2023年微分中值定理与导数的应用习题x

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐微分中值定理与导数的应用习题.docx第四章微分中值定理与导数的应用习题

§微分中值定理

1．填空题

（１）函数f(x)arctanx在[0,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是4

．

（２）设f(x)(x1)(x2)(x3)(x5)，则f(x)0有3个实根，分离位于区间(1,2),(2,3),(3,5)中．

2．挑选题

（１）罗尔定理中的三个条件:f(x)在[a,b]上延续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，是f(x)在(a,b)内至少存在一点，使f()0成立的（B）．

A．须要条件B．充分条件C．充要条件D．既非充分也非须要条件

（２）下列函数在[1,1]上满足罗尔定理条件的是（C）．

A.f(x)ex

B.f(x)|x|

C.f(x)1x2

D.

f(x)xsin

1

,x00,

x

x0

（３）若f(x)在(a,b)内可导，且x1、x2是(a,b)内随意两点，则至少存在一点，使下式成立（B）．

A．f(x2)B．f(x1)f(x1)(x1x2)f()(a,b)

f(x2)(x1x2)f()在x1,x2之间

C．f(x1)D．

f(x2)f(x2)(x2x1)f()x1x2f(x1)(x2x1)f()x1x2

3．证实恒等式：arctanxarccotx(x)．

2

证实：令f(x)arctanxarccotx，则f

11

0，所以f(x)为一常数．(x)

2

1x2

1x

设f(x)c，又由于f(1)，

2

故arctanxarccotx

2

(x)．

4．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)f(x2)f(x3)，其中ax1x2

x3b，证实:在(x1,x3)内至少有一点，使得f()0．

证实：因为f(x)在[x1,x2]上延续,在(x1,x2)可导,且f(x1)f(x2)，按照罗尔定理知，存

在1(x1,x2)，使f(1)0．同理存在2(x2,x3)，使f(2)

0．又f(x)在[1,2]上

符合罗尔定理的条件，故有(x1,x3)，使得f()0．

5．证实方程1xx2x3

0有且仅有一个实根．26

证实：设f(x)1

x2x3

则f(0)10,f(2)

1

0，按照零点存在定理至x，

3

26

少存在一个(2,0)，使得f()0．另一方面，假设有x1,x2(,)，且x1x2，使

f(x1)f(x2)0，按照罗尔定理，存在(x1,x2)使f(

12

0，这与)0，即1

2

1

12

0冲突．故方程1

x2x3

0惟独一个实根．

2

x

6

2

6．设函数f(x)的导函数f(x)在[a,b]上延续，且f(a)0,f(c)0,f(b)0，其中c是介

于a,b之间的一个实数．证实：存在(a,b),使f()0成立.

证实：因为f(x)在[a,b]内可导，从而f(x)在闭区间[a,b]内延续，在开区间(a,b)内可导．又由于f(a)0,f(c)0，按照零点存在定理，必存在点1(a,c)，使得f(1)0．同理，存在

点

2

(c,b)，使得f(2)0．因此f(x)在1,2上满足罗尔定理的条件，故存在(a,b)，使

f()0成立．

7.设函数f(x)在[0,1]上延续,在(0,1)内可导.试证:至少存在一点(0,1),使

f()2[f(1)f(0)].

证实：只需令g(x)x2，利用柯西中值定理即可证实.

8．证实下列不等式

（１）当

x

时，sinx

cosx．

x

证实：设f(t)sinttcost，函数f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，且

f(t)tsint,故f(x)f(0)f'()(x0),0x,即

sinxxcosx

xsin

0(0

x

)

因此，当0

x

时，sinxcosx．

x

（２）当

a

b0时，

a

b

ln

a

ab．

a

b

b

证实：设f(x)

lnx，则函数在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理得条件，有

f(a)

f(b)

f'()(ab),b

a

由于f'

(x)

1，所以lna1

(ab)，又由于b

a，所以1

11，从而

xb

a

b

abln

a

ab．

a

b

b

§洛毕达法则

1．填空题

（１）limcos5x

5

3x

cos3x

2

1

)

ln(1

（２）lim

x

x

arctanx

（３）lim(

1

1)=

1

x0

x

2

xtanx

3

（４）lim(sinx)x1

x0

２．挑选题

（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（B）

limlnn

lim1

n

n

n

A．lim

n

e

n

e

n

n

B．limx

sinx

lim

1x

sinx

x0

x01

1

cosx

cosx

x2sin12xsin1cos1C．

limsinxxlimxx

不存在

x0x0

cosx

D．

x

1

1

lim

=lim

x0

e

x

x

e

x

（２）

在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（

C）

x2

B．lim(1

)

tanx

．lim

xsinx

D．lim

x

n

A．lim

C

xx

sinx

x0

x

x

x

x

e

3．求下列极限

（１）lim

xmam．x

a

x

n

an

解：limxm

am=limmxm1

xa

xn

a

n

xa

nx

n1

mamn．

n

（２）lim

2x

22x2．

x

x

解：lim

2x22x2=lim2xln22xln2=lim2x(ln2)2

2x(ln2)2=(ln2)2．

x0

xx02xx02

（３）lim

sinx

x3

tanx．

x0

sinx

tanx

tanx(cosx1)

x(1x2)

1

解：lim

2

＝

．

x3

＝lim

x3

lim

x3

2

x0

x

x

（４）limexsinx1．

x0(arcsinx)2

解：lim

ex

sinx1

＝lim

ex

sinx1＝limex

cosxlimex

sinx1．x0

(arcsinx)2

x

x2

x

2x

x0

22

x

xx

（５）lim

．

x1

1

xlnx

解：(xx)

xx(1lnx)，

xx

x1x

x(1lnx)

xx(1lnx)2

xx1

lim

＝lim

x

＝lim

11

x1

1xlnx

x1

1

x1

x

x

2

lim[xx2(1lnx)2xx1]2．

x

1

（６）lim(

1

1)．

x0

x

ex1

解：lim(

1

x

1x2

1)lim

e

x1lim

2

1x0

xex

1

x0

x(ex

1)

x0

x2

2

（７）

lim(1

)tanx．

x0

x

1

sin2

1

limtanxlnx

lnx

limx

x

tanx

lim

lim

解：lim()e

x0

e

x

0cotx

e

x

0csc

2

x

ex

0x

1．

xx0

（８）limln(1

2x

)ln(1

3

)．

x

x

3

)=lim

3

ln(1ln(12x)

2xln2

解：

limln(12x)ln(1

2x)3lim3lim12x

x

x

x

xxxx

1

=3ln2lim

2xx=3ln2．

12x

（９）

limn

n．

n

lim1

lim1

解：由于limx

lnx

x

x

e

x

xe

xx

1，所以limn

n=1．

n

§函数的单调性与曲线的高低性

1．填空题

（１）

函数y4x

2

ln(x2

)的单调增强区间是(1,0)(1

,)，单调削减区间

22

(,1)(0,1

)．

22

（２）若函数f(x)二阶导数存在，且

f(x)0,f(0)0，则F(x)

f(x)在0x上

x

是单调

增强．

（３）函数y

ax21在(0,

)内单调增强，则a0．

（４）若点（1，3)为曲线yax3bx2

的拐点，则a

3

，b

9

，曲线的凹区间为(,1)，

2

2

凸区间为(1,)．

2．单项挑选题

（１）下列函数中，（

A）在指定区间内是单调削减的函数.

A.y

2x(,

)

B.yex

(

,0)

C.y

lnx

(0,

)

D

.

ysinx(0,)

（２）设f(x)

(x1)(2x1)，则在区间(1

,1)内（B

）．

2

A.y

f(x)单调增强，曲线yf(x)为凹的

B.yf(x)单调削减，曲线yf(x)为凹的

C.yf(x)单调削减，曲线yf(x)为凸的

Ｄ．yf(x)单调增强，曲线yf(x)为凸的

（３）f(x)在(,)内可导,且x1,x2,当x1x2时,f(x1)f(x2),则(D)A.随意x,f(x)0B.随意x,f(x)0

C.f(x)单调增

D.f(x)单调增

（４）设函数f(x)在[0,1]上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（B）

A.f(1)f(0)f(1)f(0)

B.f(1)f(1)f(0)f(0)

C.f(1)f(0)f(1)f(0)

D.f(1)f(0)f(1)f(0)

2．求下列函数的单调区间

（１）yexx1．

解：yex1，当x0时，y0,所以函数在区间[0,)为单调增强；

当x0时，y0，所以函数在区间(,0]为单调削减．

（２）y(2x5)3x2．

10x1

解：y3(x1)，

3

当，或

x0时，y0,所以函数在区间(,0][1,)为单调增强；

x1

当0x1时，y0，所以函数在区间[0,1]为单调削减．

（３）解：

yln(x1x2)

1x

x21

y

1

0，故函数在(,)单调增强．

x1x21x2

3．证实下列不等式

（１）证实：对随意实数a和b,成立不等式|ab||a||b|．

1|ab|1|a|1|b|

证实：令f(x)x，则f(x)10，f(x)在[0,)内单调增强.

1(1x)2

x

于是,由|ab||a||b|,就有f(|ab|)f(|a||b|),即

|ab||a||b||a||b||a||b|

1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|

（２）当x1时,lnx2(x1)

．x1

证实：设f(x)(x1)lnx2(x1)，f'(x)lnx11，因为当x1时，

x

f(x)11

0,因此f(x)在[1,)单调递增,当x1时,f(x)f(1)0,故f(x)xx2

在[1,)单调递增,当x1时,有f(x)f(1)0.故当x1

时,f(x)(x1)lnx2(x1)0,因此lnx

2(x1)

x．

1

（３）当x0时，sinx

x3x．

6

证实：设f(x)sinxxx3

,f(x)cosx

x2

0，当x0，f(x)xsinx0，6

1

2

所以f(x)在[0,)单调递增,当x0时,f(x)f(0)0,故f(x)在[0,)单调递增,

从而当x0时,有f(x)f(0)0.因此当x0时，sinxxx3

．6

4．研究方程x

2sinxk(其中k为常数)在(0,)内有几个实根．

2

解：设(x)xsinxk,则(x)在[0,]延续,且(0)k,()k，222

由(x)1

2cosx0，得xarccos

2

为(0,)内的唯一驻点．

2

(x)在[0,arccos2

]上单调削减，在[arccos

2

,]上单调增强．

2

故(arccos2)arccos

2

2

4

2k为微小值，因此(x)在[0,]的最大值是

k,最

2

小值是arccos

2

2

4k．

2

arccos

2

2

4（１）

当k

0,或k

2时,方程在(0,)内无实根；

2

当arccos

2

2

4

（２）

2

k

0时,有两个实根；

arccos

2

2

4（３）

当k

2

时，有唯一实根．

5．试确定曲线y

ax3bx2cxd中的a、b、c、d，使得x2处曲线有水平切线，(1,10)

为拐点，且点(2,44)在曲线上．

解：y

3ax22bxc,y

6ax2b，所以

3a(2)22b(2)c

6a2b

a

bcd

10

a(2)3b(2)2c(2)d

44

解得：a1,b

3,c

24,d

16．

6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间

（１）yx

x

1

x2

解：

y

1

x212,

y

2x3

6x

,

2

1)

(x2

1)

3

(x

令y0,得x

0，当x1时y不存在．

当

1x

0或x1时,y

0,当x1或0x1时,y0．

故曲线yx

x

在(,1)

(0,1)上是凸的,在区间和(1,0)(1,)上是凹的，

1

x2

曲线的拐点为(0,0)．

（２）y

(2x5)3x2拐点及凹或凸的区间

解：y

10x1，y102x1．

3

3

x

9x3x

当x

0时，y,y不存在；当x

1

时，y0．

2

故曲线在(

,1

)上是凸的,在(1,)上是凹的，(

1

,332)是曲线的拐点,

2

2

2

7．利用高低性证实:

当0x

时,x

x

sin

2

证实：令f(x)sin

xx

则f(x)

1x1,f(x)

1x

2

,cos

sin

．

2

2

4

2

当0x

时,f(x)0,

故函数f(x)

x

x

)上是凸的,从而曲线

sin

的图形在(0,

2

yf(x)在线段AB（其中A(0,f(0)),B(

,f()）的上方，又f(0)f()0,因此f(x)0,

x

x

即sin．2

§函数的极值与最大值最小值

1．填空题

（１）函数y

x2x取微小值的点是x

1．

ln2

2

1

（２）

函数f(x)x

3

(x

2

1)3

在区间[0,2]上的最大值为f(1

)

3

2，最小值为

2

2

f(0)1

．

2．挑选题

（１）

设f(x)

在(

,

)

内有二阶导数，

f(x0)

0，问

f(x)

还要满足以下哪个条件，则

f(x0)必是f(x)

的最大值？（

C）

A．

x

x0是

f(x)的唯一驻点

B

．x

x0是

f(x)的极大值点

C．f(x)在(,)内恒为负

D．

f(x)不为零

（２）已知f(x)对随意yf(x)满足xf(x)3x[f(x)]

2

1ex

，若

f(x0)

0(x0

0)，则（B）

A.f(x)为

f(x)的极大值

B.

f(x)为

f(x)的微小值

C.（x0,f(x0))为拐点

D.

f(x0)不是极值点,（x0,f(x0))不是拐点

（３）若f(x)在x0至少二阶可导,且lim

f(x)f(x0)

1,则函数f(x)在x0处(Ａ)

2

xx0

(xx0)

A．取得极大值

B．取得微小值

C．无极值

D．不一定有极值

3．求下列函数的极值

（１）fxx

3x2/3．2

1

解：由f(x)

1x3

0，得x1．

4

f(x)

1

x

3

,f''(1)0，所以函数在

x

点取得微小值．

3

1

1

（２）f(x)

xx．

解：定义域为(0,

)，y

1lnx

1

1lnx)，

ex,y

xx

x2(1

令y

0得驻点xe，当x

(0,e)时，y

0，当x

(e,)时，y0．

1

因此y(e)ee为极大值．

4．求y2x33x212x14的在[3,4]上的最大值与最小值．解：y(

3)23,y(4)

132．

由y6x26x120，得x1,x2．

而y(1)

7,y(2)34,所以最大值为132，最小值为7．

5．在半径为R的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V最大．解：设圆锥体的高为h,底半径为,故圆锥体的体积为V1r2h，

3

因为(hR)2r2R2，因此V(h)1h(2Rhh2)(0h2R)，

3

由

124R22

V(h)(4Rh3)0，得h，此时rR．3h33

因为内接锥体体积的最大值一定存在,且在(0,2R)的内部取得.现在V(h)0在(0,2R)内惟独一

个根,故当h4R

r

22

内接锥体体积的最大．3

,R时,

3

6.工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km.欲修一条

从工厂到铁路的马路CD,已知铁路与马路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的

运费最省,问D点应选在何处？

解:设ADxB与C间的运费为y,则

y5

k

400

x

2

3(100

x

)（

0x100

），

k

其中k是某一正数．

由

5x

3)0得x15yk(

400x2

因为y|x0400ky|x15380ky|x1005001

1

380k为

2其中以y|x15

5

最小因此当ADx15km时总运费为最省．

7．宽为b的水道垂直地流向宽为a的水道.设河岸是直的,问木料从一条水道流到另一条水道去,其长度最长为多少?

解：问题转化为求过点C的线段AB的最大值.设木料的长度为l,ACx,CBy，木料与河岸的夹角为t，则xyl，且

x

a

,y

b

,costsint

l

a

b

t(0,)．

cost

sint

2则

l

asintbcost，

cos2

t

sin2

t

3

b

2

23

由l

0得tant

,此时l

(a3b3)2，

a

2

2

3

故木料最长为l(a3

b3)2．

§函数图形的描绘

１．求y

x3

2的渐近线.

(x1)

解：由lim

x3

，所以x

1为曲线yf(x)的铅直渐近线．

1

(x1)2

x

由于limy

lim

x221,lim(yx)limx32x2

x

x

x

(x1)xx(x1)

所以y

x2为曲线y

f(x)的斜渐近线．

第四章综合练习题

1．填空题

（１）limxsin1

ln(11

)

limx

．

x0

xxarctanx

（２）

函数yxln(x1)在区间(1,0)内单调削减，在区间(0,)内单调增强．

（３）曲线y

1ln(1ex)的渐近线是x0和y0．

x

（４）lim(tanx)

cosx

1

．

x

2

2．求下列极限

（１）lim1tanx1sinx

xln(1x)

x2

x0

解：

lim

1tanx

1sinx＝limtanxsinx

1

xln(1x)x2

x[ln(1x)x]

x0

x01tanx

1sinx

＝1

lim1cosx

xlimtanx＝

1

lim

1cosx＝1

limsinx

2x0ln(1x)x0

x

2x

ln(1x)x2x0

1

1

1x

＝

1limsinx(1x)1．

2x0x

2

(sin11

cos1)cos1

（２）limx

xxx

1

x

aea)

2sin

1

(ex

x

(sin111

)cos1

(sin11cos11

cos

x

=lim

)cos

解：lim

x

x

x

x

xx

x=lim

x

1aea

)2

sin

1

x

1

1)2

sin

1

x

(e

x

e2a(ex

x

x

1

1

1

1

11

1

2cos

2

cos

3sin

1

limx

x

x

x

x

x

=

2a

3

2a．

e

x

3e

x4

3．求证当x

0时，x1x2

ln(1x)．

2

证实：令f(x)

ln(1x)x

1x

2,则

2

f(x)

1

1x

x2,

1

x

1x

111

sincosxxx

e2a(1)21

xx

当x0时,

f(x)0，故f(x)在[0,)单调增．当x

0时，有f(x)

f(0)

0，即

x

1x

2ln(1x)．

2

4．设f(x)在[a,b]上可导且ba4，证实：存在点x0

(a,b)使f(x0)

1f

2(x0).

证实：设F(x)arctanf(x),则

f(x)

，且|F(x)|

．

F(x)

f2(x)

1

2

F(b)F