力学大会2015集具有输入时滞的大规模结构动力系统快速模型

陈玉震,彭*,张盛,陈飙松,张洪（大连理工大学工业装备结构分析国家 宁大连116024）（anovelfastmodelpredictivecontrolmethodwithinputFC）。首先，通过在模型预测控制算法（）中引入特殊增广状态向量的方法，将时滞差分方程转换为不显含时滞的标准格式，成功实现了对输入时滞系统的模型预测控制整个过程无需做近似和假设处理，系统的稳定性得到保障。其次，针对大规模结构动力系统，本文提出了-大规模结构，快速模型预测控制，输入时滞，显示表达格式，Newmark-β引对于线性结构系统，早期的时滞消除技术主要包括：移项技术[3、泰勒级数展开法[4和预估状态法等[5和离散时间系统[7给简时设其是将时滞微分方程转换为形式上不显含时滞的标准格式，由于整个过程无需作任何假设和近似处理，系统的稳定性很容易得到保证。另外，通过对不同柔性结构进行实验，验证了该方法不仅对小时滞问题有效，对大时滞问题同样有效[8。基于蔡等的工作，胡等提出了一种改进的时滞处理方法并将其应用于慢变时滞问题中[9,10]。值得注意的是，虽然关于结构主动控制时滞消除的研究已经取得了很大的进展，但研究对象多为小规模结构系统（大多为几个自由度），不需要考虑计算效率问题。而实际工程中的结构规模一般很大，对算法的效率提出了较高要求。因此，对于大规模结构时滞控制问题的快速算法研究变得尤为重要。动力系统的快速模型预测控制算法（NFMPCID）。首先，通过引入特殊增广状态向，将含有时滞的差分方程转换为不显含时滞的标准格式，并基于模型预测控制算法MPC）设计得到控制率，从而实现了对时滞系统的模型预测控制（MPCID）。然而具有输入时滞的模型预测控制考虑n自由度受载荷作用的线性受控结构，其运动方程MqtCqtKqtJ1utλMJ2at式中，MC和K分别为nnqq和q分别为n维位移、速度和加速度向量；u为r维作动器控制力向量；J1为nr维作动器定位矩阵；r为作动器个数；a为加速度；J2为n维定位向量；λ为 \*MERGEFORMAT其中，Δt为数据采样周期；l1为任意正整数；0θΔt。当时滞量λ<Δt时，时滞对控制效果影响很小，可以忽略不计[11]；当时滞量λ>Δt时，时滞对控制效果的影响则需考虑；文献[6]中分别对θ0和θ≠0两种进行了详细情况，本文只讨论θ=0的情况，即λ=lΔt。

0x= A=

B=

E= -M -M

M1J 1 2MERGEFORMAT其中，I1为nn利用时滞信息，预测步长设为η=Δt，预测周期的长度设为T，则测点个数为N=T/η。x

k

tkk

其中，I2为2n2n

utuk tkttk xk1hxkwuk h wA1eAηI 其中，uk-luk-l+1

xxT,uT, ,, k kl k11为当前时刻之前l个采样时刻的控制力。利用（9）式即可将（8）式转换为如下标

xk1hxk 0 0

0 h w\*MERGEFORMAT

3 其中，I3为rr

0 0 kxkhkx0hkjwuj1 1kN\*MERGEFORMATj其中，x0ykCxk kj

j1 1kN\*MERGEFORMAT式中，yk为tk时刻pC为p2nCC0(2n+l)维系数矩阵。式（14）的矩阵形式

YFx0

u\*0 0

1

YyTyT,yTT和UuTuT,uTT N

J1YTQY1UT

UGTQGR1GTQFx0 L1x0L2ulL3ul1Ll式中，Q为pNpN维半正定对阵权系数矩阵；R为rNrNL2,L3,含时滞的标准格式，并采用模型预测方法进行控制律设计的。整个过程无需任何假设Newmark-β在MPC的一个预测周期内，结构各预测点的状态是通过求解一阶状态方程其中，f为r维外载。Newmark-β算法假设在一个时间步长Δt内速度、位移的变化形式为 k k 其中，βγ(γ1/2,β(1/2+γ)2/4)为算法参数，决定β算法的精度和稳定性。通过求解上述两个方程，可得到qk1和qk1的表达式，如下MERGEFORMAT通过求解上述方程即可得到位移qk1。Newmak-β算法的基本流程见表1表1Newmak-β初始计生成质量阵M、阻尼阵C以及刚度阵 1 qM1JfM1Cq 1 γbβt;

1β;

1

2β b ;b ;b1 形成等效刚度矩阵并进行LDLT分 ˆbMbC ˆ 各时间步计计算tk+1时刻等效载荷向fˆJ k 1k 4 5 6 1 2 3计算tk+1时刻位移（仅需要向前替换和回代求解LDLT计算tk+1时

k

k b qbqb k

2 3 b qbqb k

5 6 通过求解式（23）可以得到位移qk1 ˆ1J bˆ1Mbˆ1Ck 1k kbˆ1Mbˆ k

ˆb3ˆ将上式分别代入式（21）和（22），即可得到速度qk1和加速度qk1的显示表达式，如 bˆ1J ˆˆk 1k 1 1 1 k ˆ1M ˆ1C k ˆ1M ˆ1CI bˆ1J bbˆ1Mbbˆ1CbIk 1k 4 1 4 k ˆ1M ˆ1C k ˆ1M ˆ1C

\*\*设tk及tk+1时刻的动力响应分 qk1v qk k qk1 vk1hvkwfk

ˆ wbˆ 1ˆ 1 bˆ1Mbˆ bˆ1Mbˆ bˆ1Mbˆ hbbˆ1Mbbˆ1Cb bbˆ1Mbbˆ1Cb bbˆ1Mbbˆ1CbI ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

16ˆ

13ˆ

31bb

Mbb

Cb bb

Mbb

Cb bb

Mbb

Cb4 3 61MERGEFORMAT式（28）即为Newmark-β法的递推方程。另外，初始时刻的动力响应可以

v0gx0

0 0 0

g

p

C C

M1JM 1MkvkHkx0Wk,jfj 1kj

Hhkg,

j

k, hkjw,1jVHx0 0f0

0 x0 1 hN hN hN hN2w MERGEFORMAT N具有输入时滞的快速模型预测控制在本节中，通过将uk-l-uk-uk-l-uk-uk-l-uk-uk-l-uk-uk-图1utkukl utk1uk

上式为含有输入时滞的差分方程，同样采用增广向量的方法可以化为标准格式。将tkvvT,uT, ,,uTT\*MERGEFORMAT k kl

k1

vk1hvk 0 0

0 0 h w\*MERGEFORMAT

3 0 0 v0

g p 0 0 g 0 0 I3

vkhkgx0hkjwuj1 1kN\*MERGEFORMATjykCxkˆvk

k 1kN\*j其中，ˆC0为p×3n维矩阵；CCˆ0 0为p

(3n+lr)维矩阵。其矩阵形式YFx0Ch

u x0 1u MERGEFORMAT00L1x0L2ulL3ul1Ll

Fˆ.*ˆ Gˆ.*ˆ 式中符号.*的意义为：若A为mp维矩阵，B为kl维分块矩阵，其每个子块矩阵的维数为pn，则A.*B仍为kl维分块矩阵，但每个子块矩阵的维数变为mn AB1l矩阵ˆ和ˆ的组成可见图

ABk1 ABkl

N-这里，将矩阵ˆN-

图2ˆ和ˆˆ ˆ

ˆˆˆ

（47T1 T其中， uT, ,,uTT

MERGEFORMAT为前l个控制输入的组合。因为，初始状态x输入序列

l 1 l在每个采样时刻都将更新，所以式（51）中的最优控制序列U被分为线下和线上两

U ˆ 1 ˆ LbC.*Hx0WUlMERGEFORMAT 由上式容易发现，求解线下部分La的关键是得到矩阵ˆ，而求解线上部分Lb的关键是得到ˆx0和ˆUl ˆ及ˆ从图2中可以看出，需要计算的仅有ˆ的前两列块：ˆ1和ˆ2。ˆ的其余部分以及ˆ都可以由ˆ2直接得到。另外，根据Newmark-β法的显示表达格式（35），ˆ1和ˆ2可以按如下方法计算：令结构初始状态x00，并分别在t0和t1时刻施加单位脉冲载荷I3，根据式（35），结构各时刻的响应为 0I3 hp 3 h2phwV

0

N N

h

0 MERGEFORMATˆ令结构初始状态x00，并在t2时刻施加单位脉冲载荷I3，根据式（35），结构各时的动力响应为0 0 0

V W2 N N

h

0 MERGEFORMATˆˆx0β法的显示表达格式（35），当结构仅受初始扰动x0作用时，结构各时刻的动力响应：h5gh2gV

xˆ

Nh5ˆˆ1和ˆ2，进而得到ˆ和ˆ，然后根据式（53），即可计算得到线下部分La。而在每响分析，即可求得ˆx0，然后加上ˆ与更新后Ul的乘积，即可计算得到Lb。然后根据为了说明NFMPCID算法的高效性，表2给出了两种算法的主要计算量对线下计

表2 线下计计AB（式计hw（式（8）和

两次瞬响分析计算计算La（式

组FG（式线上计U

线上计一次瞬响分析计算ˆ计算Lb（式UL由表2易知，MPCID算法的主要计算量集中下，其中（b）和（c）两个过程指数的计算非常耗时和耗内存。在（c）过，为了组装F和G，需要进行大量矩阵1过），而过程（b）中的M1J、M1C以及M1K也已下计算完成，线上只需进行相1g）过需要循环少数次，因此NFMPCID的线上计算效率可以得到保证基于上述分析，NFMPCID算法的基本流程可以归纳 生成大规模结构动力系统的质量矩阵M，阻矩阵C，和刚度矩阵K 令预测步长等于采样周期，并选择预测周期 ，并采用Newmark-β算法分别进行一次瞬响分析，计算ˆ1ˆ2 组装

和ˆ，并根据式（53）计算La 动施加在结构上，并进行一次瞬响分析，计算ˆx0 根据式（53）计算Lb 计算最后控制序列U=-LaLb 在每个采样时刻重复（e）、（f）、（g）（h）Centro的加速度时间历程曲线如图3表示。所有算例都是在处理器为i7-2640MGHz)、内存为12GB、系统为Windows64bit的个人电脑上完成。另外，程序运行环境为R2011b图3EICentroNS方向加速度时程曲10th10th9876543Y21Xbeamsection 0.3×0.5mpoisson'sratio0.23 beamsection 0.7×0.7mpoisson'sratio0.25 columnsfixedatbaseallmeasurementsarecenterlinefloor-to-floorheights4.0mbaywidths Rayleigh- α=0.02;β=图410层平面框架结尺寸相同尺寸（2m）的二维梁单元构成，总自由度为n=中，权系数矩阵设为Q=5.0×108×I4，R= 2s，预测步长0.02s。为了验证不同时滞下MPCID算法的稳定性，控制输入时滞从0.02s增加到1.80s（增量步为s）。不考虑时滞的MPC算法以及考虑时滞的MPCID算法的计算结果见图4s时，控制系统开始发散。而对于MPCID算法，即使时滞λ增加增加到1.80s，控制系统仍然稳定。上述结果表明：（1）忽略考虑时滞的存在，将造成系统的不稳定图5不同输入时滞下两种算法的控制结果：(a)A点的最大绝对位移；(b)B点的控制输中框架结构单元的尺寸设为1m，相应的总自由度为n=2220。预测步长仍为0.02s，而预测周期设为T=0.2s。输入时滞设为λ=0.10s，其他条件不变。两种算法的时滞控制结果见图图6控制结果：(a)A点位移时程；(b)B点控制力时程；(c)各楼层最大绝对m降低到0.20m，降低了约68%，且控制力最大值仅需5900是大规模结构时滞控制问题。为了NFMPCID算法对于不同规模结构的计算效率，本算例中框架的单元尺寸依次设为：4m,2m,1m,0.5m，相应的结构总自由度分别为n=420,1020,4620。其他条件与算例5.2一致。另外，MPCID算法中的矩阵指数采用中的exn计算内存离线n计算内存离线CPU时间CPU时间(10-注)：CPU时间为一个采样周期的计算时间D的线下计算时间远远大于NFMPCID，且随着求解规模的增大，超过的比例越大（3）NFMPCID的线上计算时间大于MPCID，但即使自由度增加到n=4620，NFMPCID的线上计算时间为0.006s，仍远小于一个采样周期 YaoJTP.Conceptofstructuralcontrol[J].JournaloftheStructuralDivision,1972,98(7):1567-1574. ,.时滞系统动力学近期研究进展与展望[J].力学进展,1900,36(1):17-ChungLL,ReinhornAM,SoongTT.Experimentsonactivecontrolofseismicstructures[J].JournalofEngineeringMechanics,1988,114(2):241-256.Abdel-RohmanM.Time-delayeffectsonactivelydampedstructures[J].Journalofengineeringmechanics,1987,113(11):1709-1719.McGreeryS,SoongTT,ReinhornAM.Anexperimentsstudyoftimedelaycompensationinactivestructuralcontrol.In:ProceedingsofthesixthInternationalModalysisConference,SEM,1988.1733-GuoC,JinzhiH.Optimalcontrolmethodforseismicallyexcitedbuildingstructureswithtime-delayincontrol[J].JournalofEngineeringMechanics,2002,128(6):602-612.CaiGP,HuangJZ,YangSX.Anoptimalcontrolmethodforlinearsystemswithtimedelay[J].Computers&structures,2003,81(15):1539-1546.,.时滞反馈控制的若干问题[J].力学进展,2013,43(1):21-HaraguchiM,HuHY.UsinganewdiscretizationapproachtodesignadelayedLQGcontroller[J].Journalofsoundandvibration,2008,314(3):558-570.LiuB,HaraguchiM,HuH.Anewreduction-basedLQcontrolfordynamicsystemswithaslowlytime-varyingdelay[J].ActaMechanicaSinica,2009,25(4):529-537.增圻.计算机控制理论及应用[M].,ResearchonFastModelPredictiveControlwithInputDelayforLarge-ScaleStructuralDynamicSystemsCHENYuzhen,PENGHaijun*,ZHANGSheng,CHENBiaosong,ZHANG(StateKeyLaboratoryofStructural ysisforIndustrialEquipment,DepartmentofEngineeringMechanics,FacultyofVehicleEngineeringandMechanics,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024, Inthispaper,anovelfastmodelpredictivecontrolwithinputdelay(NFMPCID)isdevelopedforlarge-scalestructuraldynamicsystems.First,byintroducingaparticularaugmentedstatevectorintothestandardmodelpredictivecontrol(MPC),theinputdelaydifferentialequationistransformedintothestandardformwithoutanyexplicittimedelay,andonthisbasisthemodelpredictivecontrolwithinputdelay(MPCID)isdeveloped.Becauseofnoapproximationinvolvedinthewholeprocess,thesystemperformanceandstabilityareeasi