(2甩)设圆千锥曲刺线T的两番个焦功点分弹别为F1，F2，若疲曲线T上存孤在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则鞠曲线T的离倦心率秘为__下__冶__翠__射.解析不妨夕设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若该立圆锥撞曲线脑是双秆曲线劣，则膏有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.思维升华变式山训练2答案D解析若∠PF2F1＝90鲁°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，若∠F2PF1＝90胁°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，例3(2蓄01纸4·四川可改编)已知奖函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其稀中a，b∈R，e＝2.紧71笑8晚28…为自科然对腹数的犁底数.设g(x)是函址数f(x)的导能函数种，求销函数g(x)在区仿间[0,搁1]上的补最小跟值.热点海三跨由问参数卸引起寒的分骑类讨厨论解由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此拼，当x∈[0鹿,1旗]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a].所以g(x)在[0,宅1]上单或调递硬增，因此g(x)在[0,宜1]上的站最小里值是g(0揪)＝1－b；因此g(x)在[0,抛1]上的苗最小咬值是g(1多)＝e－2a－b；所以义函数g(x)在区邻间[0，ln少(2a)]上单仓调递贯减，金在区投间(l偷n(沙2a)，1]上单斑调递匠增.于是耳，g(x)在[0专,1闯]上的投最小触值是g(l码n(贷2a))＝2a－2aln矿(2a)－b.g(l柏n(究2a))＝2a－2aln距(2a)－b；g(1款)＝e－2a－b.一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏.思维升华变式浇训练3(1征)若函谷数g(x)过点(1醋,1尚)，求蛙函数f(x)的图拴象在x＝0处的由切线熔方程逮；所以统所求架的切顶线的着斜率么为3.又f(0呼)＝0，所蛇以切膏点为(0裤,0渔)，故所项求的锻切线馋方程姿为y＝3x.(2杯)判断老函数f(x)的单盆调性.①当a≥0时，振因为x>－1，所夏以f′(x)>杀0，故f(x)在(－1，＋∞)上单侵调递减增.故f(x)在(－1，－1－a)上单附调递月减；故f(x)在(－1－a，＋∞)上单柿调递因增.综上良，当a≥0时，或函数f(x)在(－1，＋∞)上单绒调递从增；当a<0时，不函数f(x)在(－1，－1－a)上单裁调递阶减，在(－1－a，＋∞)上单糟调递绘增.分类市讨论漏思想历的本姿质是“化整坝为零猫，积凤零为佛整”.用分津类讨览论的世思维降策略猾解数芹学问殃题的引操作庭过程扯：明涉确讨房诚论的适对象草和动席机→确定喊分类奥的标隐准→逐类法进行贷讨论→归纳璃综合脊结论→检验涨分类崭是否蔑完备(即分报类对烛象彼楼此交己集为造空集相，并世集为隆全集).做到“确定久对象叼的全犁体，妈明确旁分类伏的标讯准，眯分类遍不重添复、宵不遗产漏”的分耻析讨佛论.本讲限规律至总结常见梳的分扒类讨涌论问阵题有族：(1描)集合川：注进意集团合中社空集∅的讨亮论.(2垦)函数淋：对栏数函川数或熊指数求函数石中的盈底数a，一押般应陈分a>1和0<a<1的讨侵论；挖函数y＝ax2＋bx＋c有时浩候分a＝0和a≠0的讨好论；倦对称懂轴位墓置的吨讨论躬；判侍别式掀的讨雨论.(3清)数列赚：由Sn求an分n＝1和n>1的讨骂论；售等比芦数列晚中分虫公比q＝1和q≠1的讨执论.(4郑)三角佣函数浇：角级的象嫌限及房诚函数牛值范握围的疗讨论.(5堪)不等惩式：秒解不侍等式烘时含风参数早的讨孕论，型基本伤不等牛式相置等条经件是锤否满德足的还讨论.(6支)立体歉几何桑：点明线面寺及图谢形位无置关坚系的糕不确罪定性凑引起杯的讨范论；(7估)平面俩解析逃几何密：直车线点屈斜式舍中k分存繁在和漆不存售在，央直线寸截距纷式中妄分b＝0和b≠0的讨划论；宇轨迹崇方程稠中含领参数超时曲氏线类贡型及孤形状深的讨植论.(8宁)排列盈、组弱合、欺概率嫌中的叼分类强计数织问题.(9普)去绝外对值拒时的钻讨论时及分针段函猪数的房诚讨论择等.真题身感悟押题秀精练真题胆与押劣题12真题污感悟3当B＝

时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2＋2＝5，所以AC＝

，此时△ABC为钝角三角形,符合题意；当B＝

时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝

.答案B12真题六感悟32.行(2典01插3·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区豪间(0，＋∞)内单导调递粉增”的()A.充分非不必陶要条欲件B.必要猫不充亚分条鹿件C.充分差必要锤条件D.既不邪充分返也不乌必要谱条件12真题遇感悟3解析当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区葬间(0，＋∞)上单毅调递丝式增；当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；12真题亭感悟3当a>0时，丘结合咸函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图吩象知饥函数正在(0，＋∞)上先增后溜减再版增，选不符静合条洪件，恐如图(2厌)所示.所以炎，要倘使函易数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单杨调递分增只夫需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区纪间(0，＋∞)内单长调递牙增”的充与要条约件.答案C12真题化感悟33.蜓(2旨01西4·广东)设集弄合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,胶0,腥1}，i＝1,悲2,避3,庄4,绝5}，那性么集值合A中满锤足条捐件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元俗素个抬数为()A.线60终B.用90挪C育.1迹20融D窗.1矿3012真题慌感悟3解析在x1，x2，x3，x4，x5这五由个数棵中，术因为xi∈{－1,量0,净1}，i＝1,册2,丑3,烂4,修5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有

×2种；②两个1(或－1)，三个0，有

×2种；③一个－1，一个1，三个0，有

种；12真题祖感悟3④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有

×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有

×2种.答案D12真题距感悟3押题渡精练123456解析若a＝0，则f(x)在定偷义域铅的两碎个区容间内货都是兆常函伯数，捎不具侨备单扔调性各；若a>0，函尼数f(x)在两摇段上巾都是畅单调燃递增叛的，她要使灯函数宏在R上单送调递收增，使只要(a＋2)浊e0≤1，即a≤－1，与a>0矛盾景，此虚时无窗解.若－2<a<0，则隆函数厨在定开义域谁的两吐段上届都是靠单调沈递减课的.押题耗精练123456要使仆函数喝在R上单磁调递累减，毯只要a＋2≥1即a≥－1，即配－1≤a<0者.当a≤－2时，传函数f(x)不可息能在R上单蜓调.综上羽，a的取旦值范业围是[－1,他0)弄.答案C押题纯精练123456押题贞精练123456解析当公今比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符漠合要绪求.押题初精练123456答案C3.抛物国线y2＝4px(p>0砌)的焦育点为F，P为其劝上的流一点忽，O为坐心标原未点，祥若△OP洲F为等尖腰三泉角形设，则奇这样看的点P的个躁数为()A.你2断B姻.3将C安.4涌D.书6押题允精练123456解析当|PO|＝|PF|时，铃点P在线跌段OF的中察垂线冷上，话此时稀，点P的位利置有光两个存；当|OP|＝|OF|时，餐点P的位字置也泼有两榜个；对|FO|＝|FP|的情无形，摘点P不存包在.事实吩上，F(p,0)，押题害精练123456又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解各得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，复不构吸成三锁角形.当x＝－2p(p>0侍)时，为与点P在抛推物线倡上矛某盾.所以焦符合联要求昂的点P一共嗽有4个.答案C4.怀6位同钻学在猴毕业扭聚会希活动挑中进伴行纪誓念品云的交朴换，述任意汗两位慎同学逐之间盾最多善交换恢一次若，进侄行交谊换的嘴两位里同学达互赠愧一份造纪念汉品.已知6位同装学之扰间共捉进行蹄了13次交鲜换，复则收谣到4份纪音念品净的同肚学人缎数为()A.殊1或3困B价.1或4C.侮2或3拾D习.2或4押题社精练123456解析设6位同枣学分糊别用a，b，c，d，e，f表示.若任稀意两诸位同爹学之临间都郊进行况交换药共进央行15次交圆换，刻现共资进行刚了13次交枯换，说明限有两极次交甩换没威有发冷生，展此时计可能挺有两是种情暂况：(1寺)由3人构摘成的2次交弯换，否如a－b和a－c之间叙的交观换没拐有发狐生，童则收尚到4份纪贺念品配的有b，c两人.押题士精练123456(2喝)由4人构愤成的2次交链换，养如a－b和c－e之间论的交蠢换没裁有发幅生，则收赞到4份纪号念品盟的有a，b，c，e四人.故选D.答案D押题堡精练1234565.已知昼等差属数列{a