版工程数学概率综合练习题

圆满版工程数学概率综合练习题圆满版工程数学概率综合练习题/圆满版工程数学概率综合练习题北京邮电大学高等函授教育、远程教育《工程数学》综合练习题通讯工程、计算机科学与技术专业（本科）《概率论与随机过程》部分一、设A、B、C为三事件，用A、B、C运算关系表示以下事件：1．A发生，B与C不发生：_______________________、、C中最罕有一个发生：___________________2．AB3．A、B、C中最罕有两个发生：___________________、、C中不多于一个发生。_____________________4．AB二、填空1．设A、B为两个事件，且P(AB)0.7,P(A)P(B)0.5，则（1）P(AB)___________，（2）P(AB)__________;2．若事件A发生必致使事件B发生，且P(A)0.4,则P(BA)____,P(AB)____;3．若A、B为随意两随机事件，若P(A),P(B),P(AB)已知，则P(AB)______________，P(A)_______________;4．设有三事件A1、A2、A3相互独立，发生的概率分别为p1、p2、p3，则这三事件中最罕有一个发生的概率为__________________,这三事件中最罕有一个不发生的概率为_______;5．若随机变量X～B（5，0.3）,则P｛X=3｝=___________________________,P｛X≥4｝=__________________________________________;6．设随机变量X～B(n,p)，且EX=2.4,DX=1.44,则X的散布列为PXk__________________________________________,PX3__________________________________________;7．已知随机变量X的概率密度函数为1(x1)2f(x)e8(,)2则EX=______，DX=______，X的散布函数F(x)__________________;8．设X～N（1.5,4）,则P｛︱X︱＜3｝＝_________________;(已知(0.75)0.7734,(2.25).9878)122x9．若X～N（，2），且Ye2e2,则E(Y)___________;10．设随机变量X的概率密度为f(x)ke3x,x0则常数k_________。0,x011．设随机变量X～U［1，3］，则E1_________。X12．设随机变量X～π(),且E(X2)2,则_________。13．设舰艇横向摇晃的随机振幅X遵照瑞利散布，其概率散布密度为x2xe22f(x)2

,x0其余0，则E（X）=___________。14．已知（X，Y）的散布律为Y123X1

111691813且知X与Y相互独立，则和分别为_____,_____。15．已知（X，Y）的散布律为Y－10－1X10.20.10.120.100.1300.30.1则：（1）E（X）=__________2）E（Y）=__________三、单项选择题1．一批产品共100件，此中有5件不合格，从中任取5件进行检查，假如发现有不合格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为C）A．C955B．5C95514C．1D．1595C1005100C1005C51001002．设A、B为两事件，P(AB)P(AB)且P(A)0.4,则P(B)（B）A．0.2B．0.4C．0.6D．13．设失散型随机变量X的散布律为2X012P0.30.50.2若F(x)为X的散布函数，则F（1.5）=(B)A．0.8B．0.5C．0D．14．设随机变量X的概率散布密度为f(x)3x2,0xa则a0,其余(C)1B．1C．1D．2A．245．设随机变量X与Y独立，其方差分别为6和3，则D（2X－Y）=（D）A．9B．15C．21D．276．设随机变量X与Y独立，X的概率密度为8,x22y,0y1fX(x)x3的概率密度为YY,其余0,其余0则E（XY）=（D）4B．578A．3C．D．333四、某产品每批中都有三分之二合格品，查验时规定：先从中任取一件，假如合格品，放回，再从中任取一件，假如仍为合格则接受这批产品，不然拒收，求一批这类产品被拒收的概率，以及三批产品中最罕有一批被接收的概率。五、袋中有5个白球，3个黑球，分别按以下两种取法在袋中取球：（1）从袋中有放回地取三次球，每次取一球，（2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次取三个球），在以上两种取法中均求A=｛恰巧获得2个白球｝的概率。六、将n个球放入N个盒子中去，试求恰有七、为了防备不测，在矿内安装两个报警系统

n个盒子各有一球的概率（n≤N）。a和b，每个报警系统独自使用时，系统a有效的概率为0.92，系统b有效的概率为0.93，而在系统a失灵状况下，系统b有效的概率为0.85，试求：（1）当发买卖外时，两个报警系统最罕有一个有效的概率；（2）在系统b失灵状况下，系统a有效的概率。八、设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知此中1产品是由甲厂生2产的，乙、丙两厂的产品各占1，已知甲、乙两厂产品的2%是次品，丙厂产品的4%是次4品。试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率；（2）任取一件是次品的概率；（3）任取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。九、设某工厂实质上有96%的产品为正品，使用某种简单方法查收，以98%的概率把原来为正品的产品判为正品，而以5%的概率把原来是次品的产品判为正品。试求经简单验3收法被以为是正品确实是正品的概率。十、对过去数据进行分析表示，当机器开动调整优秀时，产品的合格率为90%，而当机器不优秀时，其产品的合格率为30%；机器开动时，机器调整优秀的概率为75%。试求某日首件产品是合格品时，机器调整优秀的概率。十一、两批产品同样多，一批全部合格，另一批混有1的次品，从任一批中取一产品4检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。十二、由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比率分别为20%和18%，且已知甲下雨时，乙也下雨的概率为60%。试求甲、乙最罕有一地出现雨天的概率。十三、一批部件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个部件，拿出部件不再放回去，求第三次才获得正品的概率。十四、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1、1、1。问能将此534密码译出的概率是多少？十五、已知某工厂生产某种产品的次品率为0.01，假如该厂以每10个产品为一包销售，并许诺若发现包内多于一个次品即可退货，问卖出的产品被退回的概率？若以20个产品为一包销售，并许诺多于2个次品即可退货，问卖出的产品被退回的概率。十六、设有20台同类设施由一人负责维修，并假设各台设施发生故障的概率为0.01，且各台设施能否发生故障相互相互独立，试求设施发生故障而不可以实时维修的概率，若由3人共同维修80台设施状况又怎样？npk(1p)nkk十七、用近似计算公式ek0,1,2,,n计算上边第十六题。kk!十八、某保险企业发现索赔要求中有15%是因被盗而提出的，此刻知道1998年中该公司共收到20个索赔要求，试求此中包括5个或5个以上被盗索赔的概率。十九、设随机变量X的密度函数为f(x)Acosx,x20,2其余求（1）系数A；（2）P0X；（3）求X的散布函数。4二十、一种电子管的使用寿命为X小时，其密度函数为100,x100f(x)x20,x100设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管破坏与否相互独立的），试求1）使用150小时内没有一个电子管破坏的概率；2）使用150小时内只有一个电子管破坏的概率。二十一、设随机变量X的密度函数为4k3x2kx,x0f(x)e2(k＞0）,x0求X的概率散布函数F(x)。二十二、设连续型随机变量X的散布函数x2F(x)abe2,x00,x0求：（1）常数a,b;2）P｛－1≤X≤1｝；3）X的散布密度f(x)二十三、设k在［0，5］上遵照平均散布，求方程4x24xkk20有实根的概率。二十四、设X遵照参数0.015的指数散布（1）求P｛X＞100｝；（2）假如要使P｛X＞x｝＜0.1，问x应在哪个范围？二十五、设丈量某地到某一目标的距离时带有随机偏差X，已知X～N（20，600），（1）求丈量偏差的绝对值不超出30的概率；（2）假如接连三次丈量，各次丈量相互独立，求至罕有一次偏差绝对值不超出30的概率。二十六、设随机变量X的散布列为X101252P11133510101010求（1）Y=－2X的散布列；（2）Y=X2的散布列。二十七、若随机变量X～N（0，1），求Y=X2的散布密度。二十八、若随机变量X的密度为f(x)1ex,（－∞，+∞），求Y=︱X︱的概率密2度。二十九、设二维随机变量（X，Y）的散布列为Y0123X11111862462111116124812311111612481251）求对于X和对于Y的边沿散布列；2）判断X与Y能否独立；3）求P｛X+Y＜3}；4）求E(XY）。三十、设随机变量X的散布列为X1012P11112666且Y=X2－1求（1）Y的散布列；（2）（X，Y）的结合散布列；（3）判断X与Y能否独立。三十一、设随机变量X与Y独立，且X在［0，0.2］上遵照平均散布，Y的散布密度为fY(y)5e5y,y00,y0求（X，Y）的散布密度及P｛Y≥X｝。三十二、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)xy,0x1,0y1,其余1）求P｛X+Y≤1｝；（2）问X与Y能否相互独立？3）求E（X+Y）和D（X+Y）。三十三、设二维连续随机变量（X，Y）的密度函数为Axy2,0x2,0y1f(x,y)其余0,求（1）常数A；（2）对于X的边沿散布密度fX(x);（3）对于Y的边沿散布密度fY(y);（4）EX。三十四、设X的散布列为X－202P0.40.30.3求：EX，EX2，DX，D（3X2+5）。三十五、设（X，Y）的散布密度为f(x,y)1(xy),0x2,0y280,其余求(X,Y)。6北京邮电大学高等函授教育、远程教育《工程数学》综合练习解答通讯工程、计算机科学与技术专业（本科）《概率论与随机过程》部分一、1.ABC;2.ABC;3.ABCABCABCABC4.ABCABCABCABC二、填空：21．（1）0.2,(2);2．10.453．P（A）+P（B）－P（AB），1－P（A）；4．1(1p1)(1p2)(1p3),1p1p2p3；5．C53(0.3)3(0.7)2(或0.135),C54(0.3)4(0.7)1C55(0.3)5(或0.0280.002)；．Ckk(0.6)6k,k0,1,2,,6,C3(0.4)3(0.6)3或864；66(0.4)63125x1(t1)27．1，4，e8dt,x2；28．0.7612;9．1；10．3；11．1ln3；12．1；213．2；14．2,1；15．2，0。99三、单项选择题1．C2．B3．B4．C5．D6．D四、解：设A1、A2表示第一、二次拿出的为合格品7P拒收P接收1P接收1P(A1A2)1P(A1)P(A2)122533953P三批中最罕有一批被接收1P三批全拒收60417299五、解：（1）N88883512,NA35532252P(A)NA2250.44N512（2）N876A83336,NA35433A51A3118022P(A)NA1800.5433653或2130P(A)80.54563六、解：令A恰有n个盒子各有一球NNNNNnnNANn!nNn!n所以P(A)Nn七、解：令A系统a有效B系统b有效8P(A)0.92P(B)0.93P(BA)0.85(1)P(AB)P(A)P(B)P(AB)此中P(AB)P(BBA)P(B)P(BA)P(B)P(A)P(BA)0.93(10.92)0.850.862所以P(AB)0.920.930.8620.988(2)P(AB)P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)P(B)1P(B)1P(B)0.920.8620.82910.93八、解：设A1、A2、A3分别为甲、乙、丙的产品，B表示产品是次品，明显P(A1)11,P(A2)P(A3)42P(BA1)P(BA2)2%P(BA3)4%由乘法公式P(A1B)11%23(2)由全概率公式P(B)P(BAi)P(Ai)i1114%12%2%0.0252441P(BA1)P(A1)2%（3）由Bayes公式P(A1B)20.430.025P(BAi)P(Ai)i1九、解：设A表示原为正品P(A)=96%P(A)=4%设B表示简单查收法以为是正品P(BA)=98%P(BA)=5%所求概率为P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(B)P(BA)P(A)P(BA)P(A)0.960.980.9980.980.960.050.04十、解：设A=｛机器调整优秀｝B=｛合格品｝P(A)=75%P(A)=25%P(BA)=90%P(BA)=30%9所以P(AB)=P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)75%90%90%75%90%25%30%十一、解：设A1、A2分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B为第一次拿出的合格品，明显有P(A1)P(A2)13,P(BA1),P(BA2)1由Bayes公式24P(A1B)P(A1)P(BA1)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)1332413117242设C表示第二次拿出次品的事件313P(C)4287十二、解：设A=｛甲出现雨天｝，B=｛乙出现雨天｝由题意可知P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(BA)=0.6所求概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+(B)－P(A)P(B︱A)=0.2+0.18－0.2×0.6=0.26十三、解：令Ai第i次拿出为正品i1,2,3,所求概率为P(A1A2A3)P(A1A2)P(A3A1A2)P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)10990100990.008498十四、解：设Ai第i人能译出i1,2,3A=｛密码被译出｝则AA1A2A3P(A)P(A1A2A3)1P(A1A2A3)4231P(A1)P(A2)P(A3)130.654十五、解：设X表示卖出的一包产品中的次品数（1）X～B（10，0.01）于是P｛卖出的一包被退回｝=P{X＞1｝=1－P｛X≤1｝=1－P｛X=0｝－P｛X=1｝100(0.01)0101(0.01)1(0.99)90.004=1C10(0.99）C102）X～B（20，0.01）P｛卖出的一包被退回｝=P｛＞｝－P｛X≤｝X2=12=1－P｛X=0｝－P｛X=1｝－P｛X=2｝00201(0.01)1(0.99)192(0.01)2(0.99)180.001=1C20(0.01)(0.99）C20C20十六、解：先研究一人负责维修20台设施的状况。在某一时辰设施发生故障的状况可视为在此时辰对20台设施逐一进行检查，每次检查只有两个可能结果；设施发生故障或设施正常工作，所以可视为一个n(n20)重贝努利试验。若令X表示某时辰设施发生故障的台数，则X～B（20，0.01）.由题意知，当发生故障的台数超出维修工作人数，即超出1时，将发生不可以实时维修的现象，所以，所求事件概率为P｛X＞｝1=1－P｛X≤1｝=1－P｛X=0｝－P｛X=1｝=1－(0.99)2020(0.99)190.011=0.017对于3人共同维修80台设施的状况，可近似于上边的讨论，此时X～B（80，0.01），并且发生故障不可以实时维修的概率为P｛X＞3｝=13PXkk0=380k(0.99)80k1(0.01)k0k=0.008十七、解：一人维修20台的状况：n20,p0.001,np0.2｛≥2｝0.2ke0.2PXk0k!查附表2得｛X≥2｝≈0.01753人维修80台的状况：n80,p0.01,np0.811P｛X≥4｝0.8ke0.8k0k!=0.00905十八、解：令X表示20个索赔中被盗索赔的个数X～B（20，15%）所求概率为P｛X≥5｝=1－P｛X＜5}=1－443k3(200.153)PXk1ek0k0k!(查表)=1－［0.049787+0.149361+0.224042+0.224042+0.168031］=1－0.815263=0.184737十九、解：（1）1=f(x)dx2Acosxdx2A2cosxdx20=2Asinx02=2A,A=12f(x)1cosx,2x故220,其余（2）P0X41cosxdx=1sinx41sin240220244（3）当x＜时,F(x)02当≤x＜时，22F(x)xx1cosudux1(sinx1）f(u)du1sinu22222当x＞时，F(x)120,x12总之F(x)x(sinx1),2221,x2二十、解：令p表示一个电子管使用寿命不超出150小时（即150小时内破坏）的概率，于是12p=P｛X≤150｝=1501002dx100

1501

1001100xx

1001503若Y表示150小时内破坏电子管的数量，则Y～B3,1303于是（1）P｛=0｝=0128;YC3332712（2）｛=1｝=112124PYC333279二十一、解：当x＜0时F(x)xf(u)du0当x≥0时F(x)xf(u)duxk3x2ekxdx02k3x2ekx2xekx2ekx2kk2k31k2x22kx2ekx2k2x22kx2kx,x0所以F(x)12e0,x0二十二、解：（1）由1=limF(x),得a1x由F(x)在x0处连续,F(0)abF(0)0以及a1,得b1,于是x2F(x)1e2x00x0

23k1（2）P｛－1≤X≤1｝=F（1）－F（－1）=1-e20.3935x2（3）f(x)F(x)xe2x00x0二十三、解：有实根是当b24ac0即(4k)244(k2)013即16k216k320即k2k20k20或k20即k2或k1k10k10fk(x)1,0x550,其余于是P有实根Pk2或k1Pk2Pk151dx10dx3255二十四、解：依题意X的密度函数为f(x)0.015e0.015x,x00,x0（1）P｛X＞0｝f(x)dx1000.015e0.015xdx100e0.015x100e1.50.223（2）假如要使P｛X＞x｝＜0.1即xf(x)dxx0.015e0.015udue0.015uxe0.015x0.1即－0.015x＜ln0.1即x＞ln0.10.015二十五、解：（）P︱X︱≤30｝=P－≤x≤30｝=302030201{{304040(0.25)(1.25)0.59870.874410.4931（2）令Y表示三次丈量绝对值偏差不超出30的次数则Y～B（3，0.4931）所以P{Y≥1｝=1－P{Y＜1}=1－P{Y=0｝=1－（0.4931）3≈0.88二十六、解：（1）因为X101252Y=－2X20245P11133510101010所以Y=－2X的散布列为Y=－2X5420214P33111101010105（2）因为X101252=2101425YX4P11133510101010所以Y=X2的散布列为Y=X2014254P1333101010101x2二十七、解：因为f(x)e2,(,)2当y0时F(y)PYyPX2yP()0当y时Fy)PYyPX2yPyXy0(y1x2dx1x2dxyy220所以2f(y)F(y)2

2ye2,y000,y0x1e2所以f(y)2y0

,y0,y0二十八、解：Y=︱X︱的取值为yx≥0所以当y0时F(y)PYy0当y0时F(y)PYyPxyPyXyy1exdx01exdx+y1exdxy2y202=1－e

y15所以F(y)0,y00,y0,则f(y)F(y)ey,y01ey,y0二十九、解：（1）对于X、Y的边沿散布列分别为X012Y0123111P1111P44431232（2）经考证：对全部i,j有pijpipj所以X与Y相互独立。（3）PXY311111113862416121624（4）E(X)3,E(Y)342又X与Y相互独立E(XY)E(X)E(Y)339428三十、解：（1）Y的散布列为Y－103P121636（2）PXxi,YyjPXxiPYyjXxiPX1,Y10PX1,Y10PX1,Y01PX1,Y0126PX1,Y30PX1,Y30PX0,Y11PX2,Y106PX0,Y00PX2,Y00PX0,Y30PX2,Y316(X,Y)的散布列为Y103X-1010210006116201