初中数学北师大九年级上册图形的相似-相似三角形的性质

1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.(重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.(重点)学习目标导入新课复习引入1.相似三角形的判定方法有哪几种？◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似◑平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似◑三边成比例的两个三角形相似◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似◑两角分别相等的两个三角形相似◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似2.三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？高中线角平分线周长面积

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？讲授新课相似三角形对应线段的比一ABCA'B'C'合作探究类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.由此我们可以得到：相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有：

相似三角形对应线段的比等于相似比.归纳：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'

，解：如图，分别作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

则∠ADB=∠A'

D'

B'=90°.

∴△ABD∽△A'

B'

D'.ABCA'B'C'D'D∴例1

例1、在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2．求这个地块的实际周长和面积．典例精析1.两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应角平分线之比为________，周长之比为_______，面积之比为_______2.

若两个三角形面积之比为16：9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_______

3.两个相似多边形的面积之比为1：4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别为__________练一练

相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？想一想：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，从而相似三角形面积的比二

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？合作探究ABCA'B'C'由前面的结论，我们有ABCA'B'C'D'D相似三角形面积的比等于相似比的平方．由此得出：归纳：1.已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2

k……周长比……面积比10000……试一试：24100100kk22.把一个三角形变成和它相似的三角形，(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的______倍；(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍.25103.两个相似三角形的一对对应边分别是35cm、14cm，(1)它们的周长差60cm，这两个三角形的周长分别是________________；(2)它们的面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比为1:2.ABCDEF∴例2

如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.ABCDEF∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为

如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______.

练一练例3

如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.

∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

△ADE∽△ABC.又∵△ABC的面积为100

cm2，∴△ADE的面积为36cm2

.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).BCADE

如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.ABCDFE练一练解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.

∴ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.设S△ABC

=4，则S△ADE=1，S△EFC=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=1.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍

()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍

()√×当堂练习3.

连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ

的值为()A．2B．4C．1D.C4.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.145.

如图，这是圆桌正上方的灯泡(点A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2

米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，

桌面的直径为1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，

∴△ADF∽△ACH，ADEFCBH∴即解得CH=0.9米.∴阴影部分的面积为：(平方米).答：地面上阴影部分的面积为2.54平方米.6.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴AE:EC=2:3，则AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25，∴S△ABC=25.7.如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E，S△ADE＝2S