江西省丰城市第九中学（日新班）2023届新高三上学期摸底考数学（文）试题（解析版）

丰城九中2022-2023学年上学期日新部高三摸底考试数学（文）试卷一､单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.【详解】，，,故选：C2.已知是虚数单位，则的虚部是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】直接进行复数运算结合虚部的概念即可得结果.【详解】，故其虚部为，故选：D.3.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.设向量，夹角的余弦值为，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，所以.所以．故选：B.5.函数在上的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，当时，，故排除A，只有C满足条件.故选：C6.已知数据，，…，的平均值为，方差为，若数据，，…，的平均值为，方差为，则（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，若可得，，代入数据，解得的值．【详解】因为，，…，的平均值为，方差为，由数据，，…，的平均值为，方差为，所以，解得，．故选：A．7.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．8.已知函数，数列是公差为1的等差数列，且，若，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得故是公比为的等比数列，即可计算，则可解．【详解】因为，，所以，，所以数列是公比为的等比数列，所以，所以，所以，故选：D9.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．【详解】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．10.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得的周期，结合已知函数解析式，即可代值求得结果.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，故可得，则，故以为周期；故.故选：.11.棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用求得点坐标间的相互关系，写出面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系，依题意有，，由于，故，解得.根据正方体的性质可知，，故为直角三角形，而，故，的面积为，当时，面积取得最小值，故选:A.12.已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设上的切点分别为H､I､J，则.由，得，∴，即.设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，，当时，；当时，由题知，，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，综上所述，.故选：B.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.函数在处的切线与直线垂直，则实数______.【答案】【解析】【分析】求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值.【详解】解：函数的导数为，可得在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查运算能力，属于基础题.14.若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是___________.【答案】【解析】【分析】求出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥的高和体积.【详解】设圆锥的底面圆半径为，因为母线长为，所以侧面展开图的面积为，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积是．故答案为：.15.已知，若a，b都是从区间中任取的一个数，则满足的概率为___________.【答案】##0.125【解析】【分析】求出给定条件下数对所在区域的面积，再求出在此区域内满足的区域面积，借助几何概型计算作答.【详解】依题意，数对满足，表示的平面区域如图中正方形OABC及内部，由得：，符合条件的数对是正方形OABC与直线所围阴影，其中点，正方形OABC的面积，面积，所以所求概率为.故答案为：16.定义表示不超过的最大整数，如.函数，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得时，时，从而可求出，再利用裂项相消求和法可求出.【详解】，，，此区间段内有1个元素，，，，此区间段内有1个元素，，，，此区间段内有2个元素，，，，此区间段内有3个元素，……，，，此区间段内有个元素，，，，此时有1个元素，所以，，，∴当时，，验证可得，，所以，，故答案为：三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算）17.在△ABC中，cosC＝，c＝8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：a＝7；条件②：cosB＝.求：（1）b的值；（2）角A的大小和△ABC的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】选①时，首先利用余弦定理求出b的值，进一步利用三角函数的值的应用和正弦定理，及三角形的面积公式的应用求出结果．选②时，利用正弦定理和三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【详解】选条件①:（1）时,,利用,整理得,解得或（负值舍去）,故.（2）由于,所以,利用正弦定理,所以,解得,由于,所以,则.选条件②:（1）,所以,所以甴正弦定理,整理得,解得（2）,所以,所以,所以由于,所以所以18.记正项数列的前n项和为，且满足对任意正整数n有，，构成等差数列；等比数列的公比，，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用给定条件列式，结合“当时，”变形整理，求出，进而求出作答.（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.【小问1详解】依题意，，，当时，，当时，，两式相减得：，即，于是得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；依题意，，有，又，则，又，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，，则，，所以.19.如图，三棱柱中，底面为等边三角形，平面，且，点为的中点，点为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可知，由线面垂直的性质定理可知；再结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，连接，由线面垂直的判定定理可证得面，即三棱锥的高为；易知，故，，以便求的面积；设点到平面的距离为，由等体积法，解出的值即可.【详解】证明：（1）底面为等边三角形，且为的中点，.面，面，，又，面，面，面，面，面面.（2）解：取的中点，则，连接.面，面，，，、面，面，即三棱锥的高为.，，，，，为的中点，，且.设点到平面的距离为，，，解得，故点到平面的距离为.【点睛】本题考查空间中线与面的垂直关系、点到面的距离，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.20.已知点是已知椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，面积达到最大，且最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，点在短轴端点时，△PF1F2的面积最大，且为正三角形，进而得到的关系，解得答案即可；（2）根据判断出四边形是平行四边形，进而设出直线方程并代入椭圆方程化简，然后结合根与系数的关系求出面积的表达式，最后解出面积的范围.【小问1详解】由题可知，当点在短轴端点时，△PF1F2的面积最大，且为正三角形，，又，由，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，则由，可得，即，，又因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为S，则.设，则,所以因为，而对勾函数在上单调递增，所以，所以.所以四边形面积的取值范围为.【点睛】本题破解点在于根据判断出四边形是平行四边形，进而列出面积的表达式，到这里应该可以想到应该运用根与系数的关系解决问题.21.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若直线与曲线相切，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分别解不等式、，可得出函数的减区间和增区间；（2）设切点坐标为，可得出，利用零点存在定理得出，构造函数，利用函数的单调性求得的取值范围，即为的取值范围，由此可求得的取值范围.【详解】（1），.当时，，此时函数上单调递减；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，，所以，，整理可得，，，令，则函数为上的增函数，，，，令，则，当时，，所以，函数在区间上单调递减.因为，则，即，，因此，.【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.【小问1详解】由（t为参数），可得l的普通方程为；由曲线C的极坐标方程及可得，整理得，所以曲线C的直角