《函数的单调性》教学设计(优秀)

-《函数单调性》教设计安徽省亳州市第一中学

史

嘉一、教内容解析1．教材内及地位本节课是北师大版《数学必修1）第二章节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语（不等式画函数的变化趋（上升或下降及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用因此它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地．2．教学重函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二、学学情分析1．教学有因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力．2．教学不因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象从直观到抽象从有限到无限是个很大的跨度而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍．三、课教学目标1．理解函单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．---

-2．通过实让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法．3．通过探函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体从有限到无限从感性到理性的认知过程体验数学的理性精神和力量．4．引导学参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力．四、教策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难是如何随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标突出重点突破难点我们主要采取以下形式组织学习材料：1．指导思．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念．3．在“引探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越．4．在“学致用”阶段．首先通过个判断题帮助学生从正、反两方面辨析逐步形成对概念正确全面而深刻的认识然后教师示范用定义证明函数单调性的方法一起提炼基本步骤强化变形的方向和符号判定方法接着请学生板演实践．---

-五、教过程（一）创设情境，引入课题实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间气温的升降变（若学生没指明时间段可追问等图象在某区间（从左往右上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质──单调性（板书课题）．设计说从科考情境导入新课了“早穿棉袄午穿纱围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性．函数是描述事物变化规律的数学模型如果清楚了函数的变化规律那么就基本把握了相应实物的变化规律在事物变化过程中保存不变的特征就是这个事物的性质．因此，研究函数的变化规律是非常有意义的．问题：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？---

-设计说：生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性借此强调函数的单调性是相对某区间而言的是函数的局部性质．设函数的定义域为，区间．在区间上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即随的增大而增大，则称函数在区间上是递增的，区间称为函数的单调增区间（学生类比定义“递减”，接着推出下图，让学生准确回答单调性．）设计说：图象直观感知到文字描述完成对函数单调性的第一次认知明确相关概念，准确表述单调性．学生认为单调性的知识似乎够用了，为下面的知冲突做好铺垫．（二）导探索，生概念问题2：（）下图是函数义域R上是递增的吗？

的图象（以

为例），它在定（2）函数

在区间

上有何单调性？预设：学生会不置可否，或者凭感觉猜测，可追问判定依据．---

-设计说函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性借此认知冲突让学生意识到学习符号化定义的必要性．自然开始探索．问题3：1）如何用学符号描述函数图象的“上升”特征，即“随的增大而增大”？以二次函数

在区间

上的单调性为例，用几何画板动画演示“随的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）．设计说：先借助图形、动画和表格等直观感受“随的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若

，则必须有．（2）已知

，若有

．能保证函数在区间上递增吗？拖动“拖动点”改变函数增后减，也可以先减后增．

在区间

上的图象，可以递增，可以先（3已知

若有

能保证函数

在区间

上递增吗？拖动“拖动点”，观察函数

在区间

上的图象变化．设计说：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性三个点也不行无数个点行不行呢？引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成．（4）已知，若有保证函数

在区间上递增吗？设计说可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个验证吧？”---

-紧接着师生一起回顾子集的概展示教材上子集的定义体验任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想．问题：如何用数学语言准确刻画函数

在区间

上递增呢？预设：请学生自愿尝试概括定义．板书“任意

，当

时，都有，则称函数

在区间

上递增”，则突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间上递增吗？”．问题：请你试着用数学语言定义函数

在区间

上是递减的．预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示．并有意引导使用“任意

时有

称函数

在区间

上递减以此打破必须“

”的思维定式．（三）以致用，理感悟判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由．（举例或者画图）（1设数

的定义域为

若对任意都有，则

在区间

上递增；（2设函数有，则

的定义域为R若对任意是递增的；

，且，都（3）反比例函数

的单调递减区间是．---

-设计说让学生分组讨论，然后进行展示性回答．若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题3可追问怎么修改）．通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解．例题：判断并证明函数

的单调性．设计说：对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式让学生提炼证明的基本步骤．

等，并练习：证明函数（1）在

的单调性：上递减；（2）在

上递增．设计说回答“问题2”悬而未决的问题．先请两位学生板演，然后由其他学生完善步骤．思考题：物理学中的玻意耳定律

（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积

减小时，压强

将增大．试用函数的单调性证明．设计说明引导学生用数学知识解释其他学科的规律培养学生应用数学的意识和能力．（四）顾反思，深认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？（关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验等．）设计说先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高．（五）置作业课堂作业：（1第页习题A：3，5；（2）判断并证明函数

的单调性．探究题向一杯水中加一定量的糖糖加得越多糖水越甜请你运用所学的数学知识解释这一现象．设