2019江苏卷数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学I

参考公式：

样本数据5,孙…，毛的方差可"其中》

〃/=1J=l

柱体的体积V=S/7,其中S是柱体的底面积，〃是柱体的高.

锥体的体积K=gs〃，其中S是锥体的底面积，〃是锥体的高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答

题卡相应位置上.

1.已知集合A={T,0,l,6},8={x|x〉0,xeR},则Ac3=.

【答案】{L6}.

【解析】

【分析】

由题意利用交集的定义求解交集即可.

【详解】由题知，A3={1,6}.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

2.己知复数3+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是.

【答案】2.

【解析】

【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得z,然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.

【详解】(a+2/)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)j,

令。-2=0得a=2.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

【答案】5.

【解析】

【分析】

结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.

【详解】执行第一次，S=S+；=[,x=124不成立，继续循环，x=x+l=2；

22

X3

执行第二次，S=S+:=：,x=2上4不成立，继续循环，x=x+l=3；

22

Y

执行第三次，S=S+：=3,x=324不成立，继续循环，%=尤+1=4；

2

X

执行第四次，S=S+二=5,x=4N4成立，输出5=5.

2

【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.

(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.

(3)按照题目的要求完成解答并验证.

4.函数y—J7+6X-f的定义域是.

【答案】[-1,7].

【解析】

【分析】

由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.

【详解】由已知得7+6%一/2(),

即x2-6x—7<0

解得一14x47,

故函数的定义域为[-1,7].

【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组,

然后求出它们的解集即可.

5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是—.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.

【详解】由题意，该组数据的平均数为6+7+8：8+9+1°=8,

6

所以该组数据的方差是

-[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=-.

63

【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.

6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有

1名女同学的概率是.

7

【答案】--

【解析】

【分析】

先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的

概率计算公式得出答案.

【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有盘=10种情况.

若选出的2名学生恰有1名女生，有C；C；=6种情况，

若选出的2名学生都是女生，有《=1种情况，

所以所求的概率为出■=]•.

1010

【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典

概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的

重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，

明确“排列”“组合”.

2

7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线/一六=1（。〉0）经过点（3,4）,则该双曲线的

渐近线方程是.

【答案】y—±V2x.

【解析】

【分析】

根据条件求人，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.

【详解】由已知得32—±=1,

b2

解得b=y/2,或Z?=—5/2，

因为〃>0,所以b=6.

因为。=1,

所以双曲线的渐近线方程为y=±y/2x.

【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考

必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的。力密切相关，事实上,标准方程中化1为0,

即得渐近线方程.

8.已知数列｛a“｝（〃eN*）是等差数列，S,是其前〃项和.若02a5+4=0，$9=27,则S&的

值是.

【答案】16.

【解析】

【分析】

由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.

02as+“8=(q+d)(q+4d)+(q+7d)=0

【详解】由题意可得:9x8

S9=9a,+—J=27

a.=-58x7

解得：\,则$8=8%+——J=-40+28x2=16.

d=22

【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函

数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构

建4,d的方程组.

9.如图，长方体A6CD—A4G。的体积是120,£为Ca的中点，则三棱锥股腼的体积

是

【答案】10.

【解析】

【分析】

由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.

【详解】因为长方体ABCD-ABGA的体积为120,

所以ABBCCG=120,

因为E为CG的中点，

所以CE=gcG，

由长方体的性质知CC]1底面ABCD,

所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCO上的高,

所以三棱锥E-SCO的体积

V=-x-ABBCCE==-x-ABBC-CC.=—xl20=10.

32322112

【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往

往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.

4

10.在平面直角坐标系xOy中，尸是曲线y=x+-（x>0）上的一个动点，则点一到直线x+y=0

x

的距离的最小值是.

【答案】4.

【解析】

【分析】

将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

【详解】当直线小平移到与曲线>=》+&相切位置时，切点0即为点尸到直线叶的

rx厂

距离最小.

由y'=1—=一1，得x=V5（—V5舍），y=3>/2,

即切点。（起,3公），

则切点。到直线⑤与的距离为性二=4，

广由了

故答案为：4.

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.

采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

11.在平面直角坐标系X。），中，点/!在曲线片Inx上，且该曲线在点力处的切线经过点（-e,

T）（e为自然对数的底数），则点力的坐标是….

【答案】（e,1）.

【解析】

【分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点A（Xo,%），则为=In%.又了=：,

,1

当x=x（）时，＞=一，

1.、

点/在曲线y=inx上切线为y—%=-0—入0），

1x4

即y-lnx0=---1,

%

代入点（一e,-l）,得-l-lnxo=---1,

X。

即/In与二e,

考查函数”（x）=xlnx,当xe（O,l）时，"（x）＜0,当xe（l,+x））时，H（x）＞0,

且/T（x）=lnx+1,当x＞l时,H'（x）＞O,H（x）单调递增,

注意到"（e）=e,故x（）lnxo=e存在唯一的实数根/=e,此时%=1,

故点A的坐标为A（e,l）.

【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是

曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.

12.如图，在VABC中，〃是8c的中点，6在边4?上，B舁2EA,/〃与四交于点。.若

A3

ABAC=6AOEC'则力的值是_____•

AC

A

【答案】73.

【解析】

【分析】

由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.

【详解】如图，过点〃作DF//CE,交朋于点凡由陷2口，，为比■中点，知BXFFEA,AQ^OD.

6Ao苑C=3AD(AC-AE)=AC)(AC-AE)

=|(AB+ABAC-^AB2+AC-^ABAC

3(2______12△1232

=——AB~+AC-=ABAC--AB^+-AC=ABAC,

2、3/22

得JAB?=3AC"2,即,@二也卜。，故竺二若.

22AC

【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运

算素养,采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.

tana2

一[71、

13.已知(713，则sin2a+—的值是___

tana+一

I4I4；

2

2

【答案】幺=4=4=1:4.

&Yc_vc

rc

【解析】

【分析】

由题意首先求得tana的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐

次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.

tana_tana_tana。-tana)__2

【详解】由+(TI\~tan<z+l-tana+l—3,

tana+-----------

I4)1-tan

得3tan2a-5tana—2=0，

解得tana=2,或tana=一1.

3

sin2a+—=sin2acos--Fcos2asin—

I444

夜/、41(2sindzcos6z+cos26Z-sin2ay

=-^-(sin2a+cos2a)

2Isin2a+cos2a)

2tana+l-tarr2a、

tan2cr+1/

当tana=2时，上式=

当tana=-§时，上式二

综上，sin12a+?Vj

lo

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利

用分类讨论和转化与化归思想解题.

14.设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，Ax)的周期为4,g(x)的周期为2,且/(X)

A：(x+2),0<x<l

是奇函数.当xe(0,2]时，/()=71-U-1)2.g(x)='_j_]<x<2，其中">0-

%[],<x—

若在区间(0,9]上，关于x的方程/(x)=g(x)有8个不同的实数根，则％的取值范围是

fl⑸

【答案】.

【解析】

【分析】

分别考查函数“X)和函数g(x)图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.

【详解】当xe(o,2］时，/(x)=Ji_(x一1)2,即(X—1)2+J=1,y2()

又/(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4,如图，函数/(x)与g(x)的图象，要

使/(x)=g(x)在(0,9］上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.

当g(x)=@x+2)时，g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线，只需函数/(x)与g(x)的图

象有6个交点.当fM与g(x)图象相切时,圆心(1,0)到直线点一y+2-=0的距离为1,

即堆驾=1，得％=亚，函数/(x)与g(x)的图象有3个交点；当g(x)=Z(x+2)过点

41+/4

(1,1)Bt,函数〃x)与g(x)的图象有6个交点,此时1=3上,得k

综上可知，满足/(%)=g(x)在(0,9］上有8个实根的k的取值范围为

【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出

函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界

交点个数，从而确定参数的取值范围.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在△/玄中，角4B,C的对边分别为a,b,c.

2

(1)若牛3。，加cos左求c的值；

,、sinAcos8、.…兀―

(2)右-----=------,求sin(BH—)的值.

a2b2

【答案】(1)c=—;(2)里.

35

【解析】

【分析】

(1)由题意结合余弦定理得到关于C的方程，解方程可得边长C的值；

(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos8的值，然后由诱导公式可

71

得sin(B+—)的值.

2

【详解】(1)因为。=3c,8=0,cos8=2,

3

由余弦定理COSB，得2=&)2三2二(立)：,即,2

2ac32x3cxc

所以c=1

3

⑵因为小cos8

a2b

cosBsinB广…八一.八

由正弦定理「一；二=),得-----=-----,所以cosB=2sin8.

sinAsinB2bb

4

从而cos2B=(2sinB)2即cos2B=4^1-cos23),故cos?B=

5

因为sin8>0,所以cosB=2sinB>0,从而cosB=2^

5

(兀、

因此sinB+-

l2J5

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考

查运算求解能力.

16.如图，在直三棱柱中，D,后分别为a；4；的中点，AB=BC.

求证：(1)4台〃平面以'G；

(2)BE1CE

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论;

(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.

【详解】(1)因为〃，E分别为8c〃'的中点，

所以ED//AB.

在直三棱柱46C-46K中，A引/AB,

所以48〃战

又因为以t平面%'G,平面/

所以4区〃平面陷.

(2)因为4%%£为〃'的中点，所以俄工然

因为三棱柱/8C-484是直棱柱，所以制，平面ABC.

又因为能=平面46C,所以CG_L%

因为GCt平面44CG,4ct平面44CC,ClCC\AC=C,

所以施上平面447G.

因为G氏平面4/阳，所以8£_LG£

【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查

空间想象能力和推理论证能力.

17.如图，在平面直角坐标系x0中，椭圆a0+2=1(4＞人＞0)的焦点为E(-1、0),

a~h~

Fi(1,0).过月作X轴的垂线/,在片轴的上方，，与圆月：。-1)2+丫2=4。2交于点4

与椭圆C交于点〃连结/£并延长交圆用于点8,连结能交椭圆C于点笈连结多.已知

5

DR=-.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求点6的坐标.

r2v2

【答案】(1)^L+2_=i.

43

3

(2)

【解析】

【分析】

(1)由题意分别求得a,6的值即可确定椭圆方程；

(2)解法一：由题意首先确定直线人耳的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点8的坐标,

联立直线外与椭圆的方程即可确定点后的坐标；

解法二：由题意利用几何关系确定点后的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点£的坐标.

【详解】（1）设椭圆。的焦距为2c.

因为人（-1,0）,笈（1,0）,所以ER=2,c=l.

5/-----------------3

又因为如=,,轴，所以小FQDF；_F]F；=

2

因此2SFDF\+DFF4,从而8F2

由出界名得为3.

因此，椭圆C的标准方程为三+汇=1.

43

（2）解法一：

X2y~

由（1）知，椭圆C：一+2-=l,a=2,

43

因为轴，所以点力的横坐标为1.

将产1代入圆A的方程（尸1）、产=16,解得片±4.

因为点力在x轴上方，所以4(1,4).

又£(-1,0),所以直线AS：y=2x+2.

y=2x+2

2

由，/、27，,得5%+6x—11=0'

(x-l)-+y2=16

解得x=l或x=-1.

1112

将％=---代入y=2x+2,得,=-■—,

因此B(-----,------).又为(1,0).所以直线砥：y=：(x—1).

554

由＜242，得7工2—6%-13=0,解得/=一1或工=1—3.

£V7

——+—=1

43

又因为后是线段即与椭圆的交点，所以x=-l.

将x=-l代入y=[(x—l),得y=—].因此&一1,一5).

解法二：

22

由(1)知，椭圆GL+匕=1.如图，连结班.

43

因为阮=2a,/+能=2a,所以历=所,

从而N防斤

因为EA=RB,所以N4=N8,

所以//=/跖£,从而外〃用4

因为轴，所以“；，/轴.

%=-1

3

因为6(-1,0),由《x2y2」得），=±;.

[43

又因为〃是线段外与椭圆的交点，所以y=-±3.

3

因此"-I,-]).

【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆

的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.

18.如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥4?(49

是圆。的直径）.规划在公路,上选两个点只Q,并修建两段直线型道路如、QA.规划要求:

线段PB、QA上的所有点到点。的距离均不个于阿。的半径.已知点46到直线1的距离分

别为4c和劭（G。为垂足），测得4斤10,A（=6,劭=12（单位：百米）.

（1）若道路阳与桥16垂直，求道路阳的长；

（2）在规划要求下，产和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路阳和3的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q

两点间的距离.

【答案】⑴15（百米）：

（2）见解析；

（3）17+3721（百米）.

【解析】

【分析】

解：解法一：

（1）过力作AE_L3。，垂足为£利用几何关系即可求得道路阳的长；

（2）分类讨论尸和0中能否有一个点选在〃处即可.

（3）先讨论点尸的位置，然后再讨论点0的位置即可确定当，最小时，只0两点间的距离.

解法二：

（1）建立空间直角坐标系，分别确定点产和点6的坐标，然后利用两点之间距离公式可得

道路用的长；

（2）分类讨论0和0中能否有一个点选在〃处即可.

（3）先讨论点尸的位置，然后再讨论点。的位置即可确定当d最小时，尸、0两点间的距离.

【详解】解法一：

（1）过力作AE_L3。，垂足为E.

由已知条件得，四边形4G宏为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD^S.

因为阳，/8

84

所以cosNPBD=sinZABE

PB=BD」

所以cosNPBD42

5

因此道路加的长为15（百米）.

（2）①若。在〃处，由（1）可得£在圆上，则线段缈上的点（除8,£）到点。的距离均

小于圆。的半径，所以2选在。处不满足规划要求.

②若。在。处，连结由（1）知AD=JA£：2+a2=]0,

从而cosN8AD=+=2_〉0,所以N胡〃为锐角.

2ADAB25

所以线段4。上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此，0选在〃处也不满足规划要求.

综上，。和。均不能选在〃处.

（3）先讨论点。的位置.

当/淅90°时，线段如上存在点到点。的距离小于圆0的半径，点户不符合规划要求；

当/烟290°时，对线段如上任意一点01^0B,即线段加上所有点到点。的距离均

不小于圆。的半径，点2符合规划要求.

设优+>=M-N为/上一点，且片由（1）知，<8=15,

3

此时=[Bsin=[BcosNEBA=15xg=9；

当NOBP>90°时，在△尸[B中，PB>RB=15.

由上可知，心15.

再讨论点0的位置.

由（2）知，要使得Q/215,点。只有位于点。的右侧，才能符合规划要求.当Ql=15时，

CQ=SA?-AC2=A/152-62=3亚.此时，线段QA上所有点到点0的距离均不小于

圆。的半径.

综上，当阳，点。位于点C右侧，且庖时，"最小，此时只。两点间的距离

P①PD^CD^Cg：2屈.

因此，，最小时，P,0两点间的距离为17+3，五(百米).

解法二：

(1)如图，过。作0417,垂足为〃

以0为坐标原点，直线。/为y轴，建立平面直角坐标系.

因为防12,1俏6,所以小9,直线/的方程为片9,点48的纵坐标分别为3,-3.

因为四为圆。的直径，/庐10,所以圆。的方程为1+/=25.

3

从而4(4,3),8(-4,-3),直线四的斜率为一.

4

4

因为分所以直线%的斜率为

425

直线阳的方程为y=-§x—5.

所以一(-13,9),P5="(—13+4尸+(9+3汽=”.

因此道路外的长为15(百米).

(2)①若〃在〃处，取线段做上一点£(-4,0),则旌4〈5,所以户选在〃处不满足规划

要求.

②若。在。处，连结由(1)知〃(Y,9),又/(4,3),

3

所以线段4?：y=——x+6(Y^Jv4).

4

在线段上取点材(3,3),因为OM＜存了不=5，

所以线段4〃上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此。选在〃处也不满足规划要求.

综上，。和0均不能选在。处.

(3)先讨论点尸的位置.

当NOBP0O。时，线段如上存在点到点。的距离小于圆。的半径，点户不符合规划要求；

当/。印290°时，对线段如上任意一点凡OF^OB,即线段加上所有点到点。的距离均

不小于圆。的半径，点P符合规划要求.

设优+>'=用收为/上一点，且片8J.AB,由(1)知，〃B=15,此时《(-13,9)；

当/期>90°时，在△尸甲5中，PB><B=15.

由上可知，心15.

再讨论点0的位置.

由(2)知，要使得Q/215,点。只有位于点。的右侧，才能符合规划要求.

当。1=15时，设0(a,9),由AQ=J(a-4)2+(9-3)2=15(。>4),

得才4+3及1，所以。(4+3历，9),止匕时，线段Q1上所有点到点。的距离均不小于

圆。的半径.

综上，当?(T3,9),。(4+3阴，9)时，d最小，此时只0两点间的距离

PQ=4+3后-(-13)=17+3亚.

因此，d最小时，P,0两点间的距离为17+3J五(百米).

【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数

学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

19.设函数/(x)=(x-a)(x-份(x-c),a,/?,ceR,/'(x)为f(x)的导函数.

(1)若apb^c,/(D=8,求a的值；

(2)若b=c,且/'(x)和/'(x)的零点均在集合｛—3,1,3｝中，求/i(x)的极小值;

4

(3)若a=O,O<",l,c=l,且f(x)的极大值为机求证:J任一.

27

【答案】(1)。=2；

(2)见解析;

（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；

（2）由题意首先确定a,的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即

可确定函数的极小值.

（3）由题意首先确定函数的极大值材的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：

解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；

解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，

因为0<641,所以国6（0,1）.

当xw(0,1)时，f(x)—x(x—Z?)(x-1)<x(x—I)2.

令g(x)=x(x-l)2,xe(0,l),贝！1g'(x)=(x-1).

\3)

令g'（x）=0,得x=列表如下:

1

X4,1)

畤3

g'(x)+0-

g(x)极大值

i<n4

所以当x=£时，g（x）取得极大值，且是最大值，故g（x）z=gK.

327

44

所以当1£（0,1）时，f（x）<g（x）<—f因此MW药.

【详解】（1）因为。=〃=C,所以/（X）=（X-Q）（X-/?）（X-C）=（X-Q）3.

因为/（4）=8,所以（4一。）3=8,解得。=2.

(2)因为=c,

所以f(x)—(x—a)(x—b)2-x3—(a+2b)x2+b(2a+b)x—ab2,

2a+b

从而尸(x)=3(x-。)x--.--令--广-(x)=0,得x=b或％一

33

因为“步,答2,都在集合｛-3,1,3｝中，且

所以一”；〃=l,a=3/=_3.

此时/(X)=(X-3)(X+3)2,/'(x)=3(x+3)(x—1).

令/(x)=0,得x=—3或x=l.列表如下:

X(-co,-3)-3(-3,1)1(l,+oo)

f(x)+0-0+

/(x)极大值极小值

所以/(x)的极小值为/(I)=(1—3)(1+3)2=-32.

(3)因为a=O,c=l,所以/(x)=Mx_6)(x_l)=丁—(b+l)%2+fec,

f'(x)=3x2—1(b+\)x+b.

因为()<方41,所以/=4g+l)2—1给=(2。一l)2+3>0,

则/(x)有2个不同的零点，设为项,七(“<^2).

b+\-y/b2-b+\b+l+y]b2-b+\

由广")=0得玉

3-3

列表如下:

X(F，X)a，w)X2(x2,+oo)

+-+

八X)00

fM极大值极小值

所以/(X)的极大值河=/(%).

解法一:

M=/(玉)=x；-(力+1)4+bxx

函—.)%+喑一等卜勺幻竽

-2伊匕+1)3+1)+券+宗许可

27

3一处32+2阿诉)3

272727v

“蟹十a9因此〃g

解法二：

因为0＜人41,所以王€(0,1).

当xe(0,1)时，f(x)—x(x—Z?)(x—l)<x(x—I)2.

令g(x)=x(x_1)2,Xe(0,1),则g((x)=3^x-^J(x-l).

令g'(x)=0,得x=；.列表如下：

J_

Xe，i)

畤3

g'(x)+0-

g(x)极大值

、

所以当x=；时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)皿=g4

3J27

44

所以当xe(0,l)时，/(x)<g(x)<—,因此M4万.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问

题以及逻辑推理能力.

20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.

(1)已知等比数列｛a,,｝满足：44=%，%—4g+44=0,求证:数列｛a,,｝为“M—数列”;

122

(2)已知数列｛4｝满足：4=L丁=;-——,其中S为数列伉｝的前〃项和.

S”bnbn+l

①求数列出〃｝的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M—数列”⑵。，对任意正整数才，当AWw时，都有c沸"

成立，求加的最大值.

【答案】(1)见解析；

(2)①b产n(〃GN")；②5.

【解析】

【分析】

(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；

(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列也,｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；

②由①确定4的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可

求得勿的最大值.

【详解】(1)设等比数列｛为｝的公比为°,所以囱HO,qWO.

f24___4

a

a2a4=5%q=a}qq=1

，解得

2

a3-42+4q=0aiq-44q+4q=04=2

因此数列｛《｝为数列”.

122

(2)①因为丁二';7一,所以切工0.

3bn%

122

由伪=1,Si得「丁彳贝他=2.

由3看一看，得S"=%器而'

当i时，由―八城、一号)

整理得2+1+。-=»”.

所以数列｛4｝是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列也,｝的通项公式为b0=n(〃eN*).

②由①知，b萨k,k^N*.

因为数列｛4｝为“材-数列”，设公比为。，所以。=1,<7>0.

因c—\,所以夕14左=",其中公1,2,3,m.

当上1时,有61；

当A=2,3,…，卬时，有

kk-\

、■In尢/|、……、1-lnx

设f(x)=(x>l),则/*)=、—

XX

令/")=。,得尸e,列表如下:

X(l,e)e(e,+8)

尸(X)+0-

F(x)极大值

rIn2In8In9In3广”「八、…、In3

因1为丁=丁<==-^，所以

26633

]nk

取q=\/3，当A=1,2,3,4,5时，,Inq,即左</,

经检验知qi<k也成立.

因此所求加的最大值不小于5.

若加》6,分别取公3,6,得3W?',且</W6,从而“243,且q"W216,

所以g不存在.因此所求加的最大值小于6.

综上，所求勿的最大值为5.

【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、

转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

数学n(附加题)

21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题

由域内作等.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

A.［选修4-2：矩阵与变换］

「31］

已知矩阵4=22

(1)求才；

(2)求矩阵/的特征值.

115

【答案】(1)…,

(2)4=1,4=4.

【解析】

【分析】

(1)利用矩阵的乘法运算法则计算T的值即可；

(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.

【详解】(1)因为4=

所以4?=「

3x3+lx23xl+lx2115

2x3+2x22xl+2x2106

(2)矩阵/的特征多项式为

2-3-1

/(A)==力一5/1+4.

-22-2

令〃团=0,解得力的特征值4=1,4=4.

【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.

B.［选修4-4：坐标系与参数方程］

在极坐标系中，已知两点&直线1的方程为夕sin('+；J=3.

(1)求46两点间的距离；

(2)求点8到直线/距离.

【答案】(1)6；

(2)2.

【解析】

【分析】

(1)由题意，在△QAB中，利用余弦定理求解A8的长度即可；

(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点△的坐标结合几何性质可

得点6到直线/的距离.

JTTT

【详解】(1)设极点为〃在△28中，4(3,1)，B(五,-),

由余弦定理，得/代，32+(8)2—2、3*血*£：05(1—：)=石.

-71

⑵因为直线/方程为psm(8+z)=3,

则直线1过点(3J5,-)，倾斜角为色.

24

又8(五,四)，所以点6到直线/的距离为(3夜一J5)xsin(九一色)=2.

242

【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.

C.［选修4-5：不等式选讲］

设xeR,解不等式|M+|2x-l|>2.

【答案】{x|x<-§或X〉l}.

【解析】

【分析】

由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.

【详解】当水0时，原不等式可化为—x+l-2x>2,解得点-；：

当OWxwL时，原不等式可化为户1-2x>2,即水-1,无解；

2

当x>L时，原不等式可化为92x-1>2,解得x>l.

2

综上，原不等式的解集为{x|x<—；或X>1}.

【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.设（1+x）"=4+%无+eN*.已知a；=24%.

（1）求〃的值；

（2）设（1+6）"=a+dQ,其中a,6eN*,求。2一3〃的值.

【答案】（1）〃=5；

（2）-32.

【解析】

【分析】

（1）首先由二项式展开式的