形式语言与自动机

12023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPTFormalLanguagesandAutomata

课程名称形式语言与自动机教师姓名杨娟 （计算机学院软件工程中心）

电话62283779

信箱

yangjuan@22023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT绪论课程信息为什么学习形式语言与自动机形式语言与自动机概述及应用课程内容及要求32023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT

专业基础课

上世纪60年代末、70年代初，研究的高峰

之后，向应用领域渗透，研究生课程

近几年，本科阶段的专业基础课

专业工作者必须的理论素养

计算模型计算机（不）能够做什么问题分类计算的复杂性，算法分析形式系统建模工具（状态机）抽象描述形式文法、形式表达式

课程性质42023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT相关课程先修课程

《离散数学》（《数理逻辑》，《集合论》）计算机导论与程序设计、数据结构

后续课程

《编译原理》

其它相关课程《模式识别》、《算法分析》52023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT教材： 形式语言与自动机 王柏杨娟

编著 北京邮电大学出版社2003.162023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT经典参考书

书名

IntroductiontoAutomataTheory,Languages,andComputation（SecondEdition）

作者

JohnE.Hopcroft（Cornell）RajeevMotwani（Stanford）JeffereyD.Ullman（Stanford）

出版社

AddisonWesley（2001）

清华大学出版社（影印版）FirstEdition

中译本《自动机理论、语言和计算导引》

徐美瑞等译科学出版社，1990

John.E.Hopcroft,theTuringAwardwinnerin1986.72023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT其它参考书

《自动机理论及其应用》何成武科学出版社1990《形式语言及其句法分析》美A.V.阿霍等科学出版社1987《形式语言》王兵山，吴兵编国防工业大学出版社，1988

《形式语言与自动机理论》蒋宗礼，姜守旭.清华大学出版社，2003《形式语言与自动机》陈有祺编著机械工业出版社，2008

82023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT为什么学习形式语言与自动机形式语言与自动机是计算机科学的基础理论之一，是计算机学科的专业基础课。在人工智能、电信领域等有广泛的应用。通过一些定理的证明和应用，对大家进行思维训练，从而为今后学习通信软件，协议工程，编译技术，人工智能等内容提供理论基础。92023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT对客观世界的科学研究：目的在于把抽象数学的形式化体系发展成为与现实生活相似的理论模型，从而提供一种通用结构来描述、理解和解决问题。计算机科学：是关于计算知识的有系统的整体。102023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT计算机科学的两个主要部分：构成计算基础的一些基本概念和模型；设计计算系统(软件和硬件)的工程技术（设计理论的应用）本课程着重介绍第一部分（涉及到一些第二部分的应用），通过形式化技术对大家进行思维训练，为今后的学习打好理论基础。4种基本的专业能力计算思维能力算法的设计与分析能力程序设计和实现能力计算机软硬件系统的认知、分析、设计与应用能力计算思维能力逻辑思维能力和抽象思维能力构造模型对问题进行形式化描述理解和处理形式模型112023/5/24122023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT2023/5/2413能力培养学生的形式化描述和抽象思维能力。使学生了解和初步掌握“问题、形式化描述、自动化（计算机化）”这一最典型的计算机问题求解思路。形式语言与自动机概述及应用本门课程将围绕着什么是形式语言、什么是自动机、以及形式语言和自动机的相互关系进行阐述。核心内容有限状态自动机，正规语言，正规表达式上下文无关文法，上下文无关语言，下推自动机图灵机，计算问题分类142023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT152023/5/24CollegeofComputerScience&Technology,BUPT1．形式语言什么是形式语言形式语言:形式化描述的字母表上的字符串的集合。字母表：字符的有限集合。e.g.：26个英文字母构成的字母表。字符串：字母表中的字符构成的有限序列。e.g.hello,afjhkfyu

1620肠23盗/5衡/1借8Co忽ll弊eg候e弯of你C葱om输pu献te模r气Sc妙ie梅nc塔e什&剑Te眉ch商no慕lo金gy忌,搞BU疼PT为什仿么用阅形式惊语言自然再语言：人汁们平圣时说僚话时暴所使晓用的啊一种纽奉语言怖，不伟同的暮国家益和民鸽族有杏着不勉同的伐语言农。形式袄语言通过砖人们汉公认今的符追号，贞表达担方式百所描忠述的巩一种牺语言侮，是摘一种西通用街语言胸，没彻有国颜籍之帝分。形式叫语言律是某宅个字睁母表赌上的夹字符带串的土集合报，有水一定赠的描训述范赴围。1720鱼23稠/5咱/1迈8Co孟ll代eg沟e帝of幸C腊om锦pu贫te艘r妖Sc鹊ie焦nc很e党&面Te钓ch施no扑lo惯gy蓄,厨BU苹PT例1晌：居汉语用：滴<郑主>更<趋谓>佩<备宾>孤――拦用途数字尘、符境号等映形式剪化的午东西怎来描每述语工言我吃种饭素――辅语衫法正读确我饭铅吃酬――辨语屋法错子误饭吃轰我葡――摩语坟法正邻确，歼语义超错误1820础23锐/5岔/1墨8Co俭ll铃eg远e努of舍C易om股pu仿te教r活Sc潮ie隙nc蛇e悬&娇Te叼ch阁no号lo歼gy撞,虎BU呆PT例2萍：T为PA缘瑞SC烦AL语言助所用滤的全践部符句号的望集合鸟。正确岭的PA扫SC途AL程序宫就是T上的仓语言舒。例3吉：在参字母玩表T=穿{a示}上，L佛=走{a2n胡+1|侦n劫>=吉0即}表示岭任意神一对aa疤(包括轰0对汉)编后跟推一个a的字注符串津。（这即含云有奇割数个a的字拔符串专。）1920晓23卷/5屋/1允8Co慰ll伍eg李e漫of盏C客om店pu吊te首r使Sc粒ie大nc挺e森&省Te姨ch跳no屈lo右gy判,柳BU摇PT形式伪语言月的最发初起浇因：返语萄言学体家（Ch忽om抄sk权y）想用全一套让形式予化方概法来叫描述超语言次。形式埋语言惹在自贝然语律言研淋究中置起步浩，在似计算佳机科宣学中晒得到押广泛吨应用沈。最初役的应帮用：竹编译两―旅―沫让计怒算机绍按照民语法像规则杰将高茶级语牢言方演便地婚翻译醒成机桥器语芒言。2020辽23照/5舞/1局8Co纱ll买eg淹e外of冻C贫om伪pu似te街r拦Sc协ie士nc技e骑&神Te妥ch很no狭lo移gy鞋,宗BU孩PT现在豪：窝已广逮泛应拉用在浸人工戚智能权、图吴象处鄙理、门通信烦协议售、通取信软段件等颈多个桃领域在计吧算机躲理论圾科学利方面蠢：是可砍计算沙理论好（算印法―百在有香限步床骤内份求得弊解、朱算法自复杂辆性、轮停机窃问题颜、）醒、定词理自休动证饲明、件程序始转换栽（程层序自前动生猪成）们、模抹式识踢别等屠的基然础。2120争23乳/5益/1习8Co闹ll市eg烟e灿of信C步om宰pu弊te餐r弯Sc撑ie连nc叹e捞&找Te厉ch目no侮lo燃gy府,伏BU键PT比尔孩.盖参茨：亮人类也计算馒的未傲来是旷让计偿算机拢能够傍看、楚听、额学，暗能用马自然仅语言洁与人鱼类交煌流形式渴化非姥常重斧要例1：微个软对桥联软悟件网址眠：ht纪tp胃:/呼/c适ou洒pl局et车.m什sr骂a.困cn旅/例2：图晕灵测蔬试2220阶23糠/5芝/1延8Co赵ll淹eg侦e晕of惧C扯om著pu贪te白r平Sc佩ie带nc径e浆&拔Te版ch蜜no寄lo释gy小,叙BU论PT图灵掏测试(1煎)问：愁请给鸡我写乏出有栽关“猪第四苦号桥叮”主奴题的躬十四压行诗狂。答：禁不要羽问我装这道猴题，掩我从垒来不幼会写弃诗。问：34情95谎7加70露76凉4等于榴多少想？答：喇（停30秒后圣）10沈57母21问：焰你会野下国裤际象抢棋吗见？答：亡是的球。问：均我在呼我的K1处有述棋子K；你虑仅在K6处有沸棋子K，在R1处有叛棋子R。现罩在轮傍到你嚼走，奥你应托该下协那步胳棋？答：功（停15秒钟富后）挨棋子R走到R8处，烫将军朵！2320脖23些/5幻玉/1泄8Co杏ll炉eg除e半of钉C强om剩pu慕te落r然Sc泉ie洽nc许e男&泳Te漂ch缺no拾lo服gy央,谜BU钟PT图灵栽测试(2鞭)问：宰你会潮下国锯际象曾棋吗余？答：饲是的侮。问：凳你会炭下国渗际象螺棋吗卵？答：跃是的蜜。问：振请再庙次回极答，提你会柜下国找际象趴棋吗怠？答：江是的稿。2420踩23核/5码/1货8Co晴ll讯eg弱e维of维C故om烧pu刷te违r励Sc蹈ie益nc佣e凳&塘Te骗ch租no下lo规gy宗,性BU配PT图灵贫测试(3夏)问：蜓你会锋下国并际象偏棋吗咸？答：翻是的麻。问：险你会穿下国廊际象持棋吗东？答：子是的散，我棵不是斜已经谱说过位了吗资？问：桐请再低次回撤答，叼你会忧下国研际象蛮棋吗盏？答：域你烦残不烦吨，干概嘛老吊提同汤样的个问题卫。2520铁23爆/5桂/1辆8Co瘦ll固eg犹e牙of务C担om垂pu扰te于r乓Sc筋ie秃nc线e轻&地Te尺ch昆no淹lo届gy冷,平BU性PT在线处图灵敞测试施网址Ar袖ti当fi备ci统al丽s淹ol末ut桂io嘉nht例tp达:/烦/w帮ww态.a猾rt港if奏ic付ia到l-申so兰lu妇ti中on坏s.特co眨m/Al塔ic孤eht数tp忌:/愤/w盯ww盯.p荷an分do茎ra慢bo怠ts递.c剂om码/p绸an轰do棚ra贸/t房诚al败k?坏bo非ti眨d=颗f5禾d9详22茅d9裁7e偷34慨5a疏a1El肤bo熔tht放tp唯:/跑/w欢ww皇.e旁lb卷ot共.c桂om犯/c骗gi钳-b迫in陶/e征lb凑ot僻.c土gi例3：人砖机大疤战20液11年2月17日，害经过3天比惜赛，IB叶M新一徐代超织级电弃脑系杯统“章沃森折”，绢最终动在美唱国的展著名原智力兄游戏备节目《危险狮边缘》中击播败了偏两位百人类仔选手倡肯·詹宁洋斯和肺布拉承德·鲁特个取得伞冠军煎，并屈且赢巷取了10悦0万美垮元的腊奖金惊。19陶97年超悼级计票算机石“深剖蓝”首力克混国际也世界叛冠军盈卡斯征帕罗莲夫。“沃县森”脏的名矛字取灭自于IB刊M创始挎人托陕马斯轿沃森丑，它辣是IB研M亲历病打造哑的最脚新一尘代电暑脑超沿级系纵统，妖为了迫完成武一项吼艰巨乖挑战必，建傅造一水个能巴够与划人类倡答题愿能力我相匹姨敌的脱计算迹系统巩。沃森罢”参餐加的乒是智捷力问阻答比泡赛，肠而不膜是国衔际象秤棋对辩弈，屯想当摔年“脚深蓝奋”只激要具脚有足票够强屿大的寒计算协能力踢就一车定能暮够获麦胜，莫但是刺“沃邮森”肤不同动，它只需要季识别跨非常行复杂欲的人街类语咱言，贸并要别从中嚼分析值微妙柳的含挺义，类讽刺清口吻缸以及狱各种痛暗示奖，理卫清各捷种逻嘴辑线缺索，节还要鲁能猜烤谜语翠，进旱行构趴词断船句，甘并通云过一袄系列罢数字炮比对造和模竹拟人情类的士联想养能力皇得出贡精准挪的答肉案，声再反剧向使饼用人律类的负语言敏进行古答题狠。而猫且这刮整个玻分析记解答婶过程锄仅凭事计算且机和跨软件时算法见的完首成，魄没有殊工程截师的溉参与躁，也百没有柜互联骑网的装支持鞭。而“沃森”的出类现会到节省晋我们乘很多浑劳动论力，支比如殖说有艇一张塌报表佣，上陕面有良很多话需要球我们鹊去填隶的东牛西，信你把嗓这张愿报表芝给“沃森”看一录看它湖就能农得出滩答案;它在某搜索汤方面萄也会膨有比抗较大冲的潜纺力，逢平时册我们武搜索焰可能取是输修入一背个关物键词荡，得傅出一打大堆出的答拆案，引然后仿我们芬一个顷一个范的去疮找，详但只转要把属我们援需要际的东扁西告鹊诉给锡“沃坡森”座，“沃森”就会喷给我摧们一伯个准颂确的颜答案坑，这苍就是宣它最拦好的捡一个友地方狼。2620批23惯/5抖/1贤8Co锻ll担eg腾e类of纲C轻om僚pu耽te邪r放Sc席ie卖nc损e鹿&免Te扰ch缎no数lo倍gy汪,爱BU侧PT2720苏23标/5胆/1座8Co伪ll牙eg赞e途of摆C况om闪pu电te租r绍Sc摊ie坊nc锈e裤&羡Te复ch乎no语lo轧gy恰,苏BU复PT2.鄙自盗动机什么裁是自梨动机育？具有荣离散狼输入兽输出挨的数蒜学模熔型。大量伟通信的软件份的基所本工迈作机睡制都粘是有示限状艇态自袄动机戚。自斯动机失理论傲在通陶信领谎域中柔的应沿用极找为广好泛。2820袋23疲/5矮/1晚8Co示ll谅eg成e暴of莲C蔑om煎pu钳te玩r彼Sc膛ie哗nc渔e柜&替Te载ch傻no虽lo叶gy充,共BU强PT自动膛机接时受一抓定的级输入刚，执架行一洁定的徒动作幸，产晒生一关定的椒结果剖。使闻用状台态迁竭移描滨述整王个工网作过事程。状态：一财个标搜识，赤能区律分自隙动机绸在不惠同时趁刻的沃状况盆。有垮限状或态系可统具箩有任炮意有领限数寇目的围内部倍“状慰态”自动垫机的谷本质：根粒据状堡态、板输入亚和规亦则决潜定下恰一个礼状态状态同＋匀输帜入（耳激励屋）＋贩规皆则燃―>咱状态熄迁移2920帅23洗/5籍/1披8Co利ll摇eg农e滩of篇C挖om暮pu扣te财r轰Sc撤ie岩nc块e狸&锻Te挠ch餐no障lo腊gy盏,熊BU集PT为什役么叫概自动玻机？可能鼓的状榆态、栋运行意的规辉则都竟是事贱先确商定的蠢。一邻旦开豆始运坏行，孙就按乎照事冻先确散定的守规则杀工作切，因寒此叫佳“自事动机伴”。有限饼自动晕机可腐以认兴为是罗由一泊个带秆有读险头的累有限闸控制打器和尖一条务写有些字符轻的输撇入带陡组成辆。3020侧23乘/5雷/1唐8Co立ll党eg脚e烟of谁C冲om晕pu西te济r姥Sc肾ie纤nc缺e传&双Te绳ch张no写lo笑gy卧,宏BU等PT例1榜：打基电话没(蔽自动井机在充通信睁领域坏的应逮用)丢。在一捷次呼月叫中宰，从炊建立恰连接刮到通阀话完干毕，却要经狱历摘易机，印拨号田，应芦答，泉进行渐通话尘等过债程，欠可以哥分别加用五择个状属态来叠表示逝。q0q1q2q3q4摘机收到拨号音拨号收应答信号挂机收齐号码q0:空闲状态q1:等待拨号状态q2:可以拨号状态q3:等待应答状态q4:通话状态3120婆23纺/5网/1目8Co厌ll甩eg嫌e贪of共C螺om愧pu豆te颂r卖Sc才ie当nc株e污&袜Te池ch问no卧lo榨gy打,夹BU查PT例2砖：串信口通陪信两台寨微机才通过容串口丸通信第,顾需在寇两台证机器恒间建婶立好痕连接想后，尽才可傅以传带递数鸟据，源可以喜使用昼有限岔状态更自动载机，牙描述鹊串口坟通信虽的状告态。传输数据收到应答断开连接连接请求q0q1q23220拒23窜/5绕/1犬8Co棕ll裤eg妖e依of拥C物om桶pu饱te慰r疮Sc姨ie金nc菜e顾&钟Te状ch蔽no驴lo蛋gy桐,栗BU漂PT根据艰结构麻不同疏，自巨动机组又可移分为透有限犬自动鸡机，裂下推总自动氏机，端图灵培机等随。下推资自动饮机可挥以看怒作是裙由一腐条输础入带垮，一打个有叮限控授制器挂和一态个下吹推栈岁组成犁。基本予图灵裙机由逼一个吹具有集读写顶头的肺有限惭控制滩器和盈一条录无限海带组滩成。使用稼自动墨机，裤可以杏形式帽化的胖描述刻现实怜世界楼中的列一些仅问题少。3320葛23肥/5缩慧/1鸦8Co怎ll枯eg涛e肥of编C肺om均pu炒te结r坛Sc丹ie醒nc周e映&糊Te冬ch材no届lo跨gy表,缘瑞BU抽PT3．谷形式幻玉语言杂与自涛动机沃的关谎系形式速语言惠和自锯动机替是密比切相坏关的唐。形式刻语言慢―休―依字符砖串自动根机型――扯字拦符串圾的识肤别系痒统根据贝复杂僚程度永可将燃形式开语言摩分类宪，根编据自王动机存的接游受能诞力、悉处理池能力笋的不冈同也臂将自脸动机箭分类小。二脖者之挺间具绘有较伐好的册对应涛关系喘。3420弓23夺/5兄/1膨8Co校ll尤eg示e疮of厕C请om赴pu应te弓r模Sc柄ie袜nc哄e宋&辫Te傍ch估no珍lo短gy挽,驻BU贵PT3520软23捕/5压/1呢8Co授ll或eg拼e款of抚C慌om搁pu剑te除r史Sc武ie老nc座e鬼&趣Te轻ch普no些lo洞gy帖,饱BU愤PT语言头与有致限自强动机（Fi绘ni障te棍A找ut喂om万at津a）设去=兵0,1，L=朗ww中至代少有哀一个0，如00踢11洪,活10生,呢11妄01叫11L,而11效,窗,渡1珠11罗1L。下图婆是一阳个可静接受变该语在言的维有限旗状态样自动木机3620庆23似/5绿/1和8Co怖ll智eg垂e赏of耀C员om垫pu真te看r宴Sc浑ie闷nc腰e均&眼Te处ch顷no萝lo狂gy辨,雨BU杏PT小结文法驱是定宗义语挽言的捆一个有数学详模型霜，而住自动钓机可线看作独是语国言的宽识别姨系统肥。通过塞对一蝇些定偿理的挑证明柴，说疾明对慈于一丹个文岁法产紫生的递语言端，可沫以构锻造相亚应自限动机窗接受物该语效言：楚一个萌自动涝机接膏受的焰语言都，可幅以构翁造对展应的棉文法灭产生踪蝶该语狮言。伐一定炊类型背的自闭动机尿和某井种类茶型的君文法稍具有狗等价倒性。3720抵23筒/5团/1鉴8Co哨ll饱eg旷e密of甜C恳om何pu斗te轻r负Sc看ie吩nc宜e唐&岩Te壮ch追no尸lo健gy惧,弦BU县PT课程兴内容录及要鸣求课程后内容洗：弊书上旅二、河三、虾四、楚五章圆。要求映：通哄过本占课学梨习，哑要求斩同学因们掌妙握形掌式化垄描述拢方法旱，建膛立起胆形式恼语言拉与自筒动机桐的概咳念，辫并能灭在实薯际中羊加以贡应用现。通过奇对定悦理的茶证明富，对袄同学诊们进林行思拍维训尾练，捡并掌派握一津定的蜘证明序方法见。3820比23至/5苗/1滤8Co集ll敌eg绍e者of吩C抚om截pu董te讽r辫Sc恒ie桨nc野e洒&乌Te队ch近no矮lo搭gy终,炼BU耐PT证穴明倾技果术*基本游证明之方法归纳兆证明影技术*引自仪清华拒大学撞计算孩机系筛软件兰技术抛研究案所王晕生原留老师捆课件3920虏23借/5技/1捧8Co界ll毅eg姐e衰of候C移om陪pu备te驰r群Sc阳ie惕nc避e阴&虎Te始ch将no决lo滴gy鞭,怜BU民PT演粮绎晨证垂明概念一个证明（pr希oo类f）是命角题的饭序列赴，其恭中的怖每一裳个命墙题或程者是鞭已知幻玉的命请题，换或者愁是由忍前面尿出现菊过的点命题协使用典逻辑养公理首和规颗则得凤出.馅已教知的撕命题称集合宜称为假设（hy剖po菜th凝es嘉is）或前提（pr也em折is吊e），最后刘一个庆命愉题称顶为该钩前提巩的结论（co勤nc拨lu腔si铺on）.4020骄23揉/5滤/1鸡8Co的ll锈eg误e羽of爹C谈om读pu浮te互r鸽Sc土ie崖nc券e撑&戴Te犹ch涝no活lo跌gy刷,瞒BU续PT“If饭–子T墓he哄n”命题证明葬方法把If部分典作为桂已知茅的命骂题，倾把Th承en部分柔作为哥结论锻.举例如果x+霜y=启1，那么x2-y2=x殖-y.证明合:1x2-y2=冬(x杀+y翅)(x-宋y)//数学公理2妈(x+顷y)=集1//已知x2-y2=滴x-估y//由1、您2和算颜术性说质推苹出4120袭23煮/5之/1汗8Co梨ll原eg询e定of肢C之om钻pu六te天r例Sc蛛ie严nc蚂e衔&取Te既ch笔no衬lo会gy怪,绕BU糖PT“If泡-复A绢nd伐-涝O乱nl摧y喘-侧If”命题欲证A渗if促a肝nd岸o棒nl巷y扑if润B，可分豪别证枯明如焦下两碗个命闲题：1if动A牲t见he属n万B，2if墙B巡寿t离he纲n艳A.4220扁23低/5恳/1倾8Co突ll晃eg滑e栗of些C绝om剂pu晴te加r尼Sc宵ie福nc成e例&她Te薯ch油no诱lo纤gy鬼,别BU喂PT有关洒集合疫的命盖题设R,须S为集杆合.欲证RS，可证密明如贴下命差题：if爱xR能th粱en艇xS欲证R=S，可分侄别证升明如获下两便个命催题：1if舅xR兰th获en庄xS2if黎xS船th螺en加xR4320晒23疲/5骄/1情8Co就ll坝eg烘e偷of炼C缠om宿pu仪te屈r忙Sc地ie多nc我e德&粮Te弄ch若no荐lo猴gy压,匪BU某PT原命钓题的吼逆否舍命题有时何，证扒明原穴命题增的逆爬否(co店nt贯ra续po贷si祖ti但ve)命题采更加肃方便泊.欲证if帮A百t泰he错n叶B，可证贴明如淡下命定题：if渗no肆t作B废th弄en反no麻t密A4420史23融/5花/1叔8Co耳ll暑eg狐e阔of咳C常om棚pu姑te鞠r萌Sc辆ie简nc凳e垫&弯Te傻ch衔no愤lo我gy胳,蹦BU蛾PT反证牛法反证茅（pr节oo浴f谷by吴c毙on要tr强ad乎ic孟ti宪on）欲证ifH背th淘en帽C，可以卖把H和no决t颂C都作检为已握知的匀命题明，把漫任何羡一个型矛盾绘(co予nt描ra炊di壤ct急io圾n)命题芦作为闲新的杯结论午.4520恭23蜓/5穿/1磁8Co巷ll当eg夺e察of哭C就om缎pu勉te停r钉Sc准ie而nc铃e锤&出Te施ch堡no你lo贤gy格,词BU把PT举例梁证明中或否花证举例弟证明彼存在腿量化愁的命怎题如命勤题：骄存在弓整数a，满足a2=肠2a.证明蚁:取a对=冻2.，满足a2=翼2a.举反挣例否颜定全逃称量浩化的栏命题如命锈题：逼所有覆整数a，都满捏足a2=2a.否证棒:取a诸=剩1.，不满伸足a2=防2a.4620孟23吓/5脖/1陕8Co强ll何eg钉e踢of涉C底om颠pu贱te绘r喷Sc少ie珍nc隔e世&棵Te霞ch沈no害lo悉gy给,誉BU砌PT集合速的归询纳定趋义由3部分乘构成哀：1基础（ba桃si哄s）稠/喜/直接祖定义耀集合廉中的爸元素泄（至饿少1个）2归纳（in