高中数学2-1学案：3.1.3 空间向量基本定理-3.1.4 空间向量的坐标表示1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3．1。3空间向量基本定理3．1。4空间向量的坐标表示[学习目标］1。了解空间向量基本定理及其意义。2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算．知识点一空间向量基本定理（1)定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3。(2）基底与基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示．我们把｛e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(3）正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底,通常用｛i,j，k}表示．（4）推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z），使得eq\o（OP，\s\up6（→)）＝xeq\o(OA，\s\up6（→))＋yeq\o(OB，\s\up6(→)）＋zeq\o(OC,\s\up6（→)）.知识点二空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别为x，y,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a，若有a＝xi＋yj＋zk，则有序实数组(x，y，z）叫向量a在空间直角坐标系中的坐标．特别地，若A(x，y，z），则向量eq\o（OA,\s\up6(→））的坐标为(x，y，z）．知识点三坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2,a3＋b3)；a－b＝（a1－b1,a2－b2，a3－b3）；λa＝（λa1，λa2,λa3)（λ∈R)．a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R）．思考(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同?（2)已知a＝(a1，a2，a3），b＝(b1,b2，b3），a∥b，且b1b2b3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论?答案(1）空间向量的坐标运算多3个竖坐标．（2）a∥b⇔eq\f(a1，b1)＝eq\f(a2,b2）＝eq\f（a3，b3).题型一空间向量的基底例1已知｛e1，e2，e3}是空间的一个基底,且eq\o（OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3,eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC，\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断｛eq\o（OA，\s\up6(→）），eq\o(OB,\s\up6（→))，eq\o（OC,\s\up6（→)）}能否作为空间的一个基底．解假设eq\o（OA,\s\up6（→)),eq\o（OB，\s\up6（→)),eq\o(OC,\s\up6（→））共面．则存在实λ，μ使得eq\o(OA,\s\up6（→)）＝λeq\o(OB，\s\up6（→））＋μeq\o（OC,\s\up6(→)),∴e1＋2e2－e3＝λ（－3e1＋e2＋2e3）＋μ(e1＋e2－e3)＝（－3λ＋μ）e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ）e3，∵e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，，λ＋μ＝2,,2λ－μ＝－1）)此方程组无解，∴eq\o(OA，\s\up6(→)），eq\o（OB，\s\up6（→）)，eq\o(OC,\s\up6（→))不共面,∴{eq\o（OA，\s\up6(→))，eq\o（OB，\s\up6（→）），eq\o(OC,\s\up6(→）)｝可以作为空间的一个基底．反思与感悟空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．跟踪训练1已知点O，A，B，C为空间不共面的四点,且向量a＝eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\o（OB，\s\up6(→))＋eq\o(OC，\s\up6（→）），向量b＝eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o(OB，\s\up6（→））－eq\o(OC，\s\up6（→）），则与a，b不能构成空间基底的向量是________．(填序号)①eq\o（OA，\s\up6（→)） ②eq\o(OB,\s\up6(→)）③eq\o(OC,\s\up6(→）） ④eq\o（OA,\s\up6（→））或eq\o（OB,\s\up6(→))答案③解析∵eq\o（OC,\s\up6（→）)＝eq\f(1，2）a－eq\f(1，2）b且a,b不共线，∴a，b,eq\o(OC，\s\up6（→))共面，∴eq\o（OC，\s\up6(→））与a，b不能构成一组空间基底．题型二用基底表示向量例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC,设eq\o(OA,\s\up6（→))＝a,eq\o（OC，\s\up6(→））＝b，eq\o（OP,\s\up6（→)）＝c，E,F分别是PC和PB的中点，试用a,b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→)),eq\o(BE,\s\up6(→）），eq\o(AE，\s\up6（→）），eq\o（EF,\s\up6(→)).解连结BO，则eq\o（BF，\s\up6(→））＝eq\f(1,2）eq\o(BP，\s\up6(→)）＝eq\f(1,2)（eq\o（BO,\s\up6(→))＋eq\o（OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1，2）（c－b－a）＝－eq\f(1，2）a－eq\f（1，2)b＋eq\f（1,2)c.eq\o(BE,\s\up6（→））＝eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\o（CE,\s\up6（→)）＝－a＋eq\f(1，2)eq\o（CP，\s\up6（→))＝－a＋eq\f（1，2)(eq\o（CO，\s\up6（→))＋eq\o(OP,\s\up6（→)）)＝－a－eq\f（1,2)b＋eq\f（1,2)c.eq\o（AE,\s\up6（→））＝eq\o(AP，\s\up6(→))＋eq\o（PE，\s\up6（→））＝eq\o(AO，\s\up6(→）)＋eq\o(OP,\s\up6(→）)＋eq\f（1,2）（eq\o（PO，\s\up6（→))＋eq\o（OC，\s\up6（→）)）＝－a＋c＋eq\f（1,2)（－c＋b）＝－a＋eq\f(1,2）b＋eq\f（1,2）c。eq\o（EF，\s\up6（→））＝eq\f（1，2）eq\o（CB，\s\up6(→))＝eq\f（1，2)eq\o（OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2）a。反思与感悟（1）空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示,只要基底选定,这一向量用基底表达的形式是惟一的；（2）用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．跟踪训练2如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1,设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o（AD，\s\up6（→）)＝b，eq\o（AA1，\s\up6（→））＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b,c}表示以下向量：(1）eq\o(AP,\s\up6(→））;(2)eq\o（AM,\s\up6（→））。解如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中连结AC，AD1，（1）eq\o（AP，\s\up6(→））＝eq\f(1,2）（eq\o（AC，\s\up6(→）)＋eq\o(AA1,\s\up6（→）))＝eq\f(1，2)（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1，\s\up6（→）））＝eq\f（1,2）（a＋b＋c）．(2)eq\o（AM，\s\up6(→)）＝eq\f(1，2)（eq\o（AC，\s\up6(→）)＋eq\o(AD1，\s\up6（→）)）＝eq\f(1，2）(eq\o(AB，\s\up6（→)）＋2eq\o（AD，\s\up6（→))＋eq\o（AA1,\s\up6（→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.题型三空间向量的坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系,求向量eq\o（MN，\s\up6（→））的坐标．解以AD,AB,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M（0,eq\f（1,2)，0），N(eq\f(1，2），eq\f(1，2),eq\f(1，2））．∴eq\o（MN，\s\up6（→)）＝(eq\f（1，2），0，eq\f（1,2））．反思与感悟建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．跟踪训练3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量eq\o（MN,\s\up6（→)）、eq\o（DC,\s\up6（→)）的坐标．解如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设eq\o（DA，\s\up6（→））＝e1，eq\o（AB，\s\up6（→）)＝e2,eq\o（AP，\s\up6(→)）＝e3。以｛e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz.因为eq\o(MN，\s\up6（→）)＝eq\o（MA，\s\up6(→))＋eq\o（AP，\s\up6(→））＋eq\o(PN，\s\up6（→）)＝eq\o（MA,\s\up6（→））＋eq\o（AP,\s\up6(→)）＋eq\f(1,2)eq\o（PC，\s\up6（→）)＝eq\o(MA，\s\up6（→））＋eq\o(AP,\s\up6(→）)＋eq\f（1,2)（eq\o(PA,\s\up6（→）)＋eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o(DC，\s\up6(→)）)＝－eq\f（1，2)e2＋e3＋eq\f（1，2)(－e3－e1＋e2)＝－eq\f（1,2)e1＋eq\f（1，2）e3，所以eq\o(MN,\s\up6（→）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1，2））），eq\o（DC,\s\up6(→)）＝（0,1，0)．1．已知A(2，3－μ，－1＋v）关于x轴的对称点是A′（λ，7,－6)，则λ，μ，v的值分别为________．答案2,10，7解析∵A与A′关于x轴对称,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝2，,3－μ＝－7，,－1＋v＝6,)）⇒eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝2，，μ＝10,，v＝7。))2．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量是________．(填序号）①(2,0，－4） ②(3，6，－12）③（1,1,－2） ④（0，eq\f（1，2），－1)答案④解析∵（0,eq\f(1，2），－1）＝eq\f（1,2）m，∴与m共线的向量是(0，eq\f(1，2)，－1)．3．已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是________．（填序号）①2a; ②－b; ③c； ④a＋c。答案③④解析∵p＝2a－b，q＝a＋b，∴p与q共面，a、b共面．而c与a、b不共面,∴c与p、q可以构成另一个基底，同理a＋c与p、q也可构成一组基底．4.如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.eq\o（AM，\s\up6（→）)＝________，eq\o（OB1，\s\up6(→))＝________。答案（－2,0,1）(1，1,2）解析∵A（2，0，0)，M（0,0,1),O(1,1,0）,B1（2，2,2）,∴eq\o(AM,\s\up6（→）)＝(0,0，1）－(2,0，0）＝(－2，0,1),eq\o(OB1，\s\up6(→)）＝（1，1,2）．5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设eq\o(OA，\s\up6（→））＝a，eq\o(OB，\s\up6(→)）＝b,eq\o（OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OD，\s\up6（→)）用a，b，c表示为________．答案eq\f(1，2）a－eq\f(1，2）b＋c解析∵eq\o(AB，\s\up6（→))＝－2eq\o（CD，\s\up6(→）),∴eq\o(OB,\s\up6(→)）－eq\o（OA,\s\up6（→)）＝－2（eq\o（O