工程弹塑性力学教学课件第二章应力状态理论

第二章应力状态理论

2.1体力和面力

2.2应力和一点的应力状态

2.3与坐标倾斜的微分面上的应力

2.4平衡微分方程应力边界条件

2.5转轴时应力分量的变换

2.6主应力应力张量不变量＊2.7应力二次曲面

2.8最大切应力第二章应力状态理论弹性力学所研究的都是超静定问题。要解决超静定问题，必须考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，缺一不可。本章的任务是要从静力学观点出发，分析一点的应力状态，并建立连续介质力学普遍适用的平衡微分方程和应力边界条件。在本章的推导中，将忽略物体的变形，显然这对小变形物体来说是不会引起明显误差的。2.1体力和面力

作用在物体上的外力有两种类型，即体力和面力。

1、体力：分布在物体内所有质点上的力（重力、惯性力和电磁力等）

2、面力：作用在物体表面上的力（风力、液体压力、物体间接触压力等）体力分量投影于坐标轴M体力和体力矢量投影于坐标轴面力矢量面力和面力矢量面力分量内力内力和应力2.2应力和一点应力状态1、内力：物体受外界作用，在物体内部不同部分之间产生的相互作用力正应力切应力投影于法线和平面投影于坐标轴内力和应力凡提到应力，应同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面来说的。因为，通过物体内同一点可以作无数个方位不同的微分面。显然，各微分面上的应力一般说是不同的。物体内同点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。为了表示一点的应力状态，过物体内某一点M分别作3个彼此垂直的微分面，使之与坐标平面平行此3个微分面分别把物体在M点的微分邻域分割成前后、左右以及上下两部分（假定取x轴垂直纸面而指向读者，z轴垂直向上）我们只保留其表面外法线方向和坐标轴正方向一致的那一部分（下图）三个特殊面上的应力应力张量

为了表示一点的应力状态，过该点M作三个与坐标平面平行的三个特殊微分面。分别将物体分成前后、上下、左右两个部分，保留外法线方向与坐标轴正方向一致的部分，称为M点的三个特殊微分面上的9个应力分量，即应力张量。正负号的规定：当微分面外法线指向与坐标轴正方向一致时，应力分量沿正方向为正；当微分外法线指向与坐标轴负方向一致，则应力分量以沿坐标轴负方向为正。正应力的下标表示作用面的方位和它的方向切应力的下标第一个表示作用面的方位，第二个下标表示它的方向下标的含义：物体的受力内力外力集度应力体力面力正应力剪应力集度体力矢量集度面力矢量2.3与坐标倾斜的微分面上的应力abcMxyz由平衡条件，得同理2.色4平衡漠微分伴方程诉应力怎边界据条件如果一亦物体在悦外力（桐包括体闸力和面范力）作工用下处优于平衡脖状态，若则将其维分割成渗若干个谷任意形万状的单识元体以肤后，每拢一个单旧元体仍驾然是平理衡的；仗反之，奖分割后歉每一个过单元体似的平衡启，也保撤证了整扶个物体句的平衡梢。基于这吹样的理汽由，假巧想穿过干物体作坝三组分砍别与3个坐标博平面平雁行的截数面，在逮物体内框部，它梢们把物鸦体分割允成无数鸦个微分止平行六杠面体；乒在靠近资物体的惕表面处洗，只要鼓这三组结平面取毅得足够邮密，则愈不失一押般性地握被切割点成微分拖四面体嘴（见下拉图）。如果滥我们碰分别夕考虑词物体龄内部箱任意浅一个丽微分体平行惕六面兰体和叹表面悼处任遇意一暴个微欺分四挎面体草的平籍衡，群可以好导得蚊平衡进微分残方程泄和应权力边角界条宫件。AABB物体姑受外厚力作苦用处贿于平威衡状雁态也啄保证荣了单戴元体解的平之衡分别省在物炒体内亿取任砖意一棒个平则行六度面体疗和表艰面处多一个陶四面跑体分柳析其蓄平衡应满足平衡方程：考虑，有同理考虑，得平衡微分方程，又称纳维方程考虑切应力物互等定喉理应力边虑界条件：表的示物冬体在花边界咱上应跨力与敢面力片之间的耽平衡隶关系倚。2.5转轴童时应逗力分谱量的扇变换当坐蠢标系思改变千时,同一点斤的各应恼力分量燥应作如思何改变易证明,如坐标钳系作平曾移变换,同一点坟的各应壳力分量远是不会舍改变的,因此只警考虑转奸轴的情钟形§2-捏6主应力罗应沃力张量狠不变量既然物近体内任忌一确定唉点的9个应乒力分荡量要寄随着渡坐标妈系的挑旋转祝而分另别改迅变，太于是番就产蚕生了割一个俘问题问：对坡于这邪任一陷确定堤的点始，能爪否找惜到这亮样一蛇个坐封标系青，在面这个玩坐标饼系下耍，该稠点只靠有正葛应力哑分量值，而新切应绒力分喜量为梯零；奥也就谎是说疫，通森过该励点，跃能否固找到在这样3个互相静垂直的连微分面症，其上授只有正你应力而皆无切应挠力。回答舟是肯记定的肉。我换们把嘉这样州的微伟分面勉称为话主平吧面，富其法算线方俱向称皱为应资力主框方向弓，而揭其上妙的应盼力称方为主训应力欺。根据主队应力和直应力主练方向的岸定义去象建立它靠们所满屡足的方锦程。设通过M点（旷设坐堵标原洁点O与其重悄合）的守与坐标阴倾斜的聋微分面abc为主惩微分雅平面其法档线方货向（位即主经方向订）v的三择个方勺向余冬弦为l，m，n，而其亩上的应记力矢量f­v（即寄主应未力）拍的三邪个分握量为fvx，fvy，fvz。2.虑6主应力宅应节力张量辨不变量通过一思点M，可奇以找笨到3个互鼓相垂党直的库微分底面，阁其上牲只有斜正应丸力而沉无切拥应力滋。这扭样的唐微分座面称亡为主平面，其法炭线方向直称为应力主椒方向，其