线段的垂直平分线

秉烈中学师课堂教学计理科教师用）授教：光智

科：数学

授主：

§1.3线段的垂直平分教分及理知识目标：①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．③经历猜想、探索，能够作出以a为，为高的等腰三角形能力目标：①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．情感与价值观要求①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．预目：能够证明与线段垂直平分线相关的结论．

②知底边和底边上的高，能用尺规作出等腰三角形．学活：生讨论并动手自己操作。教活：引导操作教资及具运：直尺、规典习：已知直线l和l一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点已知：直线l和l上一点P．求作：l

教流及书计第一环：创设情境引入新如图AB示两个仓库，要AB一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置其中“到两个仓库的距离相”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴们用折纸的方法据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．定理

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．第二环：探究新知第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗何况不可能呢已知：如图，直线MN⊥AB，垂足且AC=BC，MN上的点．求证：．分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三形是否全等．证明：∵⊥，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△△PCB(SAS)．；

C

MN

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等．第三环：想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗它是真命题吗这个命题不是…那么…”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”论是这个点到线段两个端

点的距离相等此时，逆命题就很容易写出来如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．证法一：已知：线段AB，点是平面内一点且PA=PB．求证：在AB垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线，PC=PC，∴Rt△≌eq\o\ac(△,Rt)PBC(HL定理)．∴AC=BC，即在AB垂直平分线上．证法二：取AB中点，过作直线．∵AP=BP，∴△△．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠，∴∠PCA=∠∠，即⊥AB∴在AB垂直平分线上．证法三：过P点作∠APB的角平分线．∵AP=BP，∠1=∠2

PBP12CB△△∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等．又∵∠PCA+∠∴∠PCA=∠PCB=90°∴在线段AB垂直平分线上．证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．

P1∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴AB垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问前三个同学的证明是正确的，而第四个同

22学的证明我有点弄不懂师生共析如图(PD上D是垂足D不平分AB如图(2)平分，但不垂直于AB．这说明一般情况下：过作AB的直平分线可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．我们曾用折纸的方法折出过线段的

P垂直平分线．现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用

A

A

B尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢第四环：做一做活动内：尺规作线段的垂直平分线．用尺规作线段的垂直平分线．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．已知：线段AB(如图求作：线段AB垂直平分线．1作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．2．作直线CD．直线就是线段AB垂直平分线．第五环：讲述新课已知在△中ABBC的直平分线交于点连接，，．

DA求证：在AC垂直平分线上．证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

B

∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理．∴．∴点AC垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点进一步设问证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结”（交点三角形三个顶点的距离相等定理

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等练习1别作出直角三角形角三角形钝角三角形三边的垂直平分线明交点分；别在什么位置．2．已知：ABC，AB=AC，ADBC一上的中线，AB的垂直平分线交于求证：OA=OB=OC．

A解：1．如所示：

OBC可以发现，锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外．2．证明：，AD是的中线，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边)．又∵AB垂直平分线与交于点O，∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．第六环：议一议活动内：用尺规作图作已知一条边及这条边上的高，求作出相关的三角形。(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗如果能，能作几?所作出的三角形都全等吗已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗能作几个?由学生思考可得(1)知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图：已知：三角形的一条边a和边上的高求作：△ABC使，边上的高为

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(D)

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从上图我们会发现先作已知线段然后再作边上的高h但垂足不确定我们可将垂足取在线段上或其所在直线上的任意一点D，过此点作边的垂线，最后以为端点在垂线上截取或AD)使AD=AD=h，连接AB，AC(或△A，AC)，所得△ABC(或△ABC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．另外有学生补充底边垂直平分线上的任意一点都满足条件如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去（如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段、求作：△ABC使，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D；3．以D为圆心，长为半径作弧交MN于A；4．连接AB、∴△ABC就是所求作的三角形如图所示)．

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完成作图后，可能有学生会后这样的疑问足条件的△应有两个，为什么不作出另一个呢教师说明，作图“位作图”“活位作图，前者则对所求作的图形必须作在指定的位置，而后者则对所求作图形的位置没有硬性限制．如作已知线段的垂直平分线”属定位作图，而“以已知正方形的一边为边等边三角形“已知两边及其夹角作三角形”都属于活位作图．对于