正规,正则空间

定义6.1.1

X是一个拓扑空间,如果对于X中任意两个不同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是一个T0空间.xyUVT0空间定理6.1.1拓扑空间X是一个T0空间当且仅当若x≠y,则定义6.1.2X是一个拓扑空间,若X中任意两个不相同的点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是一个T1空间.x

yUVT1空间定理6.1.2设X是一个拓扑空间，则下列条件等价：（1）X是一个T1空间；（2）X中每一个单点集都是闭集;（3）X中每一个有限子集都是闭集.Nextth定理6.1.3设X是一个T1空间,则点是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点，即是一个无限集.定理6.1.4设X是一个T1空间,则X中的一个由有限个点构成的序列{xi}收敛于点x当且仅当存在N>0使得xi=x对于任意i≥N成立.定义6.1.3X是一个拓扑空间,若X中任意两个不相同的点都各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称X是一个Hausdorff空间，或T2空间.x

yUVT2空间

例6.1.1非Hausdorff的T1空间的例子.定理6.1.5Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点.§6.2正则，正规，T3,T4空间

定义6.2.1设X是一个拓扑空间，.若，则称U是集合A的一个邻域.特别的，若U还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域.换言之继续也可以换一个说法

若存在一个开集V满足:则称U是A的一个邻域.

定义6.2.2设X是一个拓扑空间，若X中的任何一个点x和任何

一个不包含x的闭集A都各有一个开邻域U,V，使得，则称X是一个.xAUV定理6.窗2.积1是一个拓敢扑空猫间,则润是一个正握则空卫间当食且仅彩当对腰于任兄何映点狗和接的任斧意一个邻毅域U,存在一个往的开车邻域V使得:xUV充分立性对任糕意的x∈X和不宴包含x的任取意闭妈集A,则宝是x的一个开铅邻域,故有x的开拖邻域U使得,令,则有,所以V是A的一个开赶邻域,并且派有,这说创明X是一个正估则空逗间.图继续xAU定义6.板2.筑3设X是一谅个拓删扑空团间,若X中任庆意两夫个互夺不相牧交的水闭集A、B都各叨有一袍个开烈邻域U、V，满秀足则称是拓扑则空间X是一倘个正捷规空澡间.ABUV定理6.表2.佳2设X是一个拓度扑空妹间.则X是一个正葬规空法间当雪且仅柱当对卖于任腊何一个闭加集讨和A的任持何一个开叉邻域U，存特在A的一个开另邻域V，使漆得.正则塞且正更规的匙空间但非T0,T1,T2空间踏的例喜子设X＝{1龟,2马,3每}隐,TT2空间伴但非蒙正则絮、非正掘规空绿间的延例子记T为实盼数空从间的己通常耐拓扑设,则T1是R的一攻个拓挡扑继续继续(R,T1)是一个Ha宁us逝do婶rf槐f空间;(R,T1)不是一个正跌则空早间;(R,T1)不是一个正耽规空喉间;继续证明(1板)倾K是T1中的摩闭集;(2涝)竞0和K在T1中没纯有互胜不相长交的开邻更域,因而(R,T1)不是开正则看空间;(3遍)陵{0铸}也是T1中的土闭集,由(2已)知(R,T1)也不师是正掉规空慌间返回易知幅它是僚正规右空间拜；但它长不是氏正则陵空间崖，这残是因升为在爪拓扑盖空间帆中1和｛2，3｝，监没有盖它们罚各自深的开幸邻域政互不视相交.定义6.牵2.验4正则财的T1空间湾称为T3空间,正规摸的T1空间嚷称为T4空间.注:定理6.彻2.苏3每一博个度签量空愿间都单是T4空间.证明:易知单度量巷空间板是Ha顿us猫do嚼rf弃f空间亲，因女而是T1空间