2021届全国新高考高三上学期期末-模拟统测-数学(B卷)(解析版)

2021届全国新高考高三上学期期末模拟统测数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集，，，则集合等于（）A． B． C． D．2．已知实数，满足，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．欧拉公式，把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数满足，则（）A． B． C． D．4．设，，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知角的终边与单位圆的交点为，且，则的值等于（）A． B． C． D．6．某中学共有人，其中男生人，女生人，为了了解该校学生平均每周体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：平均每周体育锻炼时间不少于小时），现在按性别用分层抽样的方法从中收集位学生平均每周体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如图．已知在样本数据中，有位女生的平均每周体育锻炼时间超过小时，根据独立性检验原理（）附：，其中．A．有的把握认为“该校学生平均每周体育锻炼时间与性别无关”B．有的把握认为“该校学生平均每周体育锻炼时间与性别有关”C．有的把握认为“该校学生平均每周体育锻炼时间与性别无关”D．有的把握认为“该校学生平均每周体育锻炼时间与性别有关”7．的展开式的各项系数和为，则该展开式中的系数是（）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．若正实数，满足，则下列说法正确的是（）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值10．直线与圆相交于，两点，则的长度可能为（）A． B． C． D．11．是居民消费价格指数（）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的年月年我国涨跌情况数据绘制的折线图（注：年月与年月相比较，叫同比；年月与年月相比较，叫环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A．年月至年月各月与去年同期比较，有涨有跌B．年月居民消费价格指数同比涨幅最小，年月同比涨幅最大C．年月至年月只跌不涨D．年月至年月涨跌波动不大，变化比较平稳12．抛物线的焦点为，为其上一动点，设直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是（）A．的最小值为B．抛物线上的动点到点的距离的最小值为C．存在直线，使得，两点关于对称D．若过，的抛物线的两条切线交准线与点，则，两点的纵坐标之和的最小值为第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为．14．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是．15．声音是物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位长度后，与纯音的数学模型的图象重合，则，若函数在是减函数，则的最大值是．16．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，，，且有鳖臑和鳖臑，现将鳖臑沿翻折，使点与点重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是的边上的一点，的面积是面积的倍，．（1）若，求的值；（2）若，，求的长．18．（12分）给出以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列的前项和，，且满足，记，，求数列的前项和．19．（12分）如图，已知平面平面，直线平面，且．（1）求证：平面；（2）若，平面，求二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆与圆相交于，，，四点，四边形为正方形，，分别是的左、右焦点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，，若直线与直线的斜率之积为，证明：直线恒过定点．21．（12分）已知函数．（1）若，在上的最小值是，求；（2）若，且，是的两个极值点，证明：（其中为自然对数的底数，）．22．（12分）新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐．现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略，基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额．某人拟参加年月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近个月参与竞价的人数（如下表）：（1）由所收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数（单位：万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测年月份（月份编号为）参与竞价的人数．（2）某市场调研机构对位拟参加年月份汽车竞价人员的报价进行了抽样调查，得到如表所示的频数表：（ⅰ）求这位竞价人员报价的平均值和样本方差（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；（ⅱ）假设所有参与竞价人员的报价服从正态分布，且与可分别由（ⅰ）中的样本平均数及估计．若年月份计划提供的新能源车辆数为，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数，请你预测最低成交价（需说明理由）．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，；③若随机变量服从正态分布，则，，．数学（B）答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】，，所以．2．【答案】C【解析】在，的条件下，，故“”是“”的充要条件．3．【答案】A【解析】因为，所以，解得，所以．4．【答案】B【解析】，由，得，此时，所以，夹角的余弦值为．5．【答案】A【解析】根据三角函数的定义得，由同角三角函数的基本关系及，得，所以，，所以．6．【答案】B【解析】根据分层抽样方法知，名样本中男生人，女生人．根据频率分布直方图可知，经常进行体育锻炼的频率为，得经常进行体育锻炼的人数为（人），其中女生有人，可得如下列联表：所以，故有的把握认为“该校学生平均每周体育锻炼时间与性别有关”．7．【答案】B【解析】令，得的展开式的各项系数之和为，由已知，得，此时，故展开式中项的系数为．8．【答案】C【解析】构造函数，则，故函数在上单调递增，由，可得，即，所以，故不等式的解集为．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】AB【解析】由基本不等式可得，选项A正确；，所以，选项B正确；，的最小值为，选项C不正确；，得的最小值为，选项D不正确．10．【答案】BC【解析】易知直线过定点，该点与圆心的距离为，故圆心到直线的距离满足，所以，即，结合选项可知B、C正确．11．【答案】BD【解析】根据图中同比的折线图可知，年月至年月各月与去年同期比较均为涨，故选项A不正确；同样根据同比折线图知选项B正确；根据环比折线图可知，年月、月均为涨，月、月为跌，故选项C不正确；根据同比、环比折线图可知，年月至年月涨跌波动不大，变化比较平稳，选项D正确．12．【答案】AD【解析】根据抛物线的定义知，抛物线上的动点到点与到焦点的距离之和等于动点到点的距离与到准线的距离之和，因为，所以的最小值为，选项A正确；设为抛物线上一动点，则，所以的最小值为，选项B不正确；假设存在直线使得，两点关于直线对称，则直线的斜率为，设直线，代入抛物线方程，得，则，得，设，，的中点坐标为，则，，由，得，与矛盾，故假设不成立，故选项C不正确；设，，由，得，，故过点的抛物线的切线方程为，即①，同理，过点的抛物线的切线方程为②，由①②解得，，因为点在准线上，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，故，两点的纵坐标之和的最小值为，选项D正确．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】由于双曲线与有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，将点代入双曲线的方程，得，，故双曲线的标准方程为．14．【答案】【解析】当时，，由于为奇函数，故，，，则，故所求的切线方程为，即．15．【答案】，【解析】根据题意，函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，又的图象与的图象重合，且，故，得，所以．令，可得，由于包含的单调递减区间，故，得的最大值为．16．【答案】【解析】鳖臑经过翻折后，记点翻折到处，则与鳖臑拼接成的几何体是如图所示的三棱锥，其中平面，底面是边长为的等边三角形．设的中心为，该三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，连接，则平面，连接，，在中作，因为，所以为的中点，所以，在中，易得，设三棱锥外接球的半径为，则，所以该几何体外接球的表面积．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，，所以，所以，所以．（2）因为，即，以，所以，，，所以．18．【答案】见解析．【解析】选①，由已知（ⅰ），当时，（ⅱ），（ⅰ）（ⅱ）得，即，当时，，即，所以，满足，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，，，所以．选②，由已知（ⅰ），当时，（ⅱ），（ⅰ）（ⅱ）得，即，当时，满足，，，所以．选③，由已知（ⅰ），当时，（ⅱ），（ⅰ）（ⅱ），得，即，当时，，而，得，满足，故是以为首项，为公比的等比数列，所以．，，所以．19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，过点作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，所以，由，可知，又，所以，所以，所以点是的中点，如图，连接，则，所以平面，则，，所以四边形是矩形．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，．设平面的法向量为，易知，，由，得，取，得；设平面的法向量为，易知，，由，得，取，得．设二面角的平面角为，则，由图知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．20．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）不妨设点在第一象限，因为四边形为正方形，所以，因为点在圆上，所以，即，又点在椭圆上，所以，所以①，又的周长为，所以②，由①②及可解得，，所以椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率不存在时，设，，，因为点在椭圆上，所以，即，所以，不满足题意；②当直线的斜率存在时，设，，，联立得，整理得，所以，，则，即，解得，所以直线恒过定点．21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域是，，令，易知图象的对称轴方程为，且，因为，且，所以当时，，此时，所以在上单调递增，，解得．（2）由有两个极