高中数学人教高中必修第三章直线与方程两条直线的交点坐标

教学重点、难点

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：1．理解两直线的交点与方程组的解之间的关系

2．过定点的直线系方程二、探究新知

1.两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系

及求两直线的交点坐标思考：已知两条直线

相交，如何求这两条直线交点的坐标？几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是看下表，并填空几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是看下表，并填空几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是看下表，并填空结论：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需

写出这两条直线的方程，然后联立求解。例1：求两条直线的交点坐标：

例1：求两条直线的交点坐标：

解：解方程组

得直线与直线的交点坐标是变式：三条直线

相交于一点，求

的值。变式：三条直线

相交于一点，求

的值。分析：先求出直线

和

的交点坐标，再将交点坐标代入方程

中，求出的值解：解方程组

得所以两条直线的交点坐标为由题意知，点

在直线

上将点的坐标代入得解得2.利用直线方程判断两直线的位置关系

思考：如何根据直线方程判断两直线的位置关系？两条直线

与

的公共点个数无数个方程组

的实数解无解直线

与

的位置关系相交2.利用直线方程判断两直线的位置关系

思考：如何根据直线方程判断两直线的位置关系？两条直线

与

的公共点个数一个零个无数个方程组

的实数解一组无解无数组直线

与

的位置关系相交平行重合例2：判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标例2：判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标解：解方程组得所以，与相交，交点是例2：判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标解：解方程组得，矛盾。方程组无解，所以两直线无公共点，

例2：判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标解：解方程组两直线方程可以化为同一个方程，即表示同一条直线，与重合。

探究1：

你不通过解方程组，能由两条直线的方程直接观察出它们的位置关系吗？

相交

平行

重合

探究1：

你不通过解方程组，能由两条直线的方程直接观察出它们的位置关系吗？

相交

平行

重合若，则与平行若，则与重合若，则与相交

例3：求经过直线

的交点

且与直线

平行的直线

的方程。

例3：求经过直线

的交点

且与直线

平行的直线

的方程。

解法一：解方程组

，得

所以两条直线的交点坐标为

直线

的斜率

因为直线

和直线

平行，所以直线

的斜率

根据点斜式有

整理得

即所求直线

的方程为

例3：求经过直线

的交点

且与直线

平行的直线

的方程。

解法二：解方程组

，得

所以两条直线的交点坐标为

因为直线

和直线

平行，所以设所求直线

的方程为

将交点坐标

代入

的方程

解得

所以直线

的方程为

，即

3.过定点的直线系方程

探究2：当

变化时，方程

表示什么图形？图形有何特点？

当

取不同的实数时，方程表示不同的直线，但这些直线过同一点。

3.过定点的直线系方程

探究2：当

变化时，方程

表示什么图形？图形有何特点？

当

取不同的实数时，方程表示不同的直线，但这些直线过同一点。观察模型得出结论：方程表示过直线

与

的交点的直线系，但不包括直线

。

此时，你想到解决例3的新方法了吗？

例3：求经过直线

的交点

且与直线

平行的直线

的方程。

此时，你想到解决例3的新方法了吗？

例3：求经过直线

的交点

且与直线

平行的直线

的方程。

解法三：设所求直线方程为整理得因为所求直线与

平行所以

，解得代入得整理得

例4：你能说明不论

为何实数，

直线

恒过一定点吗？

例4：你能说明不论

为何实数，

直线

恒过一定点吗？

解：由