世纪金榜第八章第六节

第六节椭圆(二)1.椭圆的第二定义第二定义

平面内当点M与一个_____的距离和它到___________的距离的比是常数e(______)时，这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的_____，定直线叫椭圆的_____，常数是椭圆的_______.

焦半径

左焦半径MF1=a+ex0，右焦半径MF2=a-ex0

上焦半径MF2=a-ey0，下焦半径MF1=a+ey0

准线方程

x=______y=______通径

过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为_____定点一条定直线0<e<1焦点准线离心率2.弦长公式设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则AB=判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)到定点的距离与定直线的距离的比值为常数的点的轨迹为椭圆.()(2)过椭圆焦点的弦叫通径.()(3)M(2，0)为椭圆上的点，则上焦半径为4+()(4)椭圆的准线在椭圆的外部.()【解析】(1)比值必须满足大于0且小于1，故(1)错误.(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，故(2)错误.(3)上焦半径为a-ey0=4-×0=4，故(3)错误.(4)>a,故(4)正确.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√1.已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为5，则点P到右准线的距离为________.【解析】由已知易得P到椭圆右焦点的距离为10-5=5,答案:

2.设P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，F1是椭圆的右焦点，且则点P到该椭圆左准线的距离为________.【解析】由题设易知M是PF的中点，且OM⊥PF，由OM=知，PF=2MF=2×=2，又知椭圆的离心率由椭圆的第二定义得：点P到椭圆左准线的距离答案:

3.已知A，B为椭圆C：的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是则实数m的值是______.【解析】P位于短轴的端点时，∠APB取得最大值，根据题意则有答案：

4.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为_______.【解析】将椭圆与直线方程联立得交点A(0，-2)，故S△OAB=·OF·|y1-y2|=答案:

5.过椭圆的左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点，则弦长AB=________.【解析】由已知可得：a2=4,b2=3,∴c2=4-3=1,∴椭圆的左焦点为F1(-1，0)，则直线方程为：y=x+1.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由得7x2+8x-8=0,故x1+x2=x1x2=∴AB=答案:

考向1

椭圆中的最值与范围问题【典例1】(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_______.(2)如图，已知椭圆C:(a>b>0)的左顶点，右焦点分别为A,F，右准线为m.圆D：x2+y2+x-3y-2=0.①若圆D过A,F两点，求椭圆C的方程；②若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围.【思路点拨】(1)由=0可得出MF1⊥MF2，又点M总在椭圆内部，由此可建立不等式找出a,c的关系，求得e的范围.(2)①确定A，F点的坐标⇒a,c⇒b⇒方程；②由△AFQ不可为等腰三角形⇒FK(K为m与x轴的交点)≥FA⇒a,c的不等式⇒e的不等式⇒e的范围.【规范崇解答】(1疫)∵既=0，∴MF1⊥M劫F2.∴点M在以O为圆砍心，罩以c为半薄径的乌圆上.∵点M总在面椭圆盼内部编，∴c<私b.又∵a2=b2+c2,∴臂a2>2姥c2,∴e纽奉=又∵e>份0,价∴0蔬<e以<答案敢：0<质e<(2工)①圆x2+y2+x悄-3蕉y-趋2=朋0与x轴的史交点谦坐标折为A(秩-2牺,0敞)，F(费1,陈0)，故a=渣2,端c=虑1，所积以b=所以议椭圆C的方降程是走：②设直焰线m与x轴的稀交点屯是K，依吃题意FK圾≥F骑A，即-c≥游a+滑c,滚≥假a+火2c堆,暗≥康1+用≥房诚1+火2e绍,2e2+e浙-1烧≤0，解次得0<筐e≤【互动示探究】在本私例题(2寨)的条史件下严，若醒直线m与x轴的缴交点赶为K，将池直线m绕K顺时亡针旋拌转爽得拼直线l，动唤点P在直练线l上，富过P作圆D的两巧条切粗线，搁切点誉分别箩为M，N，求劝弦长MN的最医小值.【解析】直线l的方停程是x-钱y-事4=王0，圆D的圆唐心是妻半径肃是设MN与PD相交障于H，则H是MN的中舅点，介且PM样⊥M庭D，当且茂仅当PD最小沿时，MN有最扶小值腥，PD最小巷值即吹是点D到直然线l的距夏离，还设为d，所以MN的最争小值播是【拓展盈提升】1.求范斯围问污题的絮常用激方法(1凯)把已证知条择件表丹达出速来，沃寻找纤不等满关系.(2今)建立贡目标嘉函数款，转辟化为醋求函拖数的香值域.2.寻找蜻不等馋关系乐的常纠用方栽法(1挡)方程石有解律，判午别式始大于烘等于词零.(2克)隐含依的字粥母的售取值位范围.(3诱)不等旧式法.(4睬)三角挤函数因的有腥界性.(5棒)三角孩形中灭两边叶之和泪大于猴第三呼边，车两边污之差言小于织第三络边.3.椭圆茶中的什距离眼问题椭圆斑上任僵意一若点M到焦启点F的所厘有距肢离中莲，长终轴端丘点到穷焦点留的距亲离分闻别为冲最小段距离赴和最棉大距蜻离，咽且最吊大距羊离为a+边c,最小畜距离滋为a-筝c.【变式态备选】已知多椭圆荒的一激个顶壤点为A(肝0，-1竹)，焦总点在x轴上，捐若右茎焦点湿到直顾线x-技y+奏=0的距团离为3.(1剑)求椭氏圆的凑离心良率e.(2杀)设椭颠圆与指直线y=勿kx条+m第(k鲁≠0花)相交纵于不巨同的舱两点M，N，当AM摩=A园N时，奔求m的取晓值范好围.【解析】(1就)右焦林点(c帅,0从)到直丝式线x-招y+洒=掠0的距绳离d=舞=代3，得c=又b=附1,则a2=b2+c2=1掀+2绘=3办,∴大e=(2夕)设M(粪x1,y1),量N(唯x2,y2)，由(1勺)得椭蛋圆方泽程为=1，把铁直线灶方程y=映kx句+m蜓(k郑≠0谈)代入椭圆双方程单得：(3示k2+1替)x2+6像km嗽x+碗3(宪m2-1驳)=缴0,Δ=船36乎k2m2-1辩2(躁3k2+1答)(紧m2-1牺)＞0即：3k2-m2+1＞0亲①且由AM荷=A域N得AM2=A联N2，即x12+(是y1+1声)2=x22+(廉y2+1蔑)2即x12-x22=(川y2+y1+2扒)(忠y2-y1)=［k(页x2+x1)+逝2m筝+2］·k何(x2-x1)(剃x1≠x2),整理裕得3k2=2路m-文1，代披入①室得：m2-2拦m＜0,解得0＜m＜2.考向2椭圆戒中的阳定值惑问题【典例2】已知斤椭圆(a圣>b卫>0朝)的左伸、右籍焦点仰分别供为F1，F2，短邻轴两繁个端收点为A，B,且四河边形F1AF2B是边备长为2的正州方形.(1从)求椭赔圆方笼程.(2膨)若C,互D分别罢是椭嘱圆长洗轴的尤左、联右端邪点，渴动点M满足MD备⊥C涂D，连结CM，交壶椭圆短于点P.证明驱：棚为孩定值.(3碑)在(2暮)的条刺件下利，试搁问x轴上基是否截存在是异于沫点C的定辞点Q，使得以MP为直亿径的尼圆恒就过直惠线DP为,M郑Q的交尚点，妇若存越在，羡求出既点Q的坐标雨；若尊不存座在，遥请说熄明理敢由.【思路权点拨】(1桨)由已枝知得啊：a=圈2,涝b=较c，从彻而可膏求出a,赤b得椭网圆方娇程.(2骄)设参足数，请想法所把已践知条膛件表姻达出塞来，栏把所录求的除表达挤出来毒，通殊过减盆元化旬为与肺参数此无关皱的定拴值即绣可.(3饶)假设顶存在Q的坐肆标为Q(箱m,已0)，由MQ鹅⊥D借P列出m的方秋程，镜然后绸转化场为此让方程扶是否漫有解泥的问供题.【规范秒解答】(1滑)a利=2，b=欺c，a2=b2+c2,∴息b2=2营,∴椭圆忧方程备为=1尘.(2卫)C肌(-毒2,营0)，D(协2,较0)偿,设M(横2,扛y0)，P(板x1,y1)，则=(置x1,y1),闭=(删2,穴y0).直线CM：方即馅代遍入椭渐圆x2+2恋y2=4得∵x1×(冶-2蹄)=∴x1=∴y1=左∴(3涂)设存亡在Q(除m,叫0)满足丝式条件盼，则MQ睡⊥D为P.=(炊m-面2,搭-y0)，则由=0得从而鸡得m=保0.惜∴存在Q(红0,楼0)满足楼条件.【拓展溪提升】解决亏有关厚椭圆籍中的蜻定值陕问题筋的策固略(1泄)由于牧定点桑、定刑值是腔变化罚中的讲不变牵量，允引进烟参数睁表述闭这些馅量，薯不变确的量纲就是艇与参住数无朋关的颠量，瓣通过邪研究邮何时陆变化割的量道与参度数无俘关，逐找到孟定点串或定肢值的接方法裹叫做就参数渐法，锄其解掌题的杠关键李是选无择合密适的今参数思表示羞变化府的量.(2烧)当要第解决焰动直馒线过箱定点败问题的时，催可以本根据邀确定盆直线碗的条剖件建该立直本线系狡方程赏，通傻过该倾直线咐过定排点所菜满足范的条冠件确仙定所高要求阵的定溜点坐处标.【变式掏训练】(2甜01造3·盐城肺模拟)如图狐，椭赠圆的炊中心毕为原携点O，离心兼率e=一条竭准线满的方执程是(1娘)求该关椭圆逃的标气准方前程.(2并)设动划点P满足乏：匙其中M，N是椭昆圆上例的点愧，直线OM与ON的斜类率之工积为租问：腐是否西存在查定点F，使俯得PF与点P到直戴线l:x=的距铜离之撞比为滋定值?若存梦在，筒求F的坐调标;若不存在哀，说膜明理弊由.【解析】(1受)由阿解跑得a=呢2,复c=今b2=a2-c2=2宣,故椭逢圆的委标准昼方程地为：(2增)设P(捧x,店y)害,M滑(x1,y1),糕N(它x2,y2),则由伐得符：(x,耐y)=土(x1,y1)+取2(御x2,y2)=挽(x1+2蜘x2,y1+2正y2),即x=秃x1+2跟x2,y郊=y1+2肆y2.因为圆点M，N在椭续圆上梅，所以x12+2涨y12=4超,x22+2辱y22=4踢,故x2+2抵y2=(者x12+4个x22+4辆x1x2)+兵2(喝y12+4慕y22+4跃y1y2)=(叔x12+2苗y12)+助4(评x22+2助y22)+葡4(细x1x2+2缓y1y2)=2范0+悼4(静x1x2+2蛙y1y2).设kOM,kON分别糊为直唇线OM，ON的斜页率，疤由题路设条筒件知kOM·kON=因此x1x2+2复y1y2=0存,所以x2+2次y2=2录0.所以P点是软椭圆单上旺的点泥，该澡椭圆扣的右涨焦点知为(罪0)，离熊心率e=直线l:x=是该胖椭圆猪的右幻玉准线形，故根看据椭拼圆的拦第二粒定义乖，存倦在定湾点F(询0桂)，使岂得PF与P点到直线l的距岩离之羊比为刘定值.考向3直线右与椭僵圆的碎位置既关系【典例3】设椭淡圆C1:诉(胁a＞b＞0)的左购、右盈焦点龙分别搏是F1,F2，下伯顶点裤为A,线段OA的中弦点为B(证O为坐遥标原址点),如图.若抛划物线C2:y洋=x2-1与y轴的证交点由为B，且经豆过F1，F2点.(1五)求椭熊圆C1的方块程.(2队)设M(抢0，),士N为抛响物线C2上的果一动滚点，孔过点N作抛待物线C2的切兔线交咸椭圆C1于P，Q两点用，求勇△MP棚Q面积宿的最怎大值.【思路仇点拨】(1群)求出y=尸x2-1与x轴，y轴的贫交点料坐标役得到c,肃b的值，版再根迷据a2=b2+c2求出a,代入C1的方拔程.(2冰)设N(恩t,效t2-1贪)，建也立过贪点N的直哄线方犹程，玩与椭宅圆方榴程联疾立，利用每根与讯系数满的关万系设发而不牺求，织整体疾代入额求得PQ，进瞒而用尝点到直华线的街距离仪公式沿求出帮点M到直趁线PQ的距物离d,从而蒜得S△M肆PQ=PQ草·d求解.【规范柿解答】(1董)由题文意可魂知B(矮0,汗-1赔)，则A(械0，-2傻),故b=戚2.令y=眨0得x2-1折=0即x=吗±1，则F1(-归1,偿0)哗,F2(1巨,0也)，故c=纳1.所以a2=b2+c2=5沃.于是赠椭圆C1的方白程为:(2缝)设N(件t,当t2-1削),由于y=煤x2-1午,∴y份′=纷2x巴,知直野线PQ的方故程为:y-叫(t2-1蹦)=婚2t宿(x屿-t钩),即y=等2t引x-肢t2-1直.代入央椭圆热方程袭整掩理得:4(店1+圣5t2)x2-2写0t破(t2+1汪)x川+5防(t2+1籍)2-2揉0=康0,其中Δ=何40闻0t2(t2+1脾)2-8寄0(辜1+粮5t2)［(t2+1犁)2-4］=8洒0(因-t4+1筐8t2+3龄),设P(逐x1,y1),握Q(胞x2,y2),则故PQ具=设点M到直荷线PQ的距坑离为d,则所以,△尤MP轮Q的面孔积S=当t2=9即t=谊±3时取袍到“=”，经摄检验江此时Δ＞0，满戏足题独意.综上牧可知,△艘MP规Q的面灯积的门最大痛值为【拓展纹提升】1.直线喷与椭芬圆位彼置关搁系判什断的粉四个枝步骤第一莫步：途建立段直线哀与椭狭圆的色方程;第二弯步：驶联立尽直线雀方程音与椭拜圆方调程；第三量步：板消元踩得出劈燕关于x(或y)的一棵元二器次方选程；第四犯步：烦当Δ＞0时，注直线值与椭壁圆相誓交；慕当Δ=重0时，苦直线寸与椭尖圆相艘切；舞当Δ＜0时，韵直线警与椭挣圆相非离.2.直线铁与椭睡圆相络交时失有关愤弦长义、中困点问悔题的聚处理厦方法【提醒】利用蚀公式甘计算霸直线映被椭虚圆截恶得的滔弦长援是在硬方程垒有解厕的情火况下川进行撞的，督不要亿忽略纸判别艘式.涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法

【变式回训练】(2桐01嫂3·盐城冷模拟)已知忠椭圆(a完>b诵>0贴)的离心误率为滚且过卷点劫记椭满圆的予左顶巴点为A.(1染)求椭肥圆的吊方程.(2袭)设垂疫直于y轴的正直线l交椭块圆于B，C两点耗，试孩求△AB订C面积奸的最姨大值.(3液)过点A作两芳条斜透率分腐别为k1,k2的直芒线交艇椭圆脱于D，E两点耳，且k1k2=2，求含证：车直线DE恒过它一个明定点.【解析】(1晨)由壳解赔得所以绸椭圆冶的方次程为x2+2荷y2=1叫.(2味)设B(起m,录n)寨,C执(-谅m,主n)乐,则S△A王BC=极×浮2|宇m|产×|荣n|急=|掀m|予·|跳n|蜡.又1=泡m2+2稳n2≥所以|m勤|·迅|n伏|≤当且掠仅当|m驻|=时取汤等号帖，从而S△A浅BC≤即△AB责C面积项的最除大值我为(3先)因为A(遥-1，0)，所涌以AD：y=庙k1(x运+1掏),阳AE砌:y欠=k2(x乒+1厘),由消去y，得(1误+2根k12)x2+4柏k12x+升2k12-1独=0喂,解得x=匠-1或∴点同理宵，有枯而k1k2=2衣,∴∴直线DE的方烟程为即即消所以(2拜k12+4墙)y恶=k1(3房诚x+再5)谜,则由猴得卫直线DE恒过漂定点【满分童指导】直线凡与椭戒圆相叨交的肚规范鹿性解枯答【典例】(1迁4分)(施20取12初·陕西舍高考)已知期椭圆C1:椭圆C2以C1的长监轴为概短轴性，且返与C1有相乳同的猪离心郑率.(1谋)求椭茄圆C2的方午程.(2白)设O为坐恭标原膀点，莫点A，B分别涝在椭枪圆C1和C2上，求直宁线AB的方勇程.已知条件条件分析C1:得其长轴长为4,离心率为C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率得到C2的短轴长为4,即b=2,离心率为可求出a.知O,A,B三点共线且点A，B不在y轴上，从而可设直线AB方程为y=kx.点A，B分别在椭圆C1和C2上得A,B为直线AB分别与C1和C2的交点，且交点适合C1和C2的方程.

【思路牛点拨】【规范必解答】(1环)由已尤知可份设椭盛圆C2的方草程为(a＞2)绩,……托……载……挨……奥……际………坐……阿……妈……尤……刮……蜻……选2分其离更心率赛为井故=则a=戚4,……访……句……丽…4分故椭剃圆C2的方福程为……歼……绑……钱……棉………5分(2源)方法惊一:A，B两点株的坐撇标分劳别记槽为(xA,yA),百(xB,yB),由②及(1胃)知，O，A，B三点刑共线息且点A，B不在y轴上③,因此喘可设蝇直线AB的方乞程为y=kx.……牵……蜡……语……遭……妹……扑……之……够……衡……碧……知……粱…7分将y=kx代入+y2=1中,得(1铅+4栽k2)x2=4，所柳以④.……防……芹……财……树……肌……聋……左……阻……洁……浪……乞……墓…9分将y=kx代入仁中,得(4翁+k2)x2=1胁6,所以④.又由念得xB2=4红xA2，即……辨……纺……滔……钩……磨……炊……厕……快……绸……府……批……12分解得k=裁±1，故直艳线AB的方丑程为y=鸽x或y=民-x轻.…犁……全……滤……的……很……候14分方法寒二:A鸦,B两点泼的坐赶标分打别记琴为(xA,yA)，(xB,yB)，由②及(1环)知，O，A，B三点掘共线姻且点A,退B不在y轴上③,因此斜可设嚼直线AB的方碎程为y=kx.…分……笼……士……阳…………美…7分将y=kx代入+y2=1中，盟得(1壮+4蜜k2)x2=4，所视以④,……幕……去……曾……恭……横……椒……性……谊……闷……智……议……恒…9分由烤得将xB2,yB2代入配中替，得童即4+紫k2=1度+4啄k2,…12分解得k=呆±1，故树直线AB的方闪程为y=广x或y=战-x娃.……父……医……14分【失分紧警示】(下文斧①②躲③④谋见规察范解璃答过肺程)1.框(2雀01黑2·四川擦高考)椭圆胆的篮左焦授点为F，直拦线x=梨m与椭圆题相交看于点A，B，当农△FA娃B的周鼠长最钱大时学，△FA逼B的面压积是__匆__羡__稼__泪.【解析】当直其线x=慢m过右叛焦点(1，0)时，耍△FA蜜B的周讽长最驾大，由椭抹圆定填义知迷，其庆周长酸为4a叶=8，此医时AB摔=∴S△F忧AB=毙×坡2×帝3=诱3.答案:32.壤(2搜01眨3·徐州纹模拟)椭圆(a贴>b组>0剪)的右败焦点誉为F，其右准鲁线与x轴的州交点践为A，在研椭圆春上存玻在点P满足捆线段AP的垂内直平分园线过振点F，则建椭圆散离心姐率的翻取值蛮范围膝为__委__贫__炒__煎_.【解析】设P(未x0,y0),则PF组=a调-e估x0，又杀点F在AP的垂诸直平麻分线上，硬∴a-雄ex0=膜∴宗x0=又-a固≤x0<a仇,∴-缴a≤备<a狠,∴冶-1继≤又0<来e<献1,俩∴塞≤嗓e<老1.答案:［1)3.诉(2淋01嚷3·扬州汗模拟)若椭梯圆轰的袖一条史弦被各点A(院4，2)平分字，那扣么这它条弦健所在您的直舞线方快程为__须__犁__奔_.【解析】设弦则的端泳点为C(替x1,y1)，D(奇x2,y2),则将x1+x2=8浑,y1+y2=4代入此上式还得所以游所求陪方程培为y-边2=即x+邮2y庆-8靠=0种.答案:x+驱2y牧-8扑=04.慌(2欣01伶3·宿迁仰模拟)已知辞中心背在原点O、焦砌点在x轴上芹的椭尸圆C过点M(捉2，1)，离洲心率园为脂如愉图，酸平行于OM的直杯线l交椭性圆C于不雄同的两点A，B.(1赌)当直跌线l经过越椭圆C的左散焦点柏时，龙求直亭线l的方发程.(2讲)证明祥：直终线MA，MB与x轴总绸围成族等腰盟三角尚形.【解析】(1笨)根据可设附椭圆些方程阶为将M(拘2，1)代入霸可得b2=2终,所以凝椭圆C的方灯程为因此葛左焦片点为(毕0效)，斜故率kl=kOM=所以洪直线l的方烛程为弟即(2党)由题抛意知MA，MB的斜目率存滴在且淡不为0，设直狠线MA，MB的斜瓶率分蔽别为k1,k2,A(虑x1,y1),份B(第x2,y2),直线l:y=则(*苏)由得x2+2年mx糕+2摸m2-4改=0畏,所以伏，x1+x2=-摔2m，x1x2=2阁m2-4，代入(*杆)式，淡得所以夏直线MA，MB与x轴总蛮围成耍等腰羡三角刷形.1.椭圆(a撒>b箱>0羊)的左虎