第08讲等腰三角形（7大考点）（原卷版）

第08讲等腰三角形（7大考点）考点考点考向一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．四．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．五．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．六．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．七．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．考点考点精讲一．等腰三角形的性质（共4小题）1．（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（）A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm2．（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2022春•会宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是20，12，则AB为（）A．4 B．6 C．8 D．104．（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为cm．二．等腰三角形的判定（共4小题）5．（2022•东城区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022春•蒲城县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．下列条件：①BD＝CD，②∠B＝∠DAC，③∠B＝∠C，其中能使△ABC是等腰三角形的是．（写出所有满足题意条件的序号）7．（2022春•淇滨区期末）艳艳家准备用一段长28m的篱笆围成一个三角形状的场地，用于饲养家兔．已知第二条边长为am，第二条边长是第一条边长的2倍少3m．（1）请用a表示第三条边长；（2）第三条边长可以为7m吗？请说明理由；（3）如果围成的三角形是等腰三角形，直接写出a的值．8．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形．三．等腰三角形的判定与性质（共3小题）9．（2022春•罗湖区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为．10．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝23°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作DF∥AB交BC于点F，点E是BA延长线上一点，且BE＝FC，连接EF交AC于点O，则∠EOC＝．11．（2022春•本溪期末）如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离是海里．四．等边三角形的性质（共4小题）12．（2022春•丽水期末）如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形ABC是等边三角形，∠A＝60°，当时针OP正对点A时恰好是12：00．若时针OP与三角形ABC一边平行时，时针所指的时间不可能是（）A．1：00 B．3：00 C．5：00 D．8：0013．（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（）A．135° B．125° C．120° D．110°14．（2022春•宽城区校级期末）如图，已知ABC为等边三角形，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝．15．（2022春•灌云县期末）若一个正三角形的路标的面积是，则它的边长为．五．等边三角形的判定（共4小题）16．（2021秋•大洼区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形 C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC17．（2021秋•铁岭县期末）如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状18．（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．19．（2021秋•郾城区校级期末）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD＝DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．六．等边三角形的判定与性质（共4小题）20．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个21．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距海里．22．（2021秋•淅川县期末）如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．23．（2021秋•博兴县期末）如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝cm．七．含30度角的直角三角形（共5小题）24．（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（）A．4 B．6 C．8 D．1025．（2022春•埇桥区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（）A．与∠1互余的角只有∠2 B．点B到CD的距离是BD的长 C．∠1＝∠B D．若∠A＝2∠1，则∠B＝30°26．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．427．（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.528．（2022•赛罕区校级一模）已知：如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一个动点（不与两端点重合），连接AD，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E，F，连接ED、FD，则以下结论正确的是（）A．∠1＝15° B．DF⊥AC C．CD＝2CF D．∠2＝2∠1巩固巩固提升一、单选题1．（2021·四川宣汉县·八年级期末）若一个等腰三角形的两边长分别为6和4，则该等腰三角形的周长是（）A．13 B．14或16 C．16 D．142．（2021·山东乐陵市·八年级期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边AB上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2D，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的内角度数是（）A． B． C． D．3．（2021·吉林长春市·长春外国语学校八年级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，若也是图中的格点，则使得是以为腰的等腰三角形时，点的个数是（）A． B． C． D．4．（2021·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（）A．20 B．16 C．16或20 D．以上都不对5．（2021·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（）A．a≤45° B．0°＜α＜90°C．α＝90° D．90°＜α＜180°6．（2021·山东乐陵市·八年级期中）如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，cm，则等于（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm二、填空题7．（2021·山东乐陵市·八年级期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6cm，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是______．8．（2021·山东乐陵市·八年级期中）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE//BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B=70°，求∠C的度数；（2）若AE=AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．9．（2021·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是_________；若把两条边的长改为4和7，则周长为_________10．（2021·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）等腰三角形一腰上中垂线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则顶角为_________11．（2021·河南川汇区·八年级期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为，点是边的中点，点是上的动点，则的周长的最小值是______．12．（2021·全国）如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为__________．13．（2021·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE，则∠EDC＝_________．三、解答题14．（2021·吉林铁西区·八年级期中）如图，以等边的边为腰作等腰，使，连接，若，请求出的度数．15．（2021·吉林铁西区·八年级期中）如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，再过作交于．（1）请证明；（2）请求出的长．16．（2021·吉林铁西区·八年级期中）已知，、、为的三边长，、满足，且为方程的解，请判断的形状．17．（2021·河南川汇区·八年级期末）已知等腰三角形的底边长为，底边上的高的长为，求作这个等腰三角形．（不写作法，保留作图的痕迹）18．（2021·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，则∠1＝∠2，试说明理由．19．（2021·义乌市绣湖中学教育集团八年级月考）如图所示，已知BD平分∠ABC，AB＝AD，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：AD∥BC；（2）①若DE＝6cm，求点D到BC的距离；②当∠ABD＝35°，∠DAC＝2∠ABD时，求∠BAC的度数．20．（2021·吉林铁西区·八年级期中）如图，已知：，，、、、在同一直线上且，（1）求证：；（2）若，，，请求出的长．21．（2021·河南川汇区·八年级期末）在等边三角形中，点在射线上（不与点，重合），把线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．（1）当点在边上时，如图1，的度数是______，与之间的数量关系______；（2）当点在边的延长线上时，如图2，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请就图2情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）若，当，请直接写出线段的长．22．（202