正方形典型例题

正方形·典型例题能力素质

武冈三中山青水秀

例1如图4.6－2，已知正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交DC于F，求证：BE＝AE＋CF．

．解析证AE＋CF＝BE，可以把AE与CF相接，证其与BE相等

证明延长EA到G，使AG＝CF，

连结BG．在正方形ABCD中，AB＝BC，∠BAG＝∠C＝90°．∴△GAB≌△FCB．∴∠GBA＝∠FBC．∠G＝∠BFC．又∵AB∥CD．∴∠BFC＝∠ABF＝∠EBA＋∠EBF．又∵BF平分∠EBC，∴∠EBF＝∠FBC．∴∠GBA＝∠EBF．∴∠G＝∠BFC＝∠EBA＋∠EBF＝∠EBA＋∠GBA＝∠EBG．∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE

例2如图4.6－3，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC⊥BG．解析易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB

证明(1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．即∠EAC＝∠BAG，∴△EAC≌△BAG．∴EC＝BG．(2)由(1)知：△EAC≌△BAG，∴∠AEC＝∠ABG．又∵∠1＝∠2，∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG．

点评若把例题中，∠BAC为锐角改为钝角，

其余条件不变，上述两结论仍能成吗？

如果成立试证明之

例3如图4.6－4，以△ABC的边AB，AC为

边向形外作正方形ABDE和正方形ACFGAH⊥BC，交EG于M，垂足为H，求证：EM＝MG．解析(思路一)过E作AG的平行线交AM延长线于连接KG，证明四边形KEAG是平行四边形行即可．(思路二)可证E，G到AM的距离相等即可

证法一如图4.6－4过E作EK∥AG，交AM的延长线于K，连结GK．∴∠KEA＋∠EAG＝180°．在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE＝AB，∠EAB＝∠GAC＝90°．∴∠EAG＋∠BAC＝180°．∴∠KEA＝∠BAC．∵AH⊥BC．∴∠BAH＋∠ABC＝90°．又∵∠EAK＋∠BAH＝90°．∴∠EAK＝∠ABC．又∵AB＝AE，∴△KEA≌△ABC．∴EK＝AC，又AC＝AG．∴EK＝AG．∴四边形EAGK是平行四边形．∴EM＝MG．证法二分别过E，G作AM的垂线，垂足为P、Q，在正方形GACF中，AG＝AC，∠GAC＝90°．∴∠GAQ＋∠CAH＝90°．又AH⊥BC．∴∠CAH＋∠ACH＝90°．∴∠GAQ＝∠ACH．又∠GQA＝∠AHC＝90°．∴△GQA≌△AHC．∴GQ＝AH．同理可证：EP＝AH．∴EP＝GQ．又∵∠PME＝∠GMQ．∠EPM＝∠GQM＝Rt∠．∴△EPM≌△GQM．∴EM＝MG．例4如图4.6－6，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．解析可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF

证明取AB中点M，连结ME在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．又E为BC中点，∴AM＝BM＝BE＝EC．∴∠BME＝45°．∴∠AME＝135°．又CF平分∠DCG．∴∠ECF＝135°．∴∠AME＝∠ECF．又∵AE⊥EF，∴∠FEC＋∠AEB＝90°．又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．∴∠FEC＝∠BAE．∴△AME≌△ECF．∴AE＝EF．例5(2001年江苏扬州中考题)如图4.6－7，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：AP＝EF．证明连结AC交BD于O，

连结PC．在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD平分AC．∴PA＝PC．又∵PE⊥CD，PF⊥BC，

∠DCB＝90°．∴四边形PFCE是矩形．∴EF＝PC．∴PA＝EF．考点正方形性质，矩形性质和判定

例6(2001年江苏泰州中考题)如图4.6－8已知，正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于[]A．7