2012安徽数学(理)高考试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试(安徽卷数学理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝()A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x3．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．3B．4C．5D．85．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差6．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件()7．(x＋2)(1－1)5的展开式的常数项是()2x2A．－B．－2C．2D．338．在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)．将向量OP绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ，则点Q的坐标是()A．(72，2)B．(72，2)C．(46，－D．(46，2)9．过抛物线y＝4x的焦点2)F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|2＝3，则△AOB的面积为„()232A．B．2C．D．222210．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．x0，11．若x，y满足约束条件x＋2y3，则x－y的取值范围是__________．2x＋y3，12．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是__________．π13．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线(ρ∈R)的距离是__________．614．若15．设△ABC的内角A，B，C所对边的__________(写出所有正确命题的编号)．平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是__________．长分别为a，b，c，则下列命题正确的是①若ab＞c2，则Cπ3②若a＋b＞2c，则Cπ3③若a＋b3＝c3，则Cπ④若(a＋b)c＜2ab，则Cπ232⑤若(a＋b)c2＜2a2b2，则Cπ223三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．设函数f(x)＝2cos(2x＋π)＋sin2x．24(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π)＝g(x)，且当x∈［0，π］时，g(x)＝－1f(x)．求222g(x)在区间［－π，0］上的解析式．17．某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值18．平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，AC＝ABAC库中(数学期望)．BC＝2，BB1＝4，AB＝2，＝＝5，现将该平面图形分别沿和折叠，使△与△BCBCABCABC111111111所在平面都与平面BBCC垂直，再分别连接AA，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形．对111此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA⊥BC；1(2)求AA的长；1(3)求二面角A－BC－A1的余弦值．1f(x)＝aex＋＋b(a＞0)．aex19．设函数(1)求f(x)在［0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y3，求a，b的值．x2C：y1(a＞b＞0)的左、右焦点，x2220．如图，点F(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆1a2b2PF的垂线交直线xa2过点F作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F作直线122c于点Q．(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；C只有一个交点．x＝0，xn＋1＝－x＋x＋c(n∈N*)．nnn1{x}是递减数列的充分必要条件是c＜0；n(2)证明：直线PQ与椭圆21．数列{x}满足2(1)证明：(2)求c的取值范围，使{x}是递增数列．n55(2i)＝2＋i，2i(2i)(2i)1．D由题意可得，z－i＝所以z＝2＋2i．2．C∵f(2x)＝2x＋1，而∴f(2x)≠2f(x)，只有C不满足．2f(x)＝2x＋2，3．B由程序框图依次可得，x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8，y＝4→y＝4．4．B由题意可得，∴a10＝a7q3＝25．∴log2a10＝log225＝5．输出aa＝a2＝16，∴a＝4．311775．C由图可得，456786，35696，故A项错；而x甲x乙55甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B项错；s2(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，5甲s3(56)2(66)2(96)22.4，故C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成25乙绩的极差也为D项错．4，故6．A由面面垂直的性质定理可得，∴a⊥b，但反之则不成立．α⊥β，α∩β＝m，bβ，b⊥mb⊥α．又∵aα，7．D(1－1)5的通项为x2T＝Cr(1)5(－1)r＝(－1)rCrx102r－1．要使－(x＋2)(1r－2r＋15x25x211)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5．故(x＋2)(－1)5的展开式的2x2常数项是(－1)4×＋2×(－1)5×＝3．CC4555A设与8．OPθ，则cos3，sin，则由4x轴正半轴的夹角为三角函数定55义可得，OQOP3π3π＝(OPcos(θ＋)，sin(θ＋))．44OP3π∵cos(θ＋)4＝6＋82×(cosθcos3π－sinθsin3π)244＝103(2)4272，5252OP3πsin(θ＋)4＝682×(sinθcos3π＋cosθsin3π)244＝104(2)322，5252OQ∴＝(72，2)，即点Q的坐标为(72，2)．9．C设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定x＋1＝3，∴x＝2．∴A义可得，11点坐标为(2,22)，则直线AB的斜率k22022．∴直线AB的方程为y＝22(x21y＝4x，．由2232－1)，即为22220，则点O到该直线的距离为dxyy22(x1)，x＝2，1．∴|BF|＝x2＋1＝，3∴39．3消去y得，2x－5x＋2＝0，解得2xAB122222∴1|AB|d192232．2SAOB222310．D6位同学之间互相交换，总共有种，而实际只交换了13次，故有2次C=1526未交换．不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换换时，只有乙、丙两位同学收到4份礼物，故11．答案：［－3,0］解析：过点A(0,3)时满足z最小，此时z＝0－3＝－时，甲、乙、丙、丁4位同学都收到4份礼物；当甲与乙、甲与丙之间未交选D．作出可行域如图所示，令z＝x－y，当z＝0时，得l：x－y＝0．平移l，当l0003；当l过点B(1,1)时，此时z＝1－1＝0，min故x－y的取值范围为［－3,0］．0max12．答案：92解析：由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，该几何体的表面积为S＝2×1×(2＋5)×4＋［2＋5＋4＋4(52)2］×4＝92．2213．答案：3解析：由极坐标下圆的方程ρ＝4sinθ可得，ρ＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y，即x2＋(y－22)2＝4，表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆．又π(ρ∈R)表示直线y3x，∴由点到632直线的距离公式可得d3．1(3)23914．答案：8解析：∵|2a－b|≤3，∴4a＋b≤9＋4a·b．22∵4a2＋b2≥4|a|·|b|≥－4a·b，∴9＋4a·b≥－4a·b．∴9．ab815．答案：①②③a2b2c2a2b2ab2abab1．解析：对于①，由ab＞c2可得cosC2ab2ab2ab2故Cπ，∴①正确；3ab(ab)2对于②，由a＋b＞2c可得c，故2．c24a2b2(ab)2abab3(a2b2)32aba2b2c22ab故cosC1．2442422ab2ab2ab∴Cπ，②正确；3bb33a＋b3＝c3可得2a33，故a＋b2－c2＝a2＋b2－a＝对于③，由32ccca2cb2c(a3b3)a2(ca)b2(cb)．cc又a3＋b3＝c3，故c＞a，c＞b，a(ca)b2(cb)2故0，c故a2＋b2＞c2．故Cπ，③正确；22ab4a2b2，故24aabb24ab2对于④，c．cab(ab)2a2b2c2a2b2ab故cosC1．∴Cπ，④不正确；232ab2ab2a2b22a2b2(a＋b)c2＜2a2b2可得2对于⑤，由ab．2ab2abab1．22ca2b2a2b2c2a2b2ab故cosC2ab2ab2ab2∴Cπ，⑤不正确．综上可知，①②③正确．316．解：(1)f(x)＝2cos(2x＋π)＋sin2x42＝2(cos2xcosπ－sin2xsinπ)＋1cos2x2442＝1sin2x，122故f(x)的最小正周期为π．π11(2)当x∈［0，］时，g(x)＝－f(x)＝sin2x．故222①当x∈［π，0］时，x＋∈［0，ππ］．由于对任意x∈R，g(x＋π)＝g(x)，从而2222g(x)＝g(x＋π1π1sin(π＋2x)＝1sin2x．)＝sin［2(x＋)］＝22222ππ②当x∈［－π，)时，x＋π∈［0，)．22从而g(x)＝g(x＋π)＝1sin［2(x＋π)］＝1sin2x．22综合①，②得g(x)在［－π，0］上的解析式为12πsin2x，xπ,,2gx＝1sin2x，x,0.π2217．解：以A表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2．n1n(n1)mnmn2(mn)(mn2)n，n＋1，n＋2．in(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝．(2)X的可能取值为nn1．4P(X＝n)＝1P(AA)nnnn2nn1nn1，2P(AA)P(AA)P(X＝n＋1)＝nnnn2nnnn1212nn11，4P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nnnn2从而X的分布列是XPn14n＋1n＋21214EX＝n×1＋(n＋1)×1＋(n＋2)×1＝n＋1．42418．(向量法)(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D，连接AD，DD1，AD．111由四边形BBCC为矩形知，DD⊥BC．11111因为平面BBCC⊥平面ABC，11111所以DD1⊥平面AB=AC知，AD⊥BC．11111111ABC．111又由故以D为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．11由题设，可得AD=2，AD=1．11由以上可知AD⊥平面BBCC，AD⊥平面BBCC，于是AD∥AD1．1111111所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)．1故AA=(0,3，－4)，BC=(－2,0,0)，AABC0．11因此1AABC，即⊥．AABC1(2)解：因为AA=(0,3，－4)，所以AA5，即AA1=5．11(3)解：连接AD．1由BC⊥AD，BC⊥AA，可知BC⊥平面AAD，BC⊥AD，111所以∠ADA为二面角A－BC－A1的平面角．1因为DA=(0，－1,0)，DA=(0,2，－4)，125，5所以cosDA,DA211224即二面角A－BC－A1的余弦值为5．(或用法向量求解)5(综合法)(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D，连接AD，DD1，AD，A1D．111由条件可知，BC⊥AD，B1C1⊥A1D1．由上可得AD⊥平面BBCC，AD⊥平面BBCC，111111因此AD∥A1D1，即AD，A1D1确定平面AD1A1D．又因为DD∥BB，BB⊥BC，所以DD⊥BC．1111又考虑到AD⊥BC，所以BC⊥平面AD1A1D，故BC⊥AA．1(2)解：延长AD到G点，使GD=AD．连接AG．111因为ADGD，所以AGDDBB．由于BB1⊥平面由条件可知，111ABC，所以AG⊥A1G．111AG=A1D1+D1G=3，AG=4，1所以AA=5．(3)解：因为BC⊥平面AD1A1D，所以1∠ADA为二面角A－BC－A1的平面角．1在Rt△A1DD1中，DD=4，A1D1=2，解得sin∠D1DA1=5，cos∠ADA1=cos(π+∠D1DA1)=1525，55角A－BC－A1的余弦值为．5即二面119．解：(1)f′(x)＝aex－，aex当f′(x)＞0，即当f′(x)＜0，即x＜－lna时，①当0＜a＜1时，－lna＞0，f(x)在(0，－lna)上递减，在［0，＋∞)上的最小值为f(－lna)＝2＋b；②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在［0，＋∞)上递增，从而f(x)在［0，＋∞)上的最小值为x＞－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)f(x)在(－lna，＋∞)上递增；1f(0)＝a＋＋b．a13，解得ae＝2或ae21(舍去)．222(2)依题意f(2)ae2ae2所以a2，代入原函数可得1b＝3，即b1．2＋＋22e2故a2，b1．e22b2P(－c，)．20．(1)解：方法一：由条件知，ab20b2故直线PF2的斜率为a．2ackPF2cc因为PF2⊥F2Q，2acx2ac2FQ的方程为．y2所以直线b2b2故Q(a，2a)．2ca2由题设知，4，2a＝4，解得a＝2，c＝1．cx2y2故椭圆方程为1．43方法二：设直线xa与x轴交于点2M．cb2由条件知，P(－c，)．a因为△PF1F2∽△FMQ，2|PF||FF|所以．112|FM||MQ|2b22ca即，解得|MQ|＝2a，|MQ|a2cca24,所以a＝2，c＝1．c2a4,x2y2故椭圆方程为1．43xa2cy2a(2)证明：直线PQ的方程为，b