1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课

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——北京师范大学用自己的聪明和勤奋，打造一个最优秀的自己1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课

北京师范大学是教育部直属重点大学，是一所以教师教育、教育科学和文理基础学科为主要特色的著名学府。学校的前身是1902年创立的京师大学堂师范馆，1908年改称京师优级师范学堂，独立设校。1912年改名为北京高等师范学校。1923年更名为北京师范大学，成为中国历史上第一所师范大学。1931年、1952年北平女子师范大学、辅仁大学先后并入北京师范大学。

1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课1.1相关分析的基本思想及其初步应用(习题课）1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课复习回顾：1.回归直线的方程:1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课我们又引入相关指数R2来刻画回归的效果：残差平方和总体偏差平方和当R2越接近于1,说明解释变量和预报变量之间的相关性越强,如果同一个问题,采用不同的回归方法分析,我们可以通过选择R2大的来作为回归模型1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课相关系数

相关系数的性质:(1)|r|≤1．

(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课基本步骤抽取样本,采集数据作出散点图确定类型,求回归方程残差分析相关指数判定拟合程度1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课案例2

一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非线性回归问题1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课假设线性回归方程为：ŷ=bx+a选模型由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73

相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464估计参数

解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。选变量所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和预测当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93一元线性模型1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课奇怪？93>66?模型不好？1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课

y=bx2+a变换y=bt+a非线性关系线性关系方案2问题１选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a？问题3

产卵数气温问题2如何求a、b？合作探究

t=x2二次函数模型1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：

y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。t1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课问题２

变换y=bx+a非线性关系线性关系问题１如何选取指数函数的底?产卵数气温指数函数模型方案3合作探究对数1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个711212466115325xz当x=28oC时，y≈44，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为

对数变换：在中两边取常用对数得令，则就转换为z=bx+a.相关指数R2=0.981.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课最好的模型是哪个?

产卵数气温产卵数气温线性模型二次函数模型指数函数模型1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课比一比函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.80指数函数模型0.98最好的模型是哪个?1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课回归分析（二）则回归方程的残差计算公式分别为：由计算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天

1

2

34

56繁殖个数y/个

6

12

25

49

95190

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；（2）

描述解释变量与预报变量之间的关系；（3）

计算残差、相关指数R2.天数繁殖个数解：（1）散点图如右所示1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=的周围，于是令Z=lny,则x123456Z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得则有6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190（3）即（解释变量）天数解释了99.99%（预报变量）繁殖细菌得个数1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课理论迁移

例1993年到2002年中国的国内生产总值（GDP）的数据（单位：亿元）如下：104790.6200274462.6199797314.8200167884.6199689468.1200058478.1199582067.5199946759.4199478345.2199834634.41993GDP年份GDP年份1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么？（2）建立年份为解释变量GDP为预报变量的回归模型，并计算残差.（3）根据你得到的模型，预报2003年的GDP，看看你的预报与实际的GDP（117251.9亿元）的误差是多少？（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由.1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课0200004000060000800001000001200001992199419961998200020022004GDP与年份近似地呈线性关系.1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课－993.79120024638.0551997－1277.62220015252.0241996－1932.35320003037.4931995－2140.9841999－1489.23819941328.6851998－6422.2691993残差年份残差年份2003年GDP预报值为112976.4，预报与实际相差－4275.5相关指数R2＝0.974，说明年份能够解释97.4%的GDP值变化，所建模型能很好地刻画GDP和年份的关系.1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课练习某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：编号１２３４５６７８次数３０３３３５３７３９４４４６５０成绩３０３４３７３９４２４６４８５１试预测运动员训练４７次以及５５次的成绩1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课编号１２３４５６７８次数３０３３３５３７３９４４４６５０成绩３０３４３７３９４２４６４８５１第一步：做散点图1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课编号１２３４５６７８次数３０３３３５３７３９４４４６５０成绩３０３４３７３９４２４６４８５１第二步：求回归方程1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课编号１２３４５６７８次数３０３３３５３７３９４４４６５０成绩３０３４３７３９４２４６４８５１残差第三步：残差图-1.24-0.370.550.461.380.170.09-1.081.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课残差图编号１２３４５６７８次数３０３３３５３７３９４４４６５０成绩３０３４３７３９４２４６４８５１残差-1.24-0.370.550.461.380.170.09-1.081.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课第四步：计算相关指数编号１２３４５６７８次数３０３３３５３７３９４４４６５０成绩３０３４３７３９４２４６４８５１残差-1.24-0.370.550.461.380.170.09-1.08说明了该运动员的成绩的差异有９８．５５％是由训练次数引起的，说明了两个变量的相关关系非常强．1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课第五步：作出预报由上述分析可知，我们可以用回归方程1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课一般地,建立回归模型的基本步骤为:1.确定研究对象2.画散点图3.由经验确定回归方程的类型4.按一定规则估计回归方程中的参数5.分析残差图７.下结论６.分析残差图小结：1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课作业：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料。使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程