人教A版必修第二册832圆柱圆锥圆台球的表面积和体积学案

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的外表积和体积[重点理解]1.对圆柱、圆锥、圆台的侧面积与外表积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或外表积时，可直接使用公式．但圆台的外表积公式比拟简单，不要求记忆，因此，外表积的求解方法是最重要的.(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应依据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关学问，将立体几何问题转化为平面几何问题.(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圆锥侧＝πrl.2.对于圆柱、圆锥、圆台的体积公式的几点熟悉(1)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过试验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(2)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V＝πr2heq\o(→,\s\up7(r′＝r))V＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)eq\o(→,\s\up7(r2＝0))V＝eq\f(1,3)πr2h.(3)求圆台的体积可以转化为求两个圆锥的体积．依据台体的定义进行“补形〞，复原为圆锥，采纳“大圆锥〞减去“小圆锥〞的方法求圆台的体积.3.与球的体积、外表积有关的问题(1)球的外表积(体积)与半径之间的函数关系S球＝4πR2；V球＝eq\f(4,3)πR3.从公式看，球的外表积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故外表积和体积是关于R的函数.(2)球的外表积(体积)计算中蕴含的数学思想①函数方程思想：依据球的外表积与体积公式可知，球的半径R，球的外表积S，球的体积V三个量“知一求二〞.②转化思想：空间问题平面化.(3)球体的截面的特点①球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.[自我排查]1.圆锥的母线长为5，底面半径为3，那么其侧面积等于()A.15 B.15πC.24π D.30π答案：B解析：S侧＝πrl＝15π.应选B.2.圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，那么其外表积等于() B.42πC.67π D.72π答案：C解析：S表＝π×(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.应选C.C，那么这个球的外表积是()A.eq\f(C2,4π) B.eq\f(C2,2π)C.eq\f(C2,π) D.2πC2答案：C解析：由2πR＝C，得R＝eq\f(C,2π)，所以S球＝4πR2＝eq\f(C2,π).应选C.4.一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的外表积为________.答案：6π解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.5.假设圆锥的底面半径为3，母线长为5，那么圆锥的体积是________.答案：12π解析：由得圆锥的高h＝4，所以V圆锥＝eq\f(1,3)π×32×4＝12π.课堂篇·重点难点研习突破研习1圆柱、圆锥、圆台、球的外表积[典例1](1)(链接教材第118页例3)圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为()eq\r(2)π B.12πC.8eq\r(2)π D.10π(2)三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的外表积是其余两个球的外表积之和的() B.2倍C.eq\f(9,5)倍 D.eq\f(7,4)倍(1)[答案]B[解析]由于过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq\r(2)，底面圆的直径为2eq\r(2)，所以该圆柱的外表积为2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.(2)[答案]C[解析]设最小球的半径为r，由三个球的半径之比为1∶2∶3，得另外两个球的半径分别为2r,3r，所以各球的外表积分别为4πr2,16πr2,36πr2，所以eq\f(36πr2,4πr2＋16πr2)＝eq\f(9,5).[巧归纳]1.求圆柱、圆锥、圆台外表积的根本步骤(1)得到空间几何体的平面绽开图；(2)依次求出各个平面图形的面积；(3)将各平面图形的面积相加.要求球的外表积，关键是知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入球的外表积公式求解.[练习1]1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的外表积为574π，那么圆台较小的底面半径为________.答案：7解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.2．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)S圆柱侧＝2πrx＝2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,3)))x＝4πx－eq\f(2π,3)x2，x∈(0,6).(2)由(1)知当x＝－eq\f(4π,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))))＝3时，这个二次函数有最大值6π，∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2.研习2圆柱、圆锥、圆台、球的体积[典例2](1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq\r(2)π，那么圆锥的体积是()A.eq\f(64π,3) B.eq\f(128π,3)C.64π D.128eq\r(2)π(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，那么该几何体的体积为() B.6πC.20π D.10π(1)[答案]A[解析]设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝eq\r(l2＋l2)，即l＝eq\r(2)r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，∴r＝4.∴l＝4eq\r(2)，高h＝eq\r(l2－r2)＝4.∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)π×42×4＝eq\f(64,3)π，应选A.(2)[答案]D[解析]用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，那么圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.[巧归纳]圆柱、圆锥、圆台体积的求法(1)直接法：依据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；(2)分割法：将几何体分割成易求解的几局部，分别求体积；(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去.[练习2]O的外表积为16π，那么球O的体积为()A.eq\f(4,3)π B.eq\f(8,3)πC.eq\f(16,3)π D.eq\f(32,3)π答案：D解析：由于球O的外表积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32,3)π，应选D.2.假设一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是() B.1∶2C.eq\r(3)∶2 D.3∶4答案：D解析：设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，那么有eq\f(1,2)·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(4,3)πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.研习3与球有关的切、接问题[典例3](1)(链接教材第119页例4)一个球与棱长为2的正方体的各个面相切，那么该球的体积为________；(2)在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.(1)[答案]eq\f(4,3)π[解析]由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为eq\f(4,3)π.(2)[解]作正方体对角面的截面，如下图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝eq\f(\r(2)a,2).在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝r2，∴R＝eq\f(\r(6),2)a.从而V半球＝eq\f(2,3)πR3＝eq\f(2,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))3＝eq\f(\r(6),2)πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝eq\f(\r(6),2)πa3∶a3＝eq\r(6)π∶2.[巧归纳]球的切接问题处理策略及常用结论(1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等；(2)几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；③球与圆柱的底面和侧面均相切，那么球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；④球与棱锥相切，那么可利用V棱锥＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)S表R，求球的半径R.[练习3]1.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，那么球的外表积为________.答案：100π解析：如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝R，所以OA＝5，所以球的外表积为100π.2.假如一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，那么圆锥的侧面积S1和球的外表积S2之比为________.答案：3∶2解析：画出轴截面如下图，设球的半径为r，那么OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.又∠PCB＝90°，∴CB＝eq\f(\r(3),3)PC＝eq\r(3)r，PB＝2eq\r(3)r，∴圆锥的侧面积S1＝π×eq\r(3)r×2eq\r(3)r＝6πr2，球的外表积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2.课后篇·根底达标延长阅读1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是() B.3πC.2π D.π答案：C解析：底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.应选C.SO的高为4，体积为4π，那么底面半径r＝________.答案：eq\r(3)解析：设底面半径为r，那么eq\f(1,3)πr2×4＝4π，解得r＝eq\r(3)，即底面半径为eq\r(3).3.某组合体的直观图如下图，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，假设图中r＝1，l＝3，试求该组合体的外表积和体积.解：该组合体的外表积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).[标准解答]简洁组合体的外表积[例如]如下图，直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，A