2023年微积分公式大全

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐微积分公式大全.doc导数公式：

(tanx)sec2

x(cotx)csc2x

(secx)secxtanx(cscx)

cscxcotx(ax)axlna

(xx)

xx(lnx1)

1

(logax)

xlna

(arcsinx)

11x2

(arccosx)

1

1x2

(arctanx)

12

1x

(arccotx)

1

1x2

(thx)

1

ch

2

tanxdxlncosxCcotxdxlnsinxC

secxdxlnsecxtanxCcscxdxlncscxcotxC

dx

2

cos2x

secxdx

tanx

C

dx

csc2xdx

cotxC

sin2x

secxtanxdxsecx

C

cscxcotxdxcscxC

dx2

2

ax

x2

a2

dx2

2

ax

a2x2

1arctanxCaa

1lnxaC2axa1ax

C2aln

xa

arcsin

x

C

a

axdx

axC

lna

shxdxchxCchxdxshxC

dxln(x

x2a2)C

x2a2

2

sinnxdx2

cosnxdxn1

In

I

n2

n

x2

a2

dx

xx2a2

a2x

2

a2

)C

2

ln(x

2

x

2

a2

dxxx2

a

2

a2lnxx2a2

C

22a2

x2dxxa2x2

a2xC

2

arcsina

2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

sinx

2u，cosx

1u

2，utgx

，dx2du

1u

21u2

2

1u2

一些初等函数：

双曲正弦:shxexex

2

双曲余弦:chxexex

2

双曲正切:thxshxexechxexe

arshxln(xx2

）1

archxln(xx21)arthx1ln1x

21x

两个重要极限：

limsinx1

x

x0

lim(1

1

)xe2.718281828459045...

xx

x

x

三角函数公式：

sinsin2sincos

22sinsin2cossin

22coscos2coscos

22coscos2sinsin

22sincos1sin()sin()

2

cossin1sin()sin()

2

coscos1cos()cos()

2

sinsin

1

)cos()

cos(

2

·和差化积公式：·积化和差公式：sin()sincoscossin

cos()coscosm

sinsin

tan()

tantan1mtantan

cot()cotcotm1

cotcot

2tan

x

1tan

2x

sinx2，cosx2

1tan

2x1tan2x

22

cos2x

1

1，sin

2xtan2x

tan2x1tan2x

tan2xsec2x1，cot2xcsc2x1

|sinx||x||tanx|

·和差角公式：·万能公式、正切代换、其他公式：

·倍角公式：

sin22sincos

4sin3cos22cos2112sin2cos2sin2sin33sin

cot2cot21cos34cos33cos2cot

tan3

3tantan32tan13tan2

tan2

1tan2

·半角公式：

sin1coscos1cos

22

22

tan1cos1cossincot1cos1cossin

1cossin1cos1cossin1cos

22

abc

2R

·正弦定理：sinAsinBsinC·余弦定理：c

2a2b22abcosC

arcsinxarccosxarctanxarccotx

·反三角函数性质：22

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

n

(uv)(n)Cnku(nk)v(k)

k0

u(n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)vn(n1)(nk1)u(nk)v(k)uv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f(b)柯西中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(a)f()

F(a)F()

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg

平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。

s

M点的曲率：Klimdy.

sds2

s0(1y)3

直线：K0;

半径为a的圆：K1.

a

定积分的近似计算：

b

ba

(y0y1矩形法：f(x)

yn1)

a

n

b

ba[1

(y0

梯形法：f(x)yn)y1

yn1]

a

n2

b

ba

[(y0

抛物线法：f(x)

yn)2(y2y4

yn2)4(y1y3

yn1)]

a

3n

定积分应用相关公式：

功：WFs

水压力：FpA

引力：F

k

m1m2

,k为引力系数

r2

b

函数的平均值：y

1

f(x)dx

baa

b

均方根：

1f

2(t)dtbaa

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：

d

M1M2

(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。

Prju(a1a2)Prja1Prja2

aba

bcos

ax

bxayby

az

bz,是一个数量,

两向量之间的夹角：cos

ax

bxaybyazbz

ax2

ay2

az2

bx2by2bz2

i

jk

cab

axayaz,c

absin.例：线速度：v

wr.

bx

by

bz

axayaz

向量的混合积：[abc](ab)cbx

bybzab

ccos,为锐角时，

cx

cycz

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)

2、普通方程：AxByCzD0

3、截距世方程：

x

yz1

ab

c

平面外随意一点到该平面的距离：d

Ax0By0

A2

B2

空间直线的方程：

x

x0

yy0zz0t,其中s

m

np

二次曲面：

1、椭球面：

x2y2z21a2

b2

c2

、抛物面：

x2

y2

（p,q同号）

2

2qz,

2p

3、双曲面：

Cz0DC2

xx0mt

{m,n,p};参数方程：yy0nt

zz0pt

单叶双曲面：

x2

y2z21

a2

b2

c2

双叶双曲面：

x2

y2z2（马鞍面）

a2

b2

c21

多元函数微分法及应用：

全微分：dz

z

dx

z

dy

du

u

dx

u

dy

u

dz

xy

xyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y

多元复合函数的求导法：

z

f[u(t),v(t)]dz

zuzv

dtu

tvt

zf[u(x,y),v(x,y)]

zzuzv

xu

xvx

当u，v(x,y)时，

u(x,y)v

du

udxu

dy

dv

v

dx

v

dy

xyx

y

隐函数的求导公式：

隐函数F(x,y)

，dy

F

x

，

d2y

Fx＋

Fxdy0

dxFy

dx2

xFyyFydx

隐函数

，z

F

x

，

zFy

F(x,y,z)0x

Fz

y

Fz

隐函数方程组：F(x,y,u,v)

(F,G)F

FFuFv

J

u

vG(x,y,u,v)0

(u,v)

GGGu

Gv

u

v

u1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)

u

1(F,G)v1(F,G)

y

J

(y,v)

y

J

(u,y)

微分法在几何上的应用：

x(t)

空间曲线y

(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：x

x0yy0zz0

z

(t)

(t0)

(t0)(t0)

在点M处的法平面方程：

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

F(x,y,z)0

,则切向量T{

Fy

FzFzFxFx

Fy

}

若空间曲线方程为：

Gy

,

Gx,

Gy

G(x,y,z)0

G

z

GzGx

曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，

则：

1、过此点的法向量：n

{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0

3、过此点的法线方程：xx0

yy0

zz0

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与

梯度：

函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：

f

fcos

fsin

l

x

y

其中为x轴到方向l的转角。

函数zf(x,y)在一点

的梯度：gradf(x,y)

fi

f

p(x,yx

y

它与方向导数的关系是：

f

，其中ecosi

sinj，为l

方向上的gradf(x,y)

e

l

单位向量。

f是gradf(x,y)在l上的投影。

l

多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C

AC

2

A0,(x0,y0)为极大值

B

0时，

B2

A0,(x0,y0)为微小值则：AC0时，无极值

ACB20时,

不确定

重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD

2

z2

曲面zf(x,y)的面积A1zdxdy

xy

D

Mxx(x,y)d

My

y(x,y)d

平面薄片的重心：xD,yD

M(x,y)dM(x,y)d

DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,对于y轴Iyx2(x,y)d

DD

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：

(x,y)xd

3，

Fyf

(x,y)yd

Fzfa

(x,y)xd

Fxf3，3

D(x2y2a2)2D(x2y2a2)2D(x2y2a2)2柱面坐标和球面坐标：

xrcos

柱面坐标：yrsin,f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,

zz

其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)

xrsincos

球面坐标：yrsinsin，dvrdrsinddrr2sindrdd

zrcos

2r(,)

f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrddddF(r,,)r2sindr

000

1

xdv,y1

ydv,z

1

zdv，其中Mxdv

重心：x

MM

M

转动惯量：Ix(y2z2)dv，Iy(x2z2)dv，Iz(x2y2)dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

设f(x,y)在L上延续，L的参数方程为：x

(t),(t),则：y(t)

f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt()特别状况：xtLy(t)

其次类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L的参数方程为

x

(t)，则：y

(t)

P(x,y)dxQ(x,y)dy

{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

L

两类曲线积分之间的关系：

PdxQdy(Pcos

Qcos

，其中和分离为

)ds

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式：

Q

P

格林公式：

Q

PPdxQdy

x

)dxdy

PdxQdy

)dxdy

D

y

L

D

x

y

L

当Py,Qx，即：Q

P时，得到D的面积：

A

dxdy

1

xdyydx

xy2

2L

D

平面上曲线积分与路径无关的条件：

·

、是一个单连通区域；

1

G

、，

在G内具有一阶延续偏导数，且Q

＝P

。注重奇点，如

，应2P(x,y)Q(x,y)

x

y

(0,0)

减去对此奇点的积分，注重方向相反！

·二元函数的全微分求积：

在

Q

＝P

时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy

(x,y)

，通常设

x0

。

u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

y00

(x0,y0)

曲面积分：

对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds

f[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)zy2(x,y)dxdy

D

xy

对坐标的曲面积分：

P(x,y,z)dydz，其中：

Q(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy

R(x,y,z)dxdy

，取曲面的上侧时取正号；

R[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy

P(x,y,z)dydz

P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

Dyz

Q(x,y,z)dzdx

Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。

D

zx

两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds

高斯公式：

PQR(

)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds

x

y

z

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div

PQR

,即：单位体积内所产生

的流体质量，若div

0,则为消逝...

x

yz

通量：Ands

Ands

(PcosQcos

Rcos)ds，

因此，高斯公式又可写成：divAdv

Ands

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

RQ)dydzPR

)dzdxQPPdxQdyRdz

(

z(x(

)dxdy

yz

x

y

dydzdzdxdxdy

coscoscos

上式左端又可写成：

x

yzxyz

PQ

R

PQ

R空间曲线积分与路径无关的条件：

R

Q，PR，QP

y

zz

xx

y

ijk

旋度：rotA

x

yzP

Q

R

向量场沿有向闭曲线的环流量：

PdxQdyRdzAtdsA

常数项级数：

等比数列：q2

qn1

1qn

1q

1q

等差数列：

23

n(n1)n12

调和级数：

1

11

是发散的

123

n

级数审敛法：

、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1

时，级数收敛

1

设：

limnun，则

时，级数发散

1

n

时，不确定

1

、比值审敛法：

2

时，级数收敛

U

n1

，则

1

设：lim

时，级数发散

Un1

n

时，不确定

1

、定义法：

3

snu1u2

un;limsn存在，则收敛；否则发散。

n

交叉级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：

假如交叉级数满足unun1，那么级数收敛且其和su1,其余项rn的肯定值rnun1。limun0

n

肯定收敛与条件收敛：

(1)u1u2

un，其中un为随意实数；(2)u1u2

u3

un

假如(2)收敛，则(1)绝对收敛，且称为肯定收敛级数；假如(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：

1

发散，而(1)n收敛；

n

n

级数：

1收敛；

n2

1

ｐ１时发散

p级数：

np

p1时收敛

幂级数：

x1时，收敛于

1

1xx

2

x

3

x

n

1x

x1时，发散

对于级数(3)a0

a1xa2x2

anxn，假如它不是仅在原点收敛，也不是在全

x

R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使x

R时发散，其中R称为收敛半径。x

R时不定

1

0时，R求收敛半径的办法：设

lim

a

n1

，其中an，an1是(3)的系数，则

0时，R

n

an

时，R0

函数绽开成幂级数：

函数绽开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)

f(x0)

(xx0)2

f(n)(x0)(xx0)n

2!

n!

余项：Rn

f(n1)()(xx0)n1,f(x)可以绽开成泰勒级数的充要条件是：limRn

(n1)!n

x00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)

f(0)xf(0)x2

f(n)(0)xn

2!

n!

一些函数绽开成幂级数：

(1x)m

1mxm(m1)x2

m(m1)

(mn1)xn(1x1)

2!

n!

sinxx

x3

x5(1)n1x2n1

(

x

)

3!

5!

(2n1)!

欧拉公式：

cosxe

ix

eeix

2cosxisinx

或

eix

sinxe

2

ix

ix

三角级数：

f(t)A0

Ansin(nt

a0

(ancosnxbnsinnx)

n

)

n1

2

n1

其中，a0aA0，anAnsinn，bn

Ancosn，tx。

正交性：

sinnx,cosnx随意两个不同项的乘积在

[,]1,sinx,cosx,sin2x,cos2x

上的积分＝0。

傅立叶级数：

f(x)

a0

(ancosnxbnsinnx)，周期2

2

n1

an1

f(x)cosnxdx

(n0,1,2)

其中

1

bn

f(x)sinnxdx

(n1,2,3)

1

1

2

111

2

1

（相加）

1

52

8

223242

32

6

1

1

12

11

12

1

（相减）

224262

24

2232

42

12

正弦级数：an

0，bn2

f(x)sinnxdx

n1,2,3

f(x)

bnsinnx是奇函数

余弦级数：bn

0，an2

f(x)cosnxdx

n0,1,2

f(x)

a0ancosnx是偶函数

2

周期为

2l

的周期函数的傅立叶级数：

f(x)

a0

(ancos

n

xbnsin

nx

)，周期2l

2

n1

l

l

an

1l

f(x)cos

nx

dx(n0,1,2)

其中lll

1lf(x)sinnx

dx

bn

(n1,2,3)

ll

l

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为的形式，解法：

g(y)dyf(x)dx

g(y)dyf(x)dx得：G(y)称为隐式通解。

F(x)C

齐次方程：一阶微分方程可以写成

dy