分析高数课件

R正六边形的面积RL L正62n1形的面 2“一尺之棰，日截其半，万世不第一天截下的杖长为 1 第二天截下的杖长总XL L

11 第n天截下的杖长总和为Xn

11L1 1 二、数列的定定义:按自然数1,2,3,L编号依次排列的一列x1,x2,L,xn, 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数,xn{xn}.例如111L,1L;{1

2,4,8,L,2n,L;{2n24

1,1,1,L,(1)n1,L1 n ,L2

{(1)n1,L {n(1)n1n3,3,xn

,L3333333L3

,3xn13xn1动点在数轴上依次取x1x2L,xnL.

x2 2.数列是整标函数 f三、数列的极观察数列{1 n问题:n无限增大时xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是，如何确定?通过上面演示实验的观察1 n

n无限增大时(Ⅰ)

,L2

{xn}

,L}} 11

,L n,L24

{2n 不能无限接1,1,1,L,(1)n1,L;{(1)n1 某问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它

当当n无限增大时xn无限接近于xna任意要多小有多小 n(1)n11(1)n1 ： 解

xn

xn1要使

11 1 n 只n

xn

1 ,n

只要n

1对任

0,要使xn1

n

对任

0,要使xn

n

只要n1二、数列极限的定义任给0,总存在正整数N使得当nNxna称数列以a为极限，或数列收敛于 记为：lim a,或 注意：⑴定义中的

a(n).是任给⑵定义只强调N的存在性而定xna是对nN的一切n都成立刻划了xn与a的无限接近N定义:limxna0,N0,使nN时xna其中:每一个或任给的 :至少有一个或存在

数列极限的定义未给出求极限的方法 例 设 C(C为常数),证明lim C 证0,

对于一切自然数nxn

C

0成立所以

limxnCn说明:常数列的极限等于同一常数例2证明

nnnn

证

1n0,

1

只要1n

或n1所以,取N

则当nN时nnn

n(1)n1就 1

即

例:

cosn1) cos证对

1

2(n1)0

总存在正整数NnNn1

xna即 2(n1)

n因0

1 故2(n

2(n1)<22

n21 2(n1)n

2n

2,n2n因此

0,取N21n

2(n1)0

总存在正整数N

1n

2(n1)

使得当nN时，xna 定0,寻找N,但不必要求最小的N.aaa xN xN 当nN时,所有的点xn都落在(a 所有xn全落点a邻域只有有限个(至所有xn全落点a邻域limlimxn的无穷个点，则limuna?1 n为奇数un n为偶数当1010

问limun0在点a(0)的邻域外，总有的点

四、数列极限的性唯一 定理2每个收敛的数列只有一个极限证limxna又limxn n

由定义0,N1N2使得当nN1时恒

xn

取NmaxN1N则当nN

ab

(xnb)(xnxnb

xn

上式仅当ab时才能成立故收敛数列极限唯一有界定义:对数列xn,若存在正数M, 然数n,恒有xn M成立,则称数列xn有界,否则,称 例如xn

数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区[MM]上xn2n.对一切M,对一切M,使xnM,证设lim 由定义 取n则N使得当nN时恒xnaa1xnaxn取xnaxn取xnaaxnaa1Mx1,x2,L,xN,1

,L

xN

a

a则对一切自然数n,皆有

M

推论数列必定发散n例 证明数列 (1)n1是发散的n证设lim

由定义,对于1 则N使得当nN时xn即当nN时, (a1,a

1成立2区间长度为 而xn无休止地反复取1,1两个数,定理：若limxna且a0(或a0),则N当nN时有xn0(或xna0,由数列极限定义可知，对a2则N0,当nN时,有 aa,从而 aaa 推论：如果数列推论：如果数列xn}从某项开始有xn（或xn且limxna,则a（或a3. 的数列{xnk}称为数列{xn}的子数列。

x注意：nk

k定理：若{xna(n),则{xn}的任一子列也收敛为Qxna(n对0,N0,当nN时有xnaKN,当kK即{xna(nkk

nKnN

.定理：若xn}a,则xn的任一子列也收敛为Q数列{(1)n},有一子列{(1)2n}另有一子列{(1)2n1}1故数列{(1)n}发散五.数列:研究其变化规律数列极限:极限思想,精确定义,几何意义收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性作业:1-2;3.(2、3)；4；5；6思考 下列证明lim 证明要使 n1 只要使1lnnln(1n从而1ln(1ln(1

N

ln 当nN时，必有0 n1成 limnn思考题解n 1n

1lnnln(1)（等价~n~证明中所采用的1ln(1ln(1 ln ln实际上就是ln2lnnln(1 即证明中没有采用“适当放大

ln 的反而缩小为lnnnNln(1)lnln2ln(1成立n但不lnnln(1)的充分条件n1、lim3n13；n2n 2、li.99 9二、设数xn有界，又limyn证明：limxnyn例 证明lim 0,其中

证0,若q 则limqnlim0 n若0q

xn0qn

nlnqlnn