第五章非线性方程及非线性方程组的解法

第五章非线性方程及非线性方程组解法由何满喜,尚绪凤制作计算方法计算方法课件5.1对分法5.4弦位法5.3牛顿迭代法5.2迭代法在本章，你将学到5.1对分法5.2迭代法5.3牛顿迭代法5.4弦位法5.5解非线性方程组的牛顿迭代法5.5解非线性方程组的牛顿迭代法第五章非线性方程及非线性方程组的解法一个非线性方程的根可能是实数也可能是复数，这里只考虑方程的根为实数的情况。第五章5.1对分法设非线性方程（5.1）第五章5.1对分法若则就是近似值.如此下去，这就是求方程实根的对分法。第五章5.1对分法（5.4）

图5.1第五章5.1对分法并利用公式（5.2）和（5.3）继续以上过程，

解记

则

第五章5.1对分法第五章5.2迭代法把非线性方程(5.1)改写成以下等价形式的方程

由此可作迭代公式（5.5）

（5.6）

迭代法的几何意义如图5.2所示。这就是非线性方程(5.1)求根的迭代法,并把称为迭代函数。第五章5.2迭代法从点出发，过点做平行于

再过点

该交点的坐标为，又过点第五章图5.25.2迭代法是发散的第五章5.2迭代法例2解:(1)将原方程化为等价方程由此得迭代公式取，则有第五章5.2迭代法显然迭代法发散。(2)如果将原方程化为等价方程则有迭代公式：仍取初值，则有第五章5.2迭代法依此类推得x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000同样的方程不同的迭代格式有不同的结果已经收敛,故原方程的解为迭代函数的构造有关什么形式的迭代函数能够收敛呢?第五酸章5.局2迭代法问题厦是方膜程（5.呆1）改瞧写成败（5.葵5）等蓄价形岭式的怨方法样较多芦，因此绒如何靠改写诞或如膏何选漠择迭劫代函城数才能群由迭恩代公贺式（5.雕6）得患到的舞序列忧收敛宝于？方程画（5.适1）的坚根第五捡章5.弃2迭代法定理1把非安线性出方程惹（5.赴1）改除写成依（5.线5）等默价形浩式时刻，若夫迭代休函数满足条件背：即对键任意潮的都有（5.酸7）常数.（5.播8）若L<1茧,则由躁迭代旷公式哲（5.坟6）得成到的弯序列收敛技于方创程（5.裕1）的脆根，并谨有误常差估脂计式第五未章5.崇2迭代法第五浇章5.妈2迭代法连续忍，因柔此对充迭代朵公式秘（5.匀6）两崇边求乔极限塘得故定中理得泼证。第五丑章5.歌2迭代法推论设把龙方程(5两.1荣)改写酷成(5烘.5情)等价胀形式贤时，在实洁际应唇用中壳验证察迭代此公式芝（5.汇6）的踢迭代绢函数第五贱章5.稼2迭代法解由于方程在区绵间内有袜一个旗正根合，所盖以将方米程改兼写成盈下列半形式佳：因此称取所以然迭代爱公式第五崇章5.禁2迭代法计算石结果亭见表5.妹2，由返此得套正根众为。第五饰章5.撕3牛顿碧迭代鞋法设则其转解为并记片为第五胀章（5.返10）式裹就称冰为牛顿晴迭代茄公式班。（5.开10）否则强再把在就可辉得到缸一个部迭代筐序列及迭射代公辞式：点展俱开成固泰勒庆级数朗，继农续这祝个做释法，牛顿放迭代殊公式的推荣导也通可用畜以下赴方法榆得到锦。5.葬3牛顿半迭代订法第五熔章（5.他11）令，则笛切线网方程城的根态为5.花3牛顿耳迭代嚼法若则就是的近然似值,否则泊继续血以上做曲胀线的切逮线过程,过点令则记第五诊章并记扔为（5.隶10）继续史考虑暂是否，若梅满足曲，则就是所以魔牛顿站迭代传法也怖称为切线筒法。5.诸3牛顿龄迭代荡法牛顿劲迭代滥法的谎几何浅意义贵就是逮用过风点的切态线与x轴的杏交点逐步牌逼近浇方程波（5.森1）的哨根见图5.略3。第五塔章图5.35.家3牛顿销迭代核法第五貌章定理2设非习线性圈方程楼（5.斤1）的途函数在区谊间上有陶二阶撕导数壤，是由麦（5.抬11）得检到的的切伐线，病那么由此课不难利得到冠定理馆的结腔论（5.尖12）和杠（5.领13）。5.凉3牛顿划迭代劲法由（5.军11）得第五虑章5.学3牛顿倒迭代古法定理3设非淡线性馒方程辉（5.依1）的姑函数满足丑：（1）对计任意，不变俘号，（2）对柱任意，（3）证明由条博件(1兼)、(2景)知，忘函数是单怀调函均数.再用晕条件(3磨)可知躲，(见后头面图)：属于拦下列杆情况仰之一则由请迭代个公式续（5.央10）得求到的董点列一定诱收敛报于方政程（5.虑1）的姥唯一挡根第五陕章5.嘉3牛顿幸迭代捐法（a）（b）（c）仅就意情况牺（c）来渗证明鄙。对初愈始值，要型使满菊足，则必舒有因此资在情里况(c尚)下，洒若实际膨上，哈因，故跌由(5润.1糟1)给出潮的切冠线第五赔章5.团3牛顿谊迭代搅法对公惩式（5.源10）求骑极限访得所以书切线的零研点，即嫂点列是单页调下仅降且睡有界独，故塑必有穷极限秀，设,即，故是方窗程的京根，亿因为因此家必有，从掠而，定乱理得菌证。满足叹条件丽（1）～肤（3），赠所以粮方程秩根是混唯一奏的，第五铁章5.励3牛顿煌迭代慈法解把方音程等价驶变为脑以下票方程耕：故迭脉代公抓式5.善4弦位头法第五学章5.皂4弦位视法弦位他法是萍对曲管线做过电点的直净线（5.笑14）并用郊直线的零悦点来蹈逼近辞方程逆（5.侵1）的耽根。先求异方程的根诉并把煎根记夺为就得医迭代而公式:（5.商15）这就忠是求横方程(5响.1限)根的弦位枕法(也称棕双点使弦截阀法).弦位盯法的几影何意有义就晓是用翻直线塑的零排点来岗逐步准逼近近方程傲（5.执1）的兼根，轨见图5.次4。第五肝章5.虏4弦位斑法图5.4类似成于以庭上双转点弦相截法悉，也猪有单挤点弦生截法提，即窜还可向以得性到单弱点弦助截法拴的迭吨代公听式：第五顷章5.唱5解非悉线性绣方程植组的雾牛顿瓦迭代甚法第五曾章5.衔5解非落线性娃方程皆组的句牛顿毛迭代骡法以两缴个二难元方恒程为敏例介旷绍解面非线起性方宵程组承的牛熟顿迭油代法幼。对携非线挡性方匠程组（5.嫌16）设（5.估16）的管一个护初始艳近似花解为，把展开接公式丛展开感，并绕只取埋其线食性部泉分，闹对非卷线性唇方程刷组（5.惕16）就痛可得概以下滋线性创方程盒组：第五殖章5.僻5解非我线性盟方程恩组的朴牛顿歌迭代限法（5.里17）只要污系数槐矩阵塘的行帜列式(5库.1览8)则方绝程组达（5.模17）的路解可杀以求使出，亡即有第五谷章5.华5解非奋线性傅方程放组的腐牛顿臂迭代汗法（5.刻19）其中（5.棚20）考察和，若扯都满此足,那么第五柴章5.因5解非返线性猾方程驻组的授牛顿逆迭代低法就是昏非线欠性方璃程组俯的近银似解蝴，否常则继家续以上做睛法，洒即用忌迭代矿公式（5.坝21）其中的计剩算与对公式塑（5.核18）、盟（5.永20）相法同，只是尘把点换成穿点这就骨是求摔解非辰线性底方程柳组的牛顿搜迭代纹方法。即可粗。第五附章5.随5解非营线性协方程首组的鬼牛顿纠迭代绿法例4设有逃非线纯性方狮程试用厌牛顿姨迭代添