第12讲函数的概念和图象（原卷版）

第12讲函数的概念和图象【学习目标】1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.4.会判断两个函数是否为同一函数.5.能正确使用区间表示数集.6.会求一些简单函数的值域.【基础知识】知识点一函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．【解读】(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B.(3)在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”．知识点二函数的三要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．知识点三同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．知识点四描点法作函数图象的三个步骤(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来．(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．知识点五常见函数的值域(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).【考点剖析】考点一：函数的概念及其构成要素例1．判断下列对应是否为函数.（1），；（2），；（3），其中，，；（4），其中，，；（5），其中，，；（6），其中y为不大于x的最大整数，，.考点二：给出解析式求函数的定义域例2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．考点三：同一函数的判断例3．（多选题）下列选项中能表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．， D．，考点四：抽象函数求定义域例4．求下列函数的定义域：(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.考点五：给出函数定义域求参数范围例5．已知函数的定义域为，求实数的取值范围.考点六：函数值例6．已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求的值；(3)当时，求，的值．考点七：求函数的值域例7．求值域(用区间表示)：(1)，①；②；(2)；(3).考点八：函数的作图例8．画出函数的图象，并根据图象回答下列问题.(1)比较，，的大小；(2)若，比较与的大小；(3)求函数的值域.【真题演练】1．函数的定义域为（

）A．且 B．C．且 D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．已知，且，则（

）A． B．10 C．9 D．114．若函数的定义域为R，则a的范围是（

）A． B．C． D．5．函数的定义域是______.6．如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.8．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域：(1)；(2)；(3)；(4).【过关检测】一、单选题1．已知函数，则（

）A． B． C． D．2．函数的定义域为（

）．A． B．C． D．3．函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．与函数表示同一函数是（

）A． B． C． D．5．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．6．下列各组函数的图象相同的是（

）A． B．

C． D．7．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．9．函数与轴的交点个数为（

）A．至少1个 B．至多一个C．有且只有一个 D．与有关，不能确定二、多选题10．[多选题]下列四个图形中，可能是函数的图象的是（

）A． B．C． D．11．若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．512．[多选题]下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的是（

）A．，，f：A中的数的平方B．，，f：A中的数的开平方C．，，f：A中的数的倒数D．，，f：A中的数的2倍三、填空题13．函数的值域为___________．14．已知的定义域为，则的定义域为_____