管培祥高数学必修知识点

AnnnnAnnnn第一章合与函数概念一集有概集合的中元素的三个特性：元素的确定性，互异性、无序性非负整数集（即自然数集）记N正数集N*整集有理数集Q实数集R集合的分类：有限集含有有限个元素的集合；无限集含有无限个元素的集合；空集不任何元素的集合。二集间基关“包含关系—子集注意：有两种可能（）AB的一部分A与B是一集合。反之集合A不包含于集合B,或集合B不含集合记A等”关系：，55，则

B或BA实例：设

A={x|x²-1=0}

“素相同则两集合相等即：①任何个集合是它本身子集A②真子集如果A且A就说集合A是合B的子集，记作AB(B

A)③如果AB,B那么A④如A同时BA那么A=B不任何元素的集合叫做空集，记规定空集是任何集合的子集，空是任何非空集合的真子集。有元素的集合，含有个集，-1个子集，-1个空子集，2个空真子集数结利用图形求解集合问题主要有两种，即韦恩图法和数轴法韦恩图主要用来解决有限散点集合的关系问题数轴则可以用来解决无限集合的关系问题注解集关中参求一的题需进多验，以得后求果有误）证合否能空，及如是集否足目要）证合的素否足异性）证目件给的合系是符，AB样条是符题条中要）证合端的取否合题要）果分讨的况验是否可的类已讨完三、集合运算注：①合算的些殊例要会向用，如集

{-＜{x＜＜4}

那说2和就是程两个，韦定可求和b值。②果个次程根成集对一单素合那切记需把个代方，需让x，而用韦定解就以2③些殊条的用AAA

B

B

CU

等各说什条需十清。断程借韦图其要意及C，不仅有们公部这个况，有能AU或或CuB一或个空的况讨需完。/

作：AB（作‘A并CSA=作：AB（作‘A并CSA=④目经会现如轴区或定动间这的题，只要照画→动找点分讨→合答检各条是满足来运算

交

集

并

集

补

集类型定义韦

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合做的交集．记作AB（读作‘A交BAB=｛A，且xB

由所有属于集合A或设S是一个集合是的一于集合B元素所组成的个子集中有不属于A集合A,B的集的素组成的集合做中子A的补集（或余集）ABAB={x|x，作S，即或x．{x|}恩图

AB

A

B

A示性质

图1AAΦ=ΦAB=BAAA

图2AAΦAB=BAAＡ

(CuB)=(AB)(CuB)=Cu(AB)A

B

A

B

A(CuA)=U四、函数有关概念

A(CuA)=Φ函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关f使对于集合A中的任意一个数x在合中有唯一定的数和它对应那么就称fA→B为集合A到合B的个函数．记作：y=f(x)，∈A．其中叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与的值相对应的y值做函数值，函数值的集合{f(x)|∈A}做函数的值域．一定义域

：能使函数式有意义的实数x的合称为函数的定义域求取函数的定义域，主要分成三个问题：一已函解式求函的义需要注意以下几个方面：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零(3)对数式的真数必须大于零；指、对数式的底必须大于零且不等于1.α中的满足

,Z零幂的底数不等于零如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.么，它的定义域是使各部分都有意义的x的组成的集合.二实问中函的义还保实问有义三复函的义求：类型一已fx定义域，求取f（gx）的义域此类型的题目采用使（的值域为（的定义域而求解相应的范围得到（（x）的定义域的方法。即求取使得（x）的值域为f（x）定义域的x的范围充当f（（x义域如已fx）定域为[，f3x-2的定义域为多少？类型二，已知f（（x）的义域，取f（x）定义域此类型的题目，利用已知的定义域，这个定义域（x）中x的范围，以利用它求出（x）相应的值域，以此作为f（x）的定义域，即求取（x）域，充当f（x）义域。/

y(1)xyy(1)xy如已f（x）定域为1,4]，则f（3x-2）的定义域为多少？类型三，已知f（（x定域，求取f（（x）的定域此类型题目，采用先求取f（x）定域的方法，利用（g（x）的定域求取f（x）的定义域，再利用f（x）的定义域，求取f（（x）的义。如已f（）定义域为[1,4]，则f3x-2）的定义域为多少注：在求定域过中不简的为端值是大者小，根函的同取相应围在次数三函等是整定域单的数中其注此。如果要到倒的围，记取倒的程保符不生变如∈则

1t

15

1；如∈[-1,5]，能单取数位，应该成和t两部分取数即

1t

1(5要注范中号选，开区的区，其二函和角数，样注非常重，∈）x-2x+3的称为，在内部故个数（0,5内最值在处得最值为x=5时的函值由是区所取到以x∈切可为x的围一个么的间后所的围是状同区。外，已∈-1,2],则x）如类均慎考开区的择，可当。后需意般区左的字小右的不出）这样低失。左两的字小不确，应分况论，2a和相函的断法表达式相（表示自变量和函数值的字母无关义一致(点必须同时具备)二域求取任何函数的值域，必须先考虑其定义域具体用来求取值域的方法(1)观法对一些范围显而易见的函数，可以采用观察法来求解，利用观察法求取值域是使用最多的方法即函数的某个部分可以观察出相应的取值范围，之后利用这个范围通过一些变换即可得到最终函的值域，如y=

11y=x

+1y=

log(x22

等均可以使用观察法。利用观察法需要注意范围求取中的一些注意，见定义域的注意中的第三条。(2)换法对于形式接近于我们所熟知的函数的函数，可以利用换元法，最常用的换元法是二次型函数如y=

x

42

y=sin等(3)分常法对形如

y

axcx

这样的式子可以采用分离常数的方法，即bbxxaxbacacxcdcdxxxcc此时即可利用观察法求取其相应范围（4）别法对于形如

y

f

这样的式子，只要其分母dx²满相应的eq\o\ac(△,＜)eq\o\ac(△,)，即使得这个函数的定义域为，可以利用判别式法求解，其方法是将分式的分母乘到函数的左面，构一个关于x的元二次方程，令y为其中的参量，之后满eq\o\ac(△,足)0即可如得x

yx

2

x2而(yx

2

yx0

，此时切记要分情况讨论，当/

22222222时，x=-1，符合条件，当y≠，判别式eq\o\ac(△,≥)eq\o\ac(△,)0求得的围，最后和y=1做并集即可判别式法求值域要记得两个要求，第一，定义域为第，获得关于的方后，一定要记得讨论二次项系数是否为零。三解式（1函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二要出数的义.（2求函数的解析式的主要方法有：换元换元法主要用来解决复合函数的解析式的求取，如已知f（2x+1）=x²，求fx解析式这样的题目只需要令t=2x+1之后得到一个用t表的子然后将用表的x带原来的解析式中即可，但是一定要注意换定义域，如fsinx）=sinx还原后得到fx）=x，但是我们知道，这里的t=sinx这步中，t能在[之，故而，这个函需要标注定义域为x[-1,1]凑配凑配法也是用来求解复合函数的解析式，一般在一些复合函数中，不容易得到用t表示的子，则我们就去寻找括号内的部分与最终解析式之间的关系，从而完成解析式求取，如f(

1)x，求取时发现，()x，xx)x2x

2

，于是令

tx

1x

，就可以得到f（t）=t-2，即fx）=x换法凑法是来解合数析，言，解合函解式题，般用元和配来决待定数待定系数法主要用来求解已知函数类型的函数解析式的求取，在题目中，如果出现诸如一次函数f（次函数f（x数数f（）等词，则是使用待定系数法的标志。另外，知含参量的函数解析式，也经常使用待定系数法，如已知fx）析式。

2xx2

是定义在R上的奇函数，求解待定系数法的大体思路是将已知的点的坐标带入函数中，得到一些关于参量的方程，之后求解方程组得到参量的值，进而继续求解相应问题。如已知二次函数过点（0,03,3）求解此函数的解析式等构造程法有的题目中，解析式存在于一个关系式中，如

f(x)f()x

，这样的式子中，我们采用令x=-x然后得到又一个关于f（x）和f（-x的式子，消去f（-x即可得到所求解析式对

1f()f()x

等含倒数的同样适用。一般，在一个关系式中，存在两个或两个以上的f且自变量之间存在诸如倒数相反数这样易于互化的关系时，我们采用构造方程组的方法。5.分函解析的取分段函数满足：(1)在定义域的不同部分上有不同解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况不．(3)分段函数值域是各段值域的并．求分函的析，般给一部的析，后出二之的系然求一未部的数解式一的法：设未，已，用系为程如知函f（）在＞时解式²，则这个数解式采设x＜的部的之后现就已的围了带后用函的质以取得到应结。四映射/

对于映射fAB来，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合中应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个素在集合A都有原象。五．函数性质数单性(局部质)（1增函数设函数y=f(x)的定义域为I对于定义域I内某个区间D内任意两个自变量x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就在区间D上增函.间D称y=f(x)的单调增区间.如果对于区间上的任意两个自变量的值x1，，当时都有f(x1)＞f(x2)那么就说f(x)在这个区间上是减函区间D称y=f(x)单调减区.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函单调区间与单调性的判定方法(A)定法：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)任x1，x2D，；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)作差f(x1)－；eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)变（通常是因式分解和配方eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,)定号（即判断差f(x1)－的负eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,)下论（指出函数在定的区间D的单调性(B)图象法(从图象上看升降(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)y=f(u)单调性密切相关，其规律同增减”注：数单区只是定域子间不把调相的间在起成并.f(x)f(x)注：单性的出式种样要意活用如＞0，明个函x12另，应中灵使好调，已f（）是增数，可f（）＜（）得结a＜等。数奇性整性）（1偶函数一般地，对于函数的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)那么f(x)就做偶函．（2函数一般地，对于函数的定义域内的任意一个x，都有f(－—，么f(x)就叫做奇函数．（3具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对．利用定义判断函数奇偶性的步骤：eq\o\ac(○,1)先定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；eq\o\ac(○,2)定f(x)与的系；eq\o\ac(○,3)出应结论：若f(x)=f(x)或f(－－f(x)=0则f(x)偶函数；若f(－=f(x)或f(－＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．注意：数义关原对是函具奇性必条．先函的义是关于点对，不称函是奇偶数若对，(1)再据义定(2)由±f(x)=0或f(x)f(-x)=±来定(3)利定理或助数图判几有的论如函是奇数则不在数项如果数个函，它不在数项常项如知f（）²+bx+c是偶函，可，是函，可a=c=0,一奇数果x=0定，么个数过点即足（）—这结非常用由像于轴称直得这个函，样，图关原对也以接到函是奇数这就需对义是关原对进讨论，为像已对，义显必对。函最（）/

，那么叫做的次方根，其，且，那么叫做的次方根，其，且∈*nnnnan（1·x0eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)利二次函数的性质配方法）求函数的最大（小）值eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)利图象求函数的最（小）值eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)利函数单调性的判函数的最大（小）值：函数y=f(x)在区间[a上单调递增，在区[bc]上单调递减则函数在有最大值；函数y=f(x)在区间[a上单调递减，在区[bc]上单调递增则函数在有最小值；注：①间的值要外心因不定间点取值只有在知数区内调情况才使带区端的法而，求区内值时候格小括的取即个值底否以到②里注对如所有x都足fx)(x)，这的条的用既所的x都足，么()就能是个数最值最要注：函的目，管何目定域是须虑问，此在解数题时提自注定域！第二章本初等函数一指函（一）指数与指数幂的运算．根式的概念：一般地，如果

xnxnnN负数没有偶次方根；任何次方根都是0，记作。当是数时，，是数时，．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：

|

(a(a

n

m(,N*,

，

m

mn

m

(mn

*

的正数数幂于，0的分指幂有义．实数指数幂的运算性质rarar

(rs)

；（）

(

r

)

s

rs

(0,rs)

；（3

(ab

r

r

s

(rs)

．（二）指数函数及其性质、指数函数的概念：一般地，函数

ya(a且

叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和．、指数函数的图象和性质利函的调，合象可看：（1）[，b]上

f(x)x且

值是

[f(a),f

或

[f(b),f

；（2）R中任数x，若，则

f(x)

；（3）于数数

f(x)x且

，有

f(1)

；指式较小时通有种况即1.3和0.4两指式数同，据数数调解之如11和323两指式数同，根幂数调解之如如两指式底和数不同则常1作为间来决如

0.33

和/

NaNaM0cbayx11指型数得点如

ya

x

这函过定就（，算程需让数的指等0，求得，而算到y即可。0<a<11

1

0

0

定义域

定义域R

值域y＞0在上调递增非奇非偶函数函数图象都过定点（，）二对函（一）对数

值域y＞0在R上调递减非奇非偶函数函数图象都过定点（，1）．数的概念：一般地，如果

(a

，那么数叫以为底的数，记作：xa（—底数，—真，—对式说明：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)注底数的限制，；

x

NlogNxa

；（二）对数的运算性质如果，，，，那么：log(Ma·

N)

logMa

＋

logNa

；

Mlog

logMNlogMnloga－；a注意：换底公式log

logloga

（，；，且；log

m

1loglog；b．（二）对数函数、对数函数的概念：函数

ylogx(0a

，且

叫做对数函数，其中是变量，函数的定义域是（，∞注数数定与数函类都形定注辨如

y，

x都是数数而能其对型数eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)对函对数限制

(a

，

．、对数函数的性质：0<a<1

0

1

0

1

/

25（2时幂函数的图象通25（2时幂函数的图象通过原点，并且在区间定义域x＞0值域为R在上增函数图象都过定点（，0）对式较小时通有种况即

定义域x＞0值域为R在R递减函数图象都过定点（，0）两对式数同，据数数调解之如3log3.1两对式数同，有种法可据像也换解决，如两对式底和数不同则常0作为间来决如

l3l21log和log2对型数得点如3l