梁弯曲时的变形演示文稿

梁弯曲时的变形演示文稿目前一页\总数七十四页\编于二点梁弯曲时的变形目前二页\总数七十四页\编于二点1概述(挠度和转角)应力变形强度要求刚度要求

荷载

主轴变形对加工精度的影响变形的利用：汽车的钢板弹簧目前三页\总数七十四页\编于二点●竖向位移挠曲线竖向位移CC'→挠度●转角挠度与转角之间的关系

xB'xF

梁变形的两个位移度量C'BACw

wC目前四页\总数七十四页\编于二点

挠度与转角的正负号规定：

挠度：

向下为正，反之为负

转角：

顺时针为正，反之为负→如何求挠曲线的方程式

？

目前五页\总数七十四页\编于二点2梁的挠曲线的近似微分方程

纯弯曲：非纯弯曲：梁挠曲线的近似微分方程

1

略去了剪力的影响

2

略去了变形高次方

目前六页\总数七十四页\编于二点wxM>0目前七页\总数七十四页\编于二点wxM<0目前八页\总数七十四页\编于二点3积分法计算梁的位移积分法

式中，C、D为积分常数，可由梁的某些截面的已知变形条件来确定，如：目前九页\总数七十四页\编于二点边界条件

BAAB连续条件光滑条件铰支座PABC铰连接PDCAwx连续但不光滑目前十页\总数七十四页\编于二点

例1

图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲刚度EIz为常数。试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转角A、

B。解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为：FRAFRBxwBqlAxAB目前十一页\总数七十四页\编于二点挠曲线的近似微分方程为：积分得：

梁的边界条件为：xwBqlAx目前十二页\总数七十四页\编于二点转角方程式和挠度方程式分别为：xwBqlAx目前十三页\总数七十四页\编于二点

例2

用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。边界条件：变形光滑条件：

B、C、D：变形连续条件：

弯矩方程的分界点EIABqCEDFl/2l/2l/2l/2目前十四页\总数七十四页\编于二点

静定(组合)梁如图所示，试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。AlxwCBqaCBlqaAxw目前十五页\总数七十四页\编于二点例3

图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCba目前十六页\总数七十四页\编于二点解：利用平衡方程求两个支反力：显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分：wxFRAFRBAPBLCba目前十七页\总数七十四页\编于二点AC段CB段目前十八页\总数七十四页\编于二点边界条件：支承条件连续条件光滑条件wxAPBLCba目前十九页\总数七十四页\编于二点利用边界条件解得：目前二十页\总数七十四页\编于二点最大转度从AB，（顺时针）（逆时针）（绝对值）最大挠度wmaxw(x0)为极值APBLCbawx目前二十一页\总数七十四页\编于二点讨论：

结论：对于简支梁而言，无论集中力P作用在何处，用w(l/2)代替wmax，最大误差为2.65%。APBLCbawx目前二十二页\总数七十四页\编于二点

例4

用积分法求图示外伸梁自由端C的截面转角和挠度，其中Me=ql2/16。

解：取图示的坐标系，求支座反力得：ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB目前二十三页\总数七十四页\编于二点边界(A、C点)条件：ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB目前二十四页\总数七十四页\编于二点弯矩方程：

梁挠曲线的近似微分方程

边界条件：连续性条件：ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB目前二十五页\总数七十四页\编于二点解得：

将积分常数回代得：

自由端C的截面转角和挠度：

ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB目前二十六页\总数七十四页\编于二点4叠加法计算梁的位移

●积分法Me单独作用

q单独作用

qCBAEIll/2MexwqCBAEIll/2xwCBAEIll/2Mexw目前二十七页\总数七十四页\编于二点线性关系

叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在该截面处的转角（或挠度）的总和。

适用条件：1小变形2材料处于弹性阶段且服从胡克定律但是有一点需要说明：qCBAEIll/2Mexw目前二十八页\总数七十四页\编于二点

线弹性，位移可以叠加Δ1F1F1+F2Δ1+2F2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1为什么线性关系可以叠加？目前二十九页\总数七十四页\编于二点FΔOFΔOFΔO

非线性弹性，位移不可以叠加F1Δ1F2Δ2F1+F2ΔΔ2目前三十页\总数七十四页\编于二点表7(4)-1转角(rad)

挠度(m)

q(N/m)

F(N)

M(N.m)

简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来的

，最大挠度变为原来的

。EIz称为抗弯刚度目前三十一页\总数七十四页\编于二点BqAFFBABqA目前三十二页\总数七十四页\编于二点试用叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度wB。F1

ABw1w2F1

AF=16kNBll/2CAF=16kNBCwC目前三十三页\总数七十四页\编于二点例试用叠加法求图示悬臂梁自由端B处的挠度。

q

A

B

xdx

w

x

l

q.dx表7(4)-1(2)表7(4)-1(3)目前三十四页\总数七十四页\编于二点

例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求C截面的挠度和截面转角A。qBAEIll/2C目前三十五页\总数七十四页\编于二点qBAEIll/2CqBAEIll/2CqBAEIll/2CqBAEIll/2C目前三十六页\总数七十四页\编于二点表7(4)-1分析：

分析C点：qBAEIll/2CCBAq/2EIlABCEIlq/2q/2目前三十七页\总数七十四页\编于二点

★结论（规律）：

(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。

(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；FQ图M图CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2目前三十八页\总数七十四页\编于二点表7(4)-1q/2AM

FQ跨度为l/2的简支梁ABCEIlq/2q/2目前三十九页\总数七十四页\编于二点

例5：外伸梁受图示荷载作用，试用叠加法求外伸端C截面的挠度。BAEIlaFC目前四十页\总数七十四页\编于二点分析：

表7(4)-1

⑵表7(4)-1

⑺请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？BAEIlaFCFEIABCFEIABCFFAEIBCC1wC1wC2悬臂梁简支梁CEIABC2FM

目前四十一页\总数七十四页\编于二点例6：FEI2EIABCll目前四十二页\总数七十四页\编于二点C2wFwBeFFCF′wCBAB'C1表7(4)-1表7(4)-1MFEI2EIABCll目前四十三页\总数七十四页\编于二点例题：已知F，E，G，求C点铅垂位移AFBC尺寸：l,d尺寸：a,b,h分析：

AB——弯曲+扭转变形，BC——弯曲变形故C点的挠度由三部分组成——AB弯曲引起的B点下沉＋AB扭转引起C点位移＋BC弯曲引起C点下沉目前四十四页\总数七十四页\编于二点解：采用逐段刚化法(1)将AB刚化，计算BC弯曲变形引起的C点的挠度。FB(固定端)C尺寸：a,b,h目前四十五页\总数七十四页\编于二点(2)将BC刚化,即去掉BC，但保留BC对AB的作用力，计算AB弯曲引起的C点的挠度FAB尺寸：l,dMx目前四十六页\总数七十四页\编于二点(3)将BC刚化计算AB扭转变形引起的C点的挠度计算B截面扭转角所以，C点位移为：BCFAB尺寸：l,dMx目前四十七页\总数七十四页\编于二点qDBAEIll3ql2xw2qlCl根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。FQ图M图目前四十八页\总数七十四页\编于二点5梁的刚度计算一、梁的刚度条件：目前四十九页\总数七十四页\编于二点起重机大梁、吊车梁：发动机曲轴、凸轮轴：普通机床主轴、一般的轴：强度与刚度目前五十页\总数七十四页\编于二点BACP1P2D

例7：车床主轴如图所示，已知工作时的径向力P1=2000N，齿轮啮合处的径向力P2=1000N；主轴的外径D=8cm，内径d=4cm；l=40cm，a=20cm，C处的许用挠度[y]=0.0001l，轴承B处的许用转角

[]=0.001rad。试校核其刚度。目前五十一页\总数七十四页\编于二点将主轴简化为如图b所示的外伸梁，横截面的惯性矩为(1)计算变形

由表7-1查出，因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角为：yCP1BACP1BACP1P2D目前五十二页\总数七十四页\编于二点

由表7-1查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角为：P2yCP2BACD目前五十三页\总数七十四页\编于二点

则C处的总挠度为：

则B处的总转角为：目前五十四页\总数七十四页\编于二点主轴的许用挠度和许用转角为：故主轴满足刚度条件(2)校核刚度

目前五十五页\总数七十四页\编于二点二、提高承载能力的措施1减小梁的跨度2选择合理截面形状3改善梁的受力和支座位置4预加反弯度FF（增加支座）目前五十六页\总数七十四页\编于二点大自然中的悬臂梁

独根草，多年生草本植物，具粗壮的根状茎，生长在山谷和悬崖石缝处，为中国特有属。B'BAF

目前五十七页\总数七十四页\编于二点拱预应力梁目前五十八页\总数七十四页\编于二点6梁内的弯曲应变能MeMeAOMeMel纯弯曲横力弯曲目前五十九页\总数七十四页\编于二点

例计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度wB，已知梁的弯曲刚度为EI。

解：1弯矩方程2

弯曲应变能3

计算B点的挠度FwB目前六十页\总数七十四页\编于二点7简单超静定梁

未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为超静定梁(静不定梁)概念AFAyFAxFBMAFAzFAx目前六十一页\总数七十四页\编于二点讨论：?F1

AF=16kNBll/2C目前六十二页\总数七十四页\编于二点F1

AF=16kNBll/2C实质：存在多余约束多余约束的作用增加了未知力个数增加对变形的限制使问题变为不可解使问题变为可解。wB=0目前六十三页\总数七十四页\编于二点FAyFAxwB=0相当系统MAF1

AF=16kNBll/2C1

解除多余约束(代之以约束反力)；2

补充方程；3

与平衡方程联立求解。变形协调条件物理方程解题步骤目前六十四页\总数七十四页\编于二点EFCFBAAl/2BECFFFC′FC力法目前六十五页\总数七十四页\编于二点确定超静定次数，用反力代替多余约束得新结构——

静定基AF=16kNBll/2CwB=0F1

AF=16kNBll/2CA=0BlAF=16kNl/2CMA静定基1静定基2目前六十六页\总数七十四页\编于二点思考题1.弯矩和剪力分别由什么应力组成?2.研究梁的正应力的基本思路是什么？3.什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中性轴必通过横截面的形心。4.什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对吗？为什么？目前六十七页\总数七十四页\编于二点5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围可否推广到一般梁？6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。8、由直径为D的圆木切割出一矩形梁，求出使梁的强度最大的高宽比。目前六十八页\总数七十四页\编于二点简支梁跨中受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用转角方程和挠度方程总是连续的××××(5)梁的最大挠度必产生于最大弯矩处。(4)弯矩突变的截面处转角也突变；(3)弯矩为零处，挠曲线曲率必为零；

(2)弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面转角为零；√(1)正弯矩产生正转角，负弯矩产生负转角；9试判断目前六十九页\总数七十四页\编于二点

10应用叠加原理的条件是什么？⑴小变形⑵材料处于弹性阶段且服从胡克定律

11两悬臂梁，其横截面和材料相同，