人教版高数必修二第6讲空间中的垂直关系(学生版)

空间中的垂直系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点_________交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直(AB)和个平面α相交于点，并且和这个平面内过点O的何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作，直线叫做平面的，平叫做直线的____，点叫做___．垂线上任点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面_____．线段的长度叫做这点到平面的距离.3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定理：如果一条直线一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：⊥，⊥，∩＝，α，α⊥α，如图：如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条_________．符号语言：∥，⊥α⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同直于一个平面，那么这两条直_____．1

符号语言：⊥α，⊥∥，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，就和平面内_____线垂直．符号语言：⊥α，αa⊥，如图：6．设P是三形所平面α外点O是在α内射影(1)若PA＝，O为ABC的____．别地当C＝90°时为_______．(2)若PA、两垂直，则为△ABC的____．(3)若到△ABC三边距离相等，则O为ABC的____．7．(1)过点有且只有一条直线已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平______．平面α、互垂直，记作α⊥.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⊥，aα⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：⊥β，α∩β＝CDBA⊥BA⊥，2

如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在_______内．类一线垂例1：如图，直角所平外一点，且SA＝SB＝SC，点D为边AC的点．(1)求证：⊥面ABC；(2)若AB＝，证BD⊥面SAC.练习(2014·河南阳一中高一月)如图所示棱－中，底面是矩形，侧棱⊥面ABCD、分别是、PC的中点，PAAD.求证：EF⊥平面.练习：如右图，在正方体

A11

中，为的点，1

D

1

C

1为

的中心，

A

1

B1求证：

O面1

D

CA

O

B练习3：在如右图，在空间四边

中，AD,BC

,

求证：

AC

例：如图在△ABC中，∠＝90⊥面，点在和上的射影分别是、，求证⊥SC3

练习1：图，在正方体－D中E、F分别A、上的点，且⊥，⊥.证EF∥.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条线平行行同一平面的两条直线平行直于同一平面的两条直线平行正的由___．练习3：已知a,b,c及平面，下列命题正确的是（）A、

b

B、

cC、a//c

D、//例3：如图，在底面为直角梯形四棱锥－ABCD中，∥，∠ABC＝90°⊥面ABCDPA＝AD＝，＝3BC＝求证：⊥面PAC.练习1：在正方体中－D，为DD的点，O为底的中心．求证BO⊥平面PAC∵练习2:如得杆＝4＝PB＝OA＝＝3杆和面关_．4

类二平与平垂例4：如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABCC，点D是的中点，求证：平面D⊥面.练习：三棱锥－ABC中∠BSC＝，∠ASB，∠ASC＝60°，SA＝＝SC.求证：平面⊥平面SBC练习：如右,在四面体，求证：平面平面．

a

．

练习3：空间四边形

中，若ADBCBDAD

，那么有（）A、平面ABC面ADCC、平面平面DBC

、平面ABC面、平面ADC面例5已知P是所平面外的一点，且PA⊥面，平面PAC平面，证BCAC练习：已知三棱锥－ABC中，侧面PAC与面ABC直，＝＝.(1)求证：⊥BC(2)若AB＝，点A作AF⊥于F，连接CF，求证：平面PBD⊥面AFC.练习：已知平面PAB⊥平面，面PAC平面ABC如图所示．求证：⊥面5

．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系()A．平行C．交不垂直

B．直D．确．若一条直线l有两个点到平面的离相等，则l与的系是)A．平行C．直

B．交D．确3．已知直线l⊥平面，直线⊂，出下列四个题：①∥，l⇒m③l∥⇒

②⊥⇒∥m④l⊥⇒β其中正确的两个命题()A．①②B．③④C②④D．①③4如四形中AD∥BCADAB∠BCD∠BAD＝90°将沿BD折，使平面⊥平面，成三棱锥A－，在三棱锥A－BCD，下列命题正确的()A．平面ABD平面B平面⊥平面BDCC．面⊥面D．面ADC⊥平面ABC5．若有直线mn和面α、，列四个命题中，正确的()A．若m，n∥，∥nB若⊂n⊂mβ，∥，∥C．α⊥，⊂则⊥βD．⊥，⊥，m，则m∥α6.eq\o\ac(△,Rt)ABC所平面α外点到直角顶点的距离为24到两直角边的距离都是10，么点到平面的离等_．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基巩．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与条直线的位置关系是)A．平行C．交

B．直D．能定．直线⊥直线，a⊥平面β，b与β的位置关系()6

A．b⊥C．⊂．下列命题

B．b∥D．b⊂或b∥①③⑤

⊥⊥b⊂⊥⊥b;∥∥⊥；⊥

②④⑥

⊥b；∥⊥⊥⇒α⊂c⊂⊥b.⊥其中正确命题的个数()A．3B4C．D．6．若平∥平面β，线⊂直⊂那、b的置关系是)A．无公共点

B．行C．不平行也不相交D．交．直线a与面α内两条直线都垂直，则与α的置关系是A．垂直C．在平面α内

B．行D．确．若平面⊥平面，平面α内一直线a垂于平面β内的一条直线，则()A．直线a必直于平面βB直线垂直于平面C．线a不定垂直于平面D．a平面与过的面垂直．长方体－BCD中在面BCCB内MNBC于M则与AB的位置关系111为____________________．．如图所示，已知正三棱柱－C的面对角线B⊥C求证B⊥A11111能提9．若两直线与异面，则过且与直的平()A．有且只有一个C．无数多个

B．多有一个D．定存在10.已三棱锥－的顶点都在一半径为r的面上，球心O在AB，SO⊥底面，＝r，则球的体积三棱锥体积之比()A．C．π

B．πD．π11.浙江文设m两条不同的直线，、β是两个不同的平面()A．若mn，n∥α则⊥α7

B若∥，⊥，⊥αC．⊥，n⊥，n，则mαD．⊥，n⊥，⊥，mα12.已知面ABC外点P且PH平面ABC于H.出下列个命题①PA⊥⊥，则是△ABC垂心；②若PA、PC两互相垂直，则H是的心；③若＝90°，H是AC的中点，则＝；④若＝＝PC，则H是△ABC的外心．其正确命题的个数为()A．1B2C．D．413.平斜线交α于，定点的直线l与垂，且交于则动点C轨迹为．填直线、圆、其它曲)14.如所示，已知矩形ABCD中＝，＝aPA平面ABCD若