(4份试卷汇总)22019-2020学年内蒙古包头市数学高二下期末调研模拟试题

2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题（本题包括12个小题，每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意）.下列命题正确的是（ ）A.进制转换：1101（2）=13（1°）B.已知一组样本数据为1,6,3,8,4,则中位数为3C.“若x=l,则方程1一》=0”的逆命题为真命题D.若命题P：Vx>0,x-l>0,则「P： x0-l<0【答案】A【解析】【分析】根据进制的转化可判断A,由中位数的概念可判断B,写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【详解】A.110%=1x2°+0x2+1x2?+1x23=1+4+8=13,故正确.B.样本数据1,6,3,8,4,则中位数为4.故不正确.C.“若x=l,则方程F-x=o”的逆命题为："方程Y-x=0,则x=l"，为假命题，故不正确.D.若命题?：Vx>0,x-l>0.则rP：%）>0,x0-1<0,故不正确.故选：A【点睛】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题..安排5位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（ ）种A.20 B.24 C.36 D.48【答案】C【解析】【分析】利用间接法，在甲同学与乙同学相邻的所有排法种减去甲同学既与乙同学相邻，又与乙同学相邻的排法种数，于此可得出答案.【详解】先考虑甲同学与乙同学相邻，将这两位同学捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法总数为A：反=48种，再考虑甲同学既与乙同学相邻又与丙同学相邻的相邻的情况，即将这三位同学捆绑，且将甲同学置于正中间，与其余两位同学形成三个元素，此时，排法数为月用=12.因此，所求排法数为48-12=36,故选C.【点睛】本题考查排列组合问题，问题中出现了相邻，考虑用捆绑法来处理，需要注意处理内部元素与外部元素的排法顺序，结合分步计数原理可得出答案.b.数列｛《,｝,也｝满足4=4=1,%+「4=蕾=2,〃eN*,则数列也J的前〃项和为( ).A.1(4--1)B.*4T)C.1(4«-'-1)D.1(4--1)【答案】D【解析】【分析】由题意是数列｛4｝是等差数列，数列他J的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前〃项和公式即可求得.【详解】h因为4+厂％=蕾=2,4=4=1,所以数列小｝是等差数列，数列也｝的等比数列，Jr因此=1+2(〃—1)=2”一1,b“=lx2"T=2"t,数列抄％｝的前〃项和为：%+%++%=4+&+4++伪“T=2°+22+24++22"故选：D.【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.\x+a,x<0,.若函数f(x)=, 八的图象上存在关于直线v=i对称的点，则实数。的取值范围是( )[lnx,x>0(-oo,0) B.[0,+oo) C.(-oo,l] D.[l,+oo)【答案】D【解析】

/、[x+a,x<0,分析：设若函数/")= 的图象上存在关于直线y=x对称的点，则函数y=x+a与函数II/、[x+a,x<0,分析：设若函数/")= 的图象上存在关于直线y=x对称的点，则函数y=x+a与函数IIA2LV, (Jy=，的图象有交点，即i+a=e'有解，利用导数法，可得实数a的取值范围.详解：由y=lnx的反函数为y=",函数y=x+“与y=Inx的图象上存在关于直线v=a对称的点，则函数y=x+a与函数y=，的图象有交点，即x+a=e'有解,即a=ex-xt令人(x)=ex—x,x<0,则h\x)=ex当xNO时，〃'(x)>0,./(x)在[0,转)上单调递增,当x=0时，可得〃(x)求得的最小值为1.实数。的取值范围是口,皿)，故选：D.点睛：本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，难度中档.— 35.已知sin0=g函数/(x)=sin(的+0)(。>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于则的值为(3 4A.-- B. 5 5【答案】B一3C.—54D.-5【解析】试题分析：根据函数/(x)=sin(0x+0)(o>O)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于可得T冗冗 . 3a(71 ,3 4—=—=一,「・。=2・由sme=—,且0W一,可得e=;r-arcsin—,cosq=——,2692 5I2 7 5 5•**/(x)=sin(2x+-arcsin—),则4 ,故选考点：正弦函数的图象.6.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为兀：4.TOC\o"1-5"\h\z若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )“ r 16 128A.16 B.16立 C.— D.——【答案】C【解析】【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得"牟合方盖”的体积.【详解】正方体的棱长为2,则其内切球的半径r=l,正方体的内切球的体积/=二兀*广=兀，块3 3r4n公V球 兀 44 16又由已知—=1”合力盖丁厂亍故选C.【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题.7.设函数/(X)在R上存在导函数/'(X),对任意实数X,都有4x)=/(—x)+2x,当x<0时，f'(x)<2x+l,^/(2-a)</(-«)-4«+2,则实数。的最小值是( )A.1 B.-1 C.— D. 2 2【答案】A【解析】【分析】构造函数g(x)=/(x)-V-X,根据等式/(x)=〃t)+2x可得出函数y=g(x)为偶函数，利用导数得知函数y=g(x)在(r。,。)上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在(0,y)上单调递增，由/(2-a)</(-a)-4«+2,得出g(2-a)Wg(-a),利用函数y=g(x)的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数g(x)=/(x)-x2-x,对任意实数X,都有/(x)=/(-x)+2x,贝!|8(")=/(犬)-/7=/(-力-/+2*7=/(-*)+(-*)2-(-x)=g(-x),所以，函数y=g(x)为偶函数，，g(x)=g(k|).当x<0时，gr(x)=f'(x)-2x-l<0,贝！|函数y=g(x)在(-co,0)上单调递减，由偶函数的性质得出函数y=g(x)在(0,+e)上单调递增，Qf(2-a)<f(-a)-4a+2,即/仁-)仁-4々-木/㈠-㈠)：,即g(2-a)4g(-a),则有g(|2_a|)4g(|硝,由于函数尸g(x)在(0,+e)上单调递增，.・.|2-44同，BP(2-a)2<a2,解得aNl,因此，实数"的最小值为I,故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题..已知复数z=(l+2i)(l-i),则其共挽复数二对应的点在复平面上位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先利用复数的乘法求出复数z,再根据共挖复数的定义求出复数二，即可得出复数二在复平面内对应的点所处的象限.【详解】z=(l+2z)(l-z)=l+i-2r=3+i,.i=37,所以，复数三在复平面对应的点的坐标为(3,-1),位于第四象限，故选D.【点睛】本题考查复数的除法，考查共枕复数的概念与复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题..在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(〃eN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数.有下列函数：①f(x)=x+-(x>0)②g(x)=f* ③人(X)=(：;)*④。(x)=lnxx 3其中是一阶整点的是()A.①@③④ B.①®@ C.④ D.①@【答案】D【解析】【分析】根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可.【详解】对于函数/(6=尤+^(*>0),它只通过一个整点(1,2),故它是一阶整点函数；对于函数g(x)=x\当XGZ时，一定有g(x)=X3GZ,即函数g(x)=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数〃(x)=,当x=0,-1,-2,时，h(x)都是整数，故函数对于函数〃(x)=一阶整点函数;对于函数。(x)=lnr,它只通过一个整点(1,0),故它是一阶整点函数.故选D.【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”..已知随机变量；服从正态分布若42)=0.66,则P传V0)=()A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.16【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得P(14。W2)=0.16,再求P(()W。41)=0.16.最后求得尸(J40)=0.34.详解：由正态分布曲线得P(l<^<2)=0.66-0.5=0.16,所以P(04JW1)=0.16,所以K0)=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.(2)解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背..已知集合A={x|2|x-2区x},5={己x<—1或x>3},则A8=(.)A.R B.(-oo,4)C.(-00,T)U—,4-00I D.(—00,—l)D(3,+8)【答案】C【解析】【分析】首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.【详解】, 4根据题意得，2|x-2|<a-^^(2|x-2|)-<x2,x>0,解得［4x44,于是AU3=(-8,-1)ug,+8),故答案为C.【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.12.从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12中不放回地依次取2个数，事件A="第一次取到的数可以被3整除“，B=“第二次取到的数可以被3整除"，则P(B|?)=()5A.-2 1B. - C.-3 32D.-9【答案】c【解析】分析：先求P(AB),P(A),再根据。(8|4)=-^?得结果.P⑷C22C'2详解：因为尸(AB)=#=r,尸(4)=方=彳，Jo Jo°2所以「(例4)=也辿=掾2，P(A)23

5选C.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.二、填空题(本题包括4个小题，每小题5分，共20分).高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为.【答案】12【解析】【分析】由题得高一学生数为黑x30,计算即得解.【详解】由题得高一学生数为—x30=12.故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力..已知44...为数字0,1,2,…，9的一个排列，满足4+4+%=%+。5+。6=%+4+%+4o,且则这样排列的个数为_(用数字作答).【答案】3456【解析】【分析】先计算总和为45,将相加为15的3数组罗列出来，计算每个选法后另外一组的选法个数，再利排列得到答案.【详解】0,1,2,…，9所有数据之和为45q+%+q=/+%+%=%+4+%+4o=15相加为15的3数组有：(0,6,9},{0,7,8},{1,5,9},{1,6,8},{2,4,9},{2,5,8},{2,6,7},{3,4,8},{3,5,7},{4,5,6}当402a3选择{。，6,9}后，4a54可以选择{2,5,8},{3,4,8},{3,5,7}3种选择同理可得：分别有3,3,3,2,3,1,2,3,3,1共24种选择4<%%选定后只有一种排列a4a5a6有6种排列a7a汹4o有段种排列共有24x用x父=3456中选择.故答案为3456【点睛】本题考查了排列组合的计算，将和为15的数组罗列出来是解题的关键.2a15.在数列中，4=1,且*=77%(”wN").(1)求为，。3，%的值;（2）猜想数列｛%｝的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.2 1 2【答案】（1）«2=-,ai=~> %=《2（2）4=--（neN*）.证明见解析〃+1【解析】【分析】（1）利用递推式直接求：2（2）猜想数列｛a。｝的通项公式为%=--（〃eN*）用数学归纳法证明即可.M+1【详解】TOC\o"1-5"\h\z, 2a„ * 2a. 2 2解：（1）,；%=1,且见+|=——（neN）,/.a2=--t=7—r=-»cin+2 q+21+2392 1a.2Xj=l_2%3a2+22 2* 4%+2195,3 22（2）猜想数列仅“｝的通项公式为。〃=--用数学归纳法证明如下：一 2①当〃=1时，左边=。"右边="j--=1=0）9因此，左边=右边.所以，当〃=1时，猜想成立.②假设〃=&Ck>\9左eN*）时，猜想成立，即以=上，攵+19 2x3那么〃=%+1时，&+]=_7T=2"+I=777777・%+2 2।2（2+1）+1Z+1所以，当〃=&+1时，猜想成立.根据①和②，可知猜想成立.【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想及证明基本步骤，属于基础题..用“五点法”画函数y=2sin（s+工]（口>0）在一个周期内的简图时，五个关键点是|-1,0【答案】2【解析】【分析】jr\ 2.7t根据五点法得出函数y=2sinhyx+y的最小正周期T,再由公式。=—计算出。的值.【详解】由题意可知，函数y=2sin"+?)的最小正周期T=期一 .・.0=1=2.故答案为：2.【点睛】本题考查利用周期公式求参数的值，解题的关键在于求出函数的最小正周期，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题(本题包括6个小题，共70分).已知函数/(x)=gx-gx-，〃的最大值为4.(1)求实数m的值；m2 2(2)若m＞0,0＜工＜万，求同+「二耳的最小值.【答案】(1)±4；(2)4.【解析】【试题分析】⑴利用绝对值不等式，消去x,可求得实数m的值.(2)由(1)得m=4.利用配凑法，结合基本不等式可求得最小值.【试题解析】1—x—m2当且仅当-初且当时取等号，此时f(x)取最大值|向=4,即团=±4；当且仅当-初且当(2)由(1)及m>0可知6=4,*.0<x<29则1+4]=2但+，M+」-](x+2_x)=2+-2+2、/-4,(当且|,r-2| [|x|\x-2\)lx2-x){x2-x/ 1x2-xVx2-x仅当2-x=x,即x=l时，取“=”)2 2Aij+i―h的最小值为4.H\x-2\18.某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错,则该选手被淘汰分数记为0,其它情况下，选手每答对一题得1分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，2则额外加I分，若4次全答对，则额外加2分.已知某选手每次答题的正确率都是且每次答题结果互不

影响.(1)求该选手恰答对3道题的概率；(2)记X为该选手参加比赛的最终得分，求X的分布列与数学期望.■田一./i\32 小\208【答案】(1)还；(2)弁.O1 O1【解析】【分析】⑴通过二项分布公式即可得到概率;(2)X可能的取值为Q3,4,6,分别求出所求概率，于是得到分布列和数学期望.【详解】2(1)该选手每次答题的正确率都是：，四道题答对3的情况有种恰答对3道题的概率P=C：(2)由题X可能的取值为0,3,4,6P（X=3）=2.2P（X=3）=2.23P（X=0）=l-P（X=3）-P（X=4）-P（X=6TX的分布列如下208EX-0--+3-—X的分布列如下208EX-0--+3-—+4-27 8116/16 FO•—81 81【点睛】本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等..如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB=①,CE=1,CE_L平面ABCD.E（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；（2）求二面角A-DF-B的大小.【答案】（D （2）3 3【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线DF与BE所成角的余弦值.（2）利用向量法求二面角A-DF-B的大小.详解：⑴以｛C£>,CB,CE｝为正交基底，建立如图空间直角坐标系C-xyz,贝！|D（应，0,0）,F（隹,",1）,E（0,0,1）,B（0,0,0）,C（0,0,0）,所以。F=（0，&，1），BE=（。，-0，1），,-11从而cosv。/,BE>=币币=_丁所以直线DF与BE所成角的余弦值为；.⑵平面ADF的法向量为/〃=8=（应，0,0）.设面BDF的法向量为"=（x,y,z）.又BF=（6,。，1）•由n-DF=0»〃♦BF=。，得无y+z=O,72x+z=。取x=l,则y=l,z=-y/2»所以〃=(1,1»—>/2b所以cos<m,n>=—j=~7==—.2又因为<见〃>G[0,n],所以</〃,〃>=（.所以二面角A-DF-B的大小为y.点睛：（1）本题主要考查异面直线所成角的求法，考查二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力转化能力.（2）求二面角常用的有两种方法，方法一：（几何法）找—作（定义法、三垂线法、垂面法）■证（定义）—指—求（解三角形）\m9n\方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量/〃,〃；再代入公式cosa=士1―iTT（其中"7,〃分别是两网网个平面的法向量，a是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“土”号）..如图，三棱柱ABC-A4G中，M,N分别为棱AC和的中点.⑴求证：MN//平面BCQBt-（2）若平面Acea_£平面A4G，且A4=4G，求证:平面平面acga.【答案】（D见解析（2）见解析【解析】分析：（1）先设8C的中点为，，利用平几知识证得四边形为平行四边形，所以MN//QH,再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据等腰三角形性质得与M_L4G，再根据面面垂直性质定理得BM，面ACG4,最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：解：（D如图1,设6C的中点为〃，连结N"，"G.在A45c中，因为N为AB的中点，所以M7//AC,且N”=；AC,在三棱柱ABC—44G中，因为AC7/AG，且AC=4G，M为AG的中点，所以MC"/AC,且M6=gAC,所以M7//MC”且N"=所以四边形为平行四边形，所以MN//QH又MNq平面BCCQi，G"u平面8c百瓦，所以MN//平面BCCM.B图1（法二）如图2,在侧面ACGA中，连结4M并延长交直线CG于点Q,连结BQ.在三棱柱ABC-A4G中，,.AMAMA4//CG所以而=加，因为M为AC的中点，所以M为AQ中点.又因为N为AB中点，所以MN//BQ,又MNu面BCC[B、,BQu面8CC百所以MN//平面8。。出（法三）如图3,取44的中点0,连结。M、ON.在a414G中，因为。、M分别为A4、AG的中点，所以OM//4G.因为OM0面BCCiB],BCiu面BCJBi 所以。M//平面8CC；瓦.在三棱柱ABC-A4G中，44//48且44=48,又因为。、N分别为44、A3的中点，所以OBJ/NB,OB】=NB,所以四边形OB/N为平行四边形，所以ON//B/,又ONa面8CG瓦，B]Bu面BCC]B],所以ON//面8CCg因为0M//面8CG4，ON//面BCC[B],OMcON=O,OMu面OWN,ONu面OMN,所以面OMN//面BCJB]，又MNu面OMN，所以MN//平面BCC.B,（2）因为Ag=4G，m为AG的中点，所以4M_lag，因为面ACGA，面4月«,面acqac面A4G=A£,81Mu面A4G，所以4加_1_面4。。14,又b】mu面/^mn,所以面4“村_1_面ACGAA/图3点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以AC的中点。为球心，AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N.(1)求证：平面ABM_L平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的大小(3)求点N到平面ACM的距离.【答案】(1)证明见解析.(2)^=arcsin—•3(3)为=顺9 27【解析】分析：(I)要证平面ABM_L平面PCD,只需证明平面PCD内的直线PD,垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；(D)先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h,即可求直线PC与平面ABM所成的角；(DI)先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的;，设点P到平面ACM距离为h,再利用第二问的结论即可得到答案.详解:AC是所作球面的直径，AM±MC,PA_L平面ABCD,贝!|PA_LCD,又CD_LAD,.\CD_L平面PAD,贝(jCDJLAM,...AM，平面PCD,二平面ABM_L平面PCD；AM=2忘，MC=2®Sacm=2瓜设D到平面ACM的距离为h,

由J，由J，求得仁手,・・・sin6噎邛,6>=arcsin—s3PC=6,—=—,：.PN=~,：.NC;PC=5.9,所求距离2人=12^.PAPC 3 9 27点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可.22.已知函数/(x)=lnx,g(x)=e'.(1)求函数-x的单调区间；⑵求证：函数y= 和y=g(x)在公共定义域内，g(x)—〃力>2恒成立；(3)若存在两个不同的实数玉，毛，满足竺)=/应=。，求证：警>1.%x2 e【答案】(D增区间为(0,1),减区间为(1，—);(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】分析：(1)构造函数y=/(x)—x,对函数求导，得到得到导函数的正负，进而得到单调区间和极值；(2)构造函数m(x)+n(x)=g(x)-〃。对函数m(x)和n(x)求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，使得最小值大于2即可；(3)要证原式只需要证InX|+In毛>2, = =。故得到即证：内*2Inx,—lnx9 2 x,―! -> ,变量集中设，二」即可，转化为关于t的不等式.X]-x2Xj4-x2 x2详解：1(1)函数?/=/(工)一]的定义域为(0,+oo),y'=——1,X故当底(0,1)时，y>0,当工€(1,+8)时,y'<0,故函数"=f(t)~X的单调增区间为(0.1),单调减区间为(1,+00);(2)证明：函数v=/(X)和V=9(工)的公共定义域为(0,+00),g(x)—f(x)=ex—Inx=(ex—x)—(Inx—z),设mQ)=ex-c,则znQ)在(o，+8)上单调递胤故mQ)>m(0)=1；设n{x}=Inx-当x=1时有极大值点,

n(a:)<n(l)=-1；故g(i)-f⑺=m(x)-n(x)>2；故函数"=/(*和y=ff(x)在公共定义域内，ff(x)-f(x)>2.(3)证明:不妨设xi>x2>0,由题意得，lnx\=ax\,lnx2=ax2；所以Inx^+Inx2=a(a：i+x2);而要证X\X2>e2,只需证明lfix\+lnx2>2；即证明Q(11+12)>2;即证明Q(11+12)>2;即证明(I=lnx\—lnx2X\-x22Qi—g)3 ,令五="则力〉1；即证明Int>2忆。;设九⑴=Int-即证明Int>tH-1 。十11 4则"(0=三一"1)1>0,故函数M力在区间(l,+oo)上是增函数,所以h(t)>h(l)=0,即Int>2H1)；所以不等式上皿2>e2成立.1,十1点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数/?(x)=/(x)-g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；2)根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)2.焦点为(0,6)且与双曲线二-丁=1有相同的渐近线的双曲线方程是2TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 2 2 2ayxiDyxt xyiA. =1B. =1C. =1D. =11224 2412 2412 1224【答案】A【解析】【分析】2根据题目要求解的双曲线与双曲线土-y2=l有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为22/-y=2(2>0),将方程化成标准形式，根据双曲线的性质/+62=。2,求解出4的值，即可求出答案.【详解】由题意知，设双曲线的方程为V一三=4(4〉0),化简得金一二=1(4>0).2 A,2AA+24=36解得4=12.2 21224【点睛】所以双曲线的方程为匕-二=1,故答案选1224【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题，共渐近线的双曲线系方程与双曲线=-与=1有相同a2b2渐近线的双曲线方程可设为二一与=4(/IhO),若4>0,则双曲线的焦点在x轴上，若2<0,则双曲ab线的焦点在y轴上.X2y22.设集合A={-2,-1,0,1,2},B={-1,0,1},C=^(x,y)—+y<l,xeA,yeBk则集合。中元素的个数为()A.11 B.9 C.6 D.4【答案】A【解析】【分析】由题意可得出：X从-1,0,|任选一个；或者X从-2,2任选一个；结合题中条件，确定对应的选法，即可得出结果.【详解】解：根据条件得：X从—1,0,1任选一个，y从而—1,0,1任选一个，有9种选法；x=-2或2时，y=o，有两种选法；共11种选法；••.C中元素有11个.故选A.【点睛】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型..已知函数/(司=^+办2+瓜+以且0<〃1)=/(2)=〃3)〈3,则。的取值范围为()A.(—00,—6) B.(-6,-3)C.(-6,-3] D.[-6,-3)【答案】C【解析】【分析】根据〃1)=〃2)=〃3)构造方程组可求得。力，得到“X)解析式，根据。<41)43求得结果.【详解】/、 /、l+q+/?+c=8+4。+2Z?+c a=-6由〃1=〃2=/3得： ”°相，解得：人l+a+/?+c=27+9a+3〃+c [/?=11/./(x)=x3-6x2+llx+c由0<〃l)W3得：0<l-6+ll+c<3,解得：c«-6,-3]本题正确选项：C【点睛】本题考查根据函数值的取值范围求解参数范围的问题，关键是能够通过函数值的等量关系求得函数解析式，从而根据函数值的范围构造出不等关系..已知集合人=任次>1},B={x\x<2},则集合AB=( )A.0 B.R C.{x|1<x<2}D.{x|1<x<2}【答案】B【解析】【分析】由并集的定义求解即可.【详解】由题.则AB=R,故选:B【点睛】本题考查集合的并集运算,属于基础题..执行如图所示的程序框图，若输入的。为2,则输出的。值是（ ）1A.2 B.1 C.— D.-12【答案】A【解析】【分析】根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环：。=丁二=一1,满足判断条件，k=1;第二次循环：a=-*1、=不,满足判断条件，k=2t1一（-1）2=1=，第三次循环："一二一，满足判断条件，％=3；~2第四次循环：。=T二=一1,满足判断条件，％=4；1-2第五次循环：。=二"二=:，满足判断条件，k=5；1-(-1)2第六次循环：a=2,不满足判断条件，输出结果a=2,故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题..设”>0,。>0,若有是3°与3”的等比中项，则,+'的最小值为( )ab1A.8 B.- C.1 D.44【答案】D【解析】是3a与3”的等比中项，・・・3=3,3'=3叫•••a+b=l.a>2,b>2.・•」+：=[，+1](a+b)=2+。+@22+2.g2=4.当且仅当a=b=：时取等号.ab\ah) abab 2故选D.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.由①安梦怡是高二(1)班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为( )A.②(D® B.②®® C.①®@ D.③(D®【答案】D【解析】【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：大前提：③高二(1)班的学生都是独生子女；小前提：①安梦怡是高二(1)班的学生；结论：②安梦怡是独生子女，故选D.【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题..设“X)是一个三次函数，/'(X)为其导函数.图中所示的是>=矿(另的图像的一部分.则/(X)的极大值与极小值分别是( ).A./⑴与/(—1)B./(—1)与/⑴ C./(—2)与/⑵D./(2)与/(—2)【答案】C【解析】【详解】易知，丁=4''(力有三个零点》=0,±2因为/'(X)为二次函数，所以，它有两个零点x=±2由图像易知，当0<x<2时，/,(x)<0；当x>2时，/,(x)>0,故”2)是极小值类似地可知，〃-2)是极大值.故答案为：C9.设二是虚数单位，：表示复数二的共辗复数.若二=1+二贝彩+二二=()A.-2B.-2匚 C.2D.2匚【答案】C【解析】试题分析：因为二=/+二，所以：=1--,所以:+二二=竺+二。一二)=-二+1+二+/=2,故选C.考点：复数的运算.・F视频一.已知三角形ABC的面积是:，c=l,4= 则b等于（）A.1 B.2或1 c.5或1 D.小或1【答案】D【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\z由三角形面积公式S=1acsinB=2,计算可得sinB的值,即可得B的值，结合余弦定理计算可得答案.2 2【详解】| | B jr根据题意:三角形ABC的面积是］,即S=万acsin8=万,又由c=1, =&则sin8=与则B=彳或若Bf则cosB=—此时b2=a2+c2-2accos8=2+l-2xlx应x=1则6=1；4 2 2若8=当，贝!|cosB=——?■,此时b2=a2+c2-2accosB=2+1+2*、应乂一^=5贝!|〃=有4 2 2故选：D.【点睛】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理在解三角形中的应用，难度较易.71.函数/（x）=2cos（1一X）的单调递增区间是（）A.7T 4力2^+-,2^+—_ 3 3F仕eZ)B.__7t..2万 2kjvH一 3 3_C.八, 24-, 712kjv 2k兀H—3 3_(ED.2zr 442k7t--,2k7T+—3 3(AgZ)(ZgZ)【答案】C【解析】【分析】首先利用诱导公式化简函数解析式，之后应用余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到所求单调递增区间.【详解】TT TT因为/（X）=2cos（y-x）=2cos（x-根据余弦函数的性质,

jl 71令2kjr-兀&x——2k兀,可得2k兀——《x42氏1+—（ZcgZ）,所以函数的单调递增区间是I2k7rT，2k7r+ 伏eZ）,故选C.【点睛】该题考查的是有关余弦型函数的单调怎区间的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式,余弦函数的单调增区间，余弦型函数的性质，注意整体角思维的运用..如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.34 B.55 C.78 D.89【答案】B【解析】试题分析：由题意，(l)x=l,y=l,z=2=>(2)x=y=l,y=z=2,z=3=>(3)x=2,y=3,z=5=④x=3,y=5,z=8=>(5)x=5,y=8,z=13=>(6)x=8,y=13,z=21n⑦x=13,y=21,z=34(8)x=21,y=34,z=55>50,从而输出z=55,故选B.考点：1.程序框图的应用.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）4r.若函数/'（x）=T7在区间（机，2加+1）上是单调递增函数，则实数机的取值范围厂+1是.【答案】（-1,0]【解析】f'(x)=4(x2f'(x)=4(x2+l)-8x2_4(l-x)(l+x)(f+1)2(x2+I)2,令/（x）＞0,得-即函数/（x）的单调递增区间为m>-\4r / 、（-1,1）,又因为函数/（力=▼]■在区间（也26+1）上单调递增，所以2胆+141,解得-1＜加（0；m<2m+1故填(一LO].点睛：已知函数/(x)在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；②将问题转化为/(X)>0在所给区间上恒成立进行求解..已知随机变量；服从正态分布N(〃q2),若尸C<l)=0.2,P(l<^<2)=0.3,则PC<3)=.【答案】0.8【解析】分析：先根据正态分布曲线对称性求PC>3),再根据。信<3)=1-网423)求结果.详解：因为正态分布曲线关于x=2对称，所以PC>3)=Pg<=,因此尸(「<3)=1—尸(JN3)=1—O.2=O.8点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线*=□对称，及曲线与x轴之间的面积为1..我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=7+23・在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是.【答案】15【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可.【详解】在不超过30的素数中有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，从中选2个不同的数有「2_45种，u10一和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种，则对应的概率P,一，3 1一S5-15故答案为：15【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

.在(X-」)6的展开式中的常数项为.X【答案】-20【解析】【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出.【详解】(X-')6的通项公式为：T/I=《•?-r(一Jy=(_1)%产".X X令6-2r=0解得r=3,:.(-D3=一1，所以常数项为T.故答案为：-1.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题.三、解答题(本题包括6个小题，共70分)(1)求矩阵M的逆矩阵M\(2)求矩阵M的特征向量.■2(1)求矩阵M的逆矩阵M\(2)求矩阵M的特征向量.■2r【答案】(1)MT=；：__3 3_【解析】【分析】(1)由题中点的变换得到弓=(2)求出矩阵例的特征多项式,【详解】(1)由题意得印=「5\b2211；(2) 和._-lJ|_1ainr1,C♦c,列方程组解出“、b的值，再利用逆矩阵变换求出股一。b2J|_2解出特征根，即可得出特征值和相应的特征向量.a+2=4 [a=2 21，即L,u'解得,「..•”=,c，A>+4=5 |b=l 12-nmy—nz

m［21］ .因此，矩阵M=1、的逆矩阵为历7=-2r /（2）矩阵M=］。的特征多项式为了（，-nmy—nz

m［21］ .因此，矩阵M=1、的逆矩阵为历7=-2r /（2）矩阵M=］。的特征多项式为了（，my-nz-2_r3~32__3 3.、2-2")=-1由于矩阵xymy-nz一14—2my—nz一X{my-nzH0）的逆矩阵为解特征方程/“）=0,得4=1或3.=(2-2)2-l,2①当4=1时，由［2x+y=xx+2y=y即x+y=O,可取x=l,则y=-l,即属于1的一个特征向量为1-1可取x=l,则y=l,,得122②当4=3时，由］2x+y=3xx+2尸3)，,即=即属于3的一个特征向量为综上，矩阵M的特征向量为【点睛】本题考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，考查矩阵的特征值和特征向量的求法，考查方程思想与运算能力,属于中等题.%3—x2,0<x<l

ax\nx.x>1（1）当4=1时，求/（X）的单调区间;（2）设点P（x，y）,QC%，名）是函数/（X）图象的不同两点，其中0＜办＜1,%＞1,是否存在实数”,使得OP_LOQ,且函数人外在点。切线的斜率为若存在，请求出。的范围；若不存在,请说明理由.【答案】（D 的增区间为145【答案】（D 的增区间为145i，+8）,减区间为m；（2）存在实数”取值范围是（-8,-黑］.36【解析】【分析】(1)分别研究0<xWl,x>l两种情况，先对函数求导，利用导数的方法判断其单调性，即可得出结果;(2)先由题意，得到。(不工：一工；),。(工2，奴2皿%)，再根据。尸,。。，得到OPOQ=x,^+a^x2(%1-1)lnr2=0,得出1叱=一羡垣/0且X工1),再由导数的几何意义，结合题中条件，得到“=!(再一，]J 构造函数秋6J616Jx,[x]-1)4Vb7bVbJx(x-l)【详解】⑴当0<x1时,/(x)=3x2-2,x=x(3x-2),令/'(x)>0得令/'(X)<。得。<X<上.当X>1时，r(x)=lm:+l>0,所以f(x)在(L+?)上是增函数所以当”=1时，/(X)的增区间为(|,吗,减区间为(0,|)；(2)由题意可得：P(XpX；-同),。(私办21nx2)(0<1。，%2〉1)，OP-OQ=+axfw(大_l)lnx2=0,所以1叱=—7-7i(xi *1),时(％,—1)r(w)=a(lnx,+l)=a1 =a -——；=—3('/12) (cos(x,-I)J x,(x,-l)12[1ci—fX|[fXj]+ (0<X)<1)4( 6J6( 6)x,(x,-1)令。(、)=41一6)飞"Jx(l)'(℃<D则d(x)=(27(""2)『+2)=0/j4(x2-x) 2°(x)在得单调递增，加单调递减,购=*)=-果，( 145-所以存在实数。取值范围是7，一0.\ 36当xr0时，^(x)->-oo,= jjxj]+J八,用导数的方法研究函数的单调性，进而可得出结果.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究单调性，最值等，属于常考题型.19.已知复数Z=(2+i)加2---2(1-i),其中i是虚数单位，根据下列条件分别求实数”的值.(I)复数Z是纯虚数；(H)复数二在复平面内对应的点在直线x+y=o上.【答案】(I)m=~—；(II)6=0或6=2.2【解析】【分析】(I)根据纯虚数为实部为0,虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；(H)将复数二在复平面内对应的点表示出来，代人直线上，即可得到答案.【详解】解：因为meR,复数二可表示为z=(2+i)“2—3m(l+i)-2(l—i)二(2m2—3加一2)+(/〃2—3m+2>,(I)因为二为纯虚数，所以2m2-3/n-2=0,加2—36+2。(I)因为二为纯虚数，所以解得加=一,；2(U)复数Z在复平面内对应的点坐标为(262-3加-2,加一36+2)因为复数二在复平面内对应的点在直线K+y=0±所以—3m—2+n^—3m+2=0即3m2—6m=0解得m=0或/〃=2.【点睛】本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.20.)已知0<a<b<l.(I)试猜想4+InZ;与b+Ina的大小关系；(II)证明(D中你的结论.【答案】(Da+\nb>h+\na.(2)证明见解析.【解析】分析：(D由题意，可取a= =J，则a+ln力=［-1,沙+lna=1-2,即可猜想“+Inb>b+lna；TOC\o"1-5"\h\ze"e e e(ID令/(x)=x—Inx,贝!|/(©=1一4，得到函数的单调性，利用单调性即可证明猜想.X详解：(I)取〃=4，力=1，则4+皿6=4-1,fe+lntz=--2,则有a+ln〃>b+lna；ee e~ e再取。=F，b=-y,则a+InZ?=——2,h4-\na———39则有Q+ln/?>b+lna.ee e e故猜想a-\-\nb>b+\na.(II)令/(x)=x—Inx,则/'(x)=l—9当0<x<1时，=l—<0,即函数/(x)在(0,1)上单调递减，又因为。<〃<人<1,所以/(々)>/e)，即a—Ina>h-\nb,故a+In》>b+Ina.点睛：本题主要考查了归纳猜想和利用函数的单调性证明不等关系式，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理论证能力.21.山西省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案,将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为AB+,B,C+,C,D+,E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到［90,1001480,90)470,80)460,70)、［50,60)、［40,50)430,40)420,30)八个分数区间，得到考生的等级成绩。举例说明1：甲同学化学学科原始分为65分，化学学科C+等级的原始分分布区间为［58,69),则该同学化学学科的原始成绩属C+等级，而C+等级的转换分区间为［60,70)那么，甲同学化学学科的转换分为：设甲同学化学科的转换等级分为乂笠±=」=，求得X，66.36.四舍五入后甲同学化学学科赋分成绩为66分。举例说明2：乙同学化学学科原始分为69分，化学学科B等级的原始分分布区间为［69,81)则该同学化学学科的原始成绩属B等级.而B等级的转换分区间为［70,80)这时不用公式，乙同学化学学科赋分成绩直接取下端点70分。现有复兴中学高一年级共3000人，为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布J~N(60,122)。且等级为B+所在原始分分布区间为［82,93),且等级为8所在原始分分布区间为［72,82),且等级为C+所在原始分分布区间为［61,72)(1)若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，小红同学在这次考试中物理原始分为72分，求小明和小红的物理学科赋分成绩；(精确到整数).(2)若以复兴中学此次考试频率为依据，在学校随机抽取4人，记X这4人中物理原始成绩在区间［61,84］的人数，求X的数学期望和方差.(精确到小数点后三位数).附：若随机变量满足正态分布，给出以下数据N(〃32),P(〃一3<4<〃+b)=0.682,P(〃-2s<《<〃+25)=0.954,【答案】⑴小明82分，小红70分；(2)1.504,0.938【解析】【分析】(1)根据题意列式求解(2)先确定区间，再根据正态分布求特定区间概率，最后根据二项分布求期望与方差.【详解】解(1)小明同学且等级为B+,设小明转换后的物理等级分为X,93-8490-x84-82x-80求得》=81.81.小明转换后的物理成绩为82小红同学且等级为B,且等级为B所在原始分分布区间为［72,82),小红为本等级最低分72,则转换后的物理成绩为70分。(2)物理考试原始成绩等级为C+所在原始分分布区间为161,72),C+人数所占比例为24%,又因为物理考试原始成绩基本服从正态分布J〜N(60,12?),当原始分£［72,84)时，人数所占比例为0954~0-682=0.1362则随机抽取一个物理原始成绩在区间［61,84］的概率为0.24+0.136=0.376由题可得》~8(4,0.376)E(X)=4x0.376=1.504D(X)=4x0.376x0.624«0.938【点睛】本题考查新定义理解、利用正态分布求特定区间概率以后利用二项分布求期望与方差，考查综合分析求解能力，属中档题.22.已知函数.f(x)=ln(l+x).(1)证明：j^</(x)<x5⑵已知4=1,an+i=a”+ea",bn=an-\nn,证明：bn+i<bn.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)g(x)=〃x)—x,于是证明g(x)<。即可，左边可由所证得到；(2)即证bn<0,表示成含n的表达式，利用数学归纳法可证.【详解】⑴令g(x)=〃x)-x，贝!lg'(x)=-^—1=产X十1 1I-Xg(X)在(-1,0)上单调递增,在(0,y)上单调递减..,.^(x)<g(O)=O,即/(x)=ln(x+l)<x®X当上>一1时， =-14- >-1l+X1+X由①可得，m「后卜七gpinf-^—|<---,gpin(l+x)>-^U+xJx+1 1 7\+x(2)Z?„+I-bn=aH+l-ln(n+l)-an+\nn=e~u"-ln^-n由(1)可知ln-^^-=ln^l+^>—nbn+.-b,=ea"-In<eu" -②n+， " n n+l下面用数学归纳法证明4>In(〃+1)当〃=1时，4=l>ln2,结论成立;假设〃=&时，结论成立，即4>ln(Z+l)；

当〃=氏+当〃=氏+1时，4+]=ak+e设〃(x)=x+e-*,其中x>0,则〃,(可印-">0在(0,+e)上单调递增又%-4=”>°，数列｛q｝单调递增，故勺>°••・由归纳假设和(1)中结论ak+i=ak+e~a">In化+1)+"“伏训=ln(^+l)+——k+1>ln(k+>ln(k+l)+ln.•.〃=k+l时结论成立，即a“>ln("+l)结合②可得-2<I"一一?-<"岫叫一一'=0,n+1 n+l即如<〃•【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知函数/(x)=e'+eT+2cosx,其中。为自然对数的底数，则对任意“e??,下列不等式一定成立的是( )A./(a2+l)>/(2a)C./(a2+l)>/(a+l)TOC\o"1-5"\h\z2.复数「的虚部为( )[-1i B.-i/(a2+l)</(26f)D./(^2+l)</(a)1 D.-13.某导弹发射的事故率为0.001,若发射10次，记出事故的次数为则。看=( )A.0.0999 B.0.001 C.0.01 D.0.00999.在(2x-g)”的展开式中，二项式系数最大的项的系数为()A.20 B.-20 C.24 D.-24.下列函数中，既是奇函数又是(-L1)上的增函数的是( )A.y=2x B.y=tanxc.y=x'' D.y=cosx.有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X,则其数学期望为E(X)=()A.2 B.2.5 C.3 D.3.5I jr jr\上为单调函数，且.已知函数/(x)=sin(的+0)|口>0,-5<夕<5J在区间上为单调函数，且则函数“力的解析式为(A.sin1 71—X 则函数“力的解析式为(A.sin1 71—X /(x)=/(x)=sin2x/(x)=sin—x8.A.2"-亨,2"+4(keZ)8.A.2"-亨,2"+4(keZ)B.2kn— 2kjr+耳(A€Z)若函数f(x)-斓+s嗔+”)’且〃)=2,f⑹=。，*61的最小值是(则设的单调递增区间是( )

c.[kn--77，Jc^+^](keZ)D.pc”+c.[kn--77，Jc^+^](keZ)D.pc”+^](JceZ).直线1在平面上a,直线m平行于平面a,并与直线1异面.动点P在平面上a,且到直线1、m的TOC\o"1-5"\h\z距离相等.则点P的轨迹为（ ）.A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线.用反证法证明命题：“若实数a,b满足/+。2=0,则a,b全为Q”，其反设正确的是（ ）A.a,b至少有一个为0 B.a,b至少有一个不为0C.a,8全不为0 D.a,b全为。.设函数/（x）=e-2asinx,xe（0/）有且仅有一个零点，则实数a的值为（）K ”A-缶彳 B- C>~el D.缶5.平面上有〃个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成/（〃）块区域，有/⑴=2,/（2）=4,门3）=8,则/（〃）=（ ）.A.2" B."一〃+2C.2"—（"-1）（〃—2）（〃—3） D.〃35〃~+10〃-4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）.已知函数二（二）=］存在二/〈二；〈二，二（二“=二（二。=二（口），则小的最大值为..已知向量a=（2,43）,人=（4,—2,〃）（2，〃为实数），若向量a,b共线，则％+〃的值是..年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数210-160岁至79岁的人数120133341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表"健康"，1代表"基本健康"，0代表"不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”，按健康指数大于0和不大于。进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，则被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为一.直线_与,_i_0与圆,+y2_1交于儿b两点,过分别作「轴的垂线与「轴交于C,D两点，若|CD|=V则整数a= -三、解答题（本题包括6个小题，共70分）.命题尸：函数/（幻=7/-（6+13»-加一2的两个零点分别在区间（0,1）和（1,2）上；命题。：函数g(x)=g/-(w+4)/+x有极值.若命题。，。为真命题的实数，"的取值集合分别记为A,B.(1)求集合A,B;(2)若命题“尸且Q”为假命题，求实数相的取值范围..某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的2x2列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为坦.49认为作业量大认为作业量不大合计男生18女生17合计50(I)请完成上面的列联表；(H)根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？(HD若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为X,求X的分布列及数学期望.附表：PE次)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).(6分)已知公差不为零的等差数列｛为｝满足*=35,且4,%,生2成等比数列.(1)求数列｛《』的通项公式；4 3(2)若或_])(“+3),且数列也｝的前〃项和为力求证：.(6分)如图，在圆心角为90。，半径为60c7〃的扇形铁皮上截取一块矩形材料0ABC,其中点。为圆心，点8在圆弧上，点4。在两半径上，现将此矩形铁皮0ABe卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长= 圆柱形铁皮罐的容积为丫(x)c“3.

(1)求圆柱形铁皮罐的容积V(x)关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)当x为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V(x)最大？最大容积是多少？(圆柱体积公式:V=Sh,S为圆柱的底面枳，力为圆柱的高).(6分)某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030(I)根据以上2x2列联表判断，能否在犯错误的1?1率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？(U)从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X的分布列及数学期望.参考公式：k2=- -,其中〃=a+b+c+d(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据:P(K*)0.050,o0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822.(8分)已知函数/(x)=gx2-2alnx+(a-2)x.(1)当。=一1时，求函数/(x)的单调区间；(2)是否存在实数a,使函数g(x)=/(x)-在(0,y)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题(本题包括12个小题，每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)A【解析】【分析】/(-x)=/(x),可得y(x)在R上是偶函数.函数"x)=e'+er+2cosx,利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【详解】解：〃T)=/(x),.•・/(X)在R上是偶函数.函数〃力="+2cosx,f(x)=ex-e-x-2sinx,令g(x)=ex-e~x—2sinx,贝!Ig<x)=e*+e-jr-2cosx>0,函数g(x)在R上单调递增，r(o)=。，函数/(x)在［0,+8)上单调递增.rz2+l>2|a|>0,.■.f(a2+l)>f(2^)=f(2a),/(a2+1)>/(2a).故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.C【解析】【分析】先化简复数，即得复数的虚部.

【详解】r2i由题得匚72<(l+f)【详解】r2i由题得匚7(l-Od+O-2所以复数的虚部为1.故选c【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.D【解析】【分析】根据题意:服从二项分布，由公式处=叩。—〃）可得求得。【详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了1。次，所以可以认为是10次独立重复试验，故二服从二项分布8(10,0.001),£>^=/?/?(l-p)=10x0.001x0.999=0.00999.故选D.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，由服从二项分布的方差公式可直接求出。B【解析】【分析】根据展开式中二项式系数最大的项是刀，由此求出它的系数.【详解】的展开式中，二项式系数最大的项是7；=C0（2x）3・（-g）3=-20x3,其系数为-1.故选B..【点睛】本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题.B【解析】【分析】分别画出各选项的函数图象，由图象即可判断.【详解】由题.画出各选项函数的图象,则选项A为由图象可知，选项B满足既是奇函数又是（-1,1）上的增函数,故选:B【点睛】本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质.B【解析】【分析】利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出.【详解】随机变量X的所有可能取值为随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P（X=k）="cF(k=l,2,3,4).所以，随机变量X的分布列为X1234P1143_7371141 3 3 1 5随机变量X的数学期望E(X)=lx—+2x-+3x-+4x—=-.【点睛】本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.C【解析】【分析】可求出夕，f由函数在区间一看,上为单调函数，得周期TN笄，/闺=一/（一升得出图像关于（0,0）对称,,得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解.可求出夕，f【详解】jrjr设f（x）的最小正周期为T,f（x）在区间一7,忆上具有单调性,/（X）有对称中心（0,0）,所以/（X）有对称中心（0,0）,所以8=0.所以/(X)有所以/(X)有对称轴71~4故『*一，"・"，解得0=2,所以/(x)=sin2x.故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.A【解析】【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过《_6的最小值是一推出函数的最小正周期，然后得出的值,最后得出函数的单调递增区间.【详解】f(x)=VJsinGr-a)x) \+sm(—Fa)x)=、Bsin3x)-Feos(cox)=2sin(cox+亍)再由f(a)=2,f(fi)=0*|a- 的最小值是汀可知,3=[% T9(keZ)% T9(keZ)-"2"=x+浮12"I )xe[2kn•-m2kn+科【点睛】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间.D【解析】【详解】设m在平面a上的投影/1,与直线1交于点O.在平面a上，以。为原点、直线1为y轴建立直角坐标系.则设加的方程为y=履.又设点P（x,y）.则点p到直线1的距离N，点p到直线"的距离为号浮.从而，点P到直线m的距离平方等于止网_+/,其中，a为直线m到平面a的距离.1+公因此，点P的轨迹方程为（）一二）+/=/,即为双曲线.1+%2B【解析】【分析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立即可.【详解】因为命题“若实数"，b满足"+从=0,则。，b全为0”的否定为“若实数。，〃满足片+从二。，则a,b至少有一个不为0”；因此，用反证法证明命题："若实数”，人满足/+〃=（）,则a,b全为0"，其反设为“。，人至少有一个不为0”.故选B【点睛】本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型.B【解析】【分析】X X X先由题意得到方程J=2a在x«0,/r）上仅有一个实根；令g（x）=_£_,得到函数g（%）=_£—与sinx sinx sinx直线y=2a在xe（O,乃）上仅有一个交点；用导数的方法判断且（幻=£单调性，求出最值，结合图像,sinx即可得出结果.【详解】因为函数f{x}=/-2asinx,xe（0,乃）有且仅有