第十二讲小学数学中的数与形白色底板

第十二讲

第六章小学数学中的数和形（2）主要内容：第六章小学数学中的数和形（2）一、分数和小数1、分数的概念、性质及分类2、小数的概念、性质及分类教学目标★掌握分数、小数的概念及其分类★理解分数和小数的性质★了解分数、小数在小学数学教学中的安排和要求二、分数和小数1、分数和小数的概念及性质（1）分数概念及意义小学数学教学中的表述：分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数的叫做分数。分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数的叫做分数单位。分数的实质——部分和整体的关系分数的认识被安排在两个学段中进行学习，即三年级初步认识分数，五年级进一步认识分数的意义。小学数学教学中分数的概念的描述法给出

具体教学中是通过动手操作法来实现：在描述中，安排了平均分实物、图形和线段等内容。教学时，让学生动手将实物、图形和线段分一分，进而给出了分数的含义。心理学研究表明：儿童的思维是从动手开始的，切断活动与思维的联系，思维就不能得到发展。美国华盛顿图书馆的墙上贴有这样的话：“我听见了就忘了，我看见了就记住了，我做了就理解了。”这充分说明了小学生在学习中动手做的重要性。因此，对描述性概念的教学，必须根据其特点，努力为学生提供动手操作的机会，让他们在做中学，在做中理解和掌握。例如，第五册“分数的初步认识”中“分数”这一概念，没有给出定义，而是通过描述的方法说明它的含义的。q一般的分数的概念：两个正整数p、q相除，可以用分数p/q表示。即p÷q=p/q,其中p为分子，q为分母。P/q读作p分之q.当q=1时，p/q=p

解释一：一般的，分数的意义p/q是将一个总体等分为q份而取其中p份.根据这个意义，分数的乘法可以解释为：两个分数相乘p/q×m/n的意义是：在分数p/q的基础上，以p/q为总体，“再”等分为n份而取其中m份，其结果是p×m/q×n(q、n不等于零)，即P/q×m/n=p×m/q×n(q、n不等于零)例：3/4×2/5解释二：当一个整体（指基准量）被等分后，集聚其中一部份的量称为「分量」，而「分数」就是用来表示或纪录这个「分量」。这是从分数的意义可从分割及合成活动来解释，例如：2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。

（2）分数的意义

分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得到的分数与原分数的大小相等。a/b=a×k/b×k=a÷n/b÷n(b、k、n不等于零)

最简分数：分子与分母互素的分数叫做最简分数

约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程称为约分。

（3）分数大小的比较根据分数的定义可以给出分数大小的定义：有两个分数a/b与c/d，若ad=bc,则a/b=c/d；若ad>bc,则a/b>c/d.方法一:根据分数大小的定义比较分数的大小方法二:分母相同比较分子大小方法三:分子相同比较分母大小方法四:求差（4）百分数的概念

小学数学五年级课程目标一、数与代数1．数的认识进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和百分数之间的关系，并会进行转化（不包括将循环小数化为分数）。理解倒数和百分数的意义，会正确的读、写百分数。百分数的概念

（5）分数和除法的关系基本关系：被除数÷除数=被除数/除数

p÷q=p/q(q≠0,p∈Z,q∈N＋)注意：p∈Z，q∈N＋的含义分数和除法的联系：分子、分母和除号分别相当于被除数、除数和分数线。分数和除法的区别：分数是一种数，除法是一种运算（6）倒数的认识

关于倒数，《辞海》给出的定义是：“如果a是一个不等于零的数，则称1／a为a”的倒数”（1999年版，第一卷，644页）。显然这个定义对于小学生来说太过抽象。在初中的教材中，对倒数的概念是这样给出的：“乘积为1的两个有理数互为倒数。例如，－3与－1／3,－3／8与－8／3.”（义务教育数学课程标准组、北京师范大学国家基础教育课程标准实验教材总编委会编《数学（七年级上册）》），这个定义中学生比较好理解。在我们的教材中，叙述更加贴近儿童语言，但实质是一样的。

第三单元《倒数》（如下图）一课中，“什么是倒数”，是通过观察总结得出概念的：

（7）小学数学中分数的安排和要求（三年级）教学内容：初步认识分数，会读、写简单的分数。会比较同分母分数的大小。初步学会计算简单的同分母分数的加、减法。教学要求：初步认识分数，会读、写简单的分数。会比较同分母分数的大小。初步学会计算简单的同分母分数的加、减法。

（五年级）教学内容：分数的意义和性质。

分数的意义。分数单位。分数大小的比较。分数与除法的关系。真分数和假分数。带分数。分数的基本性质。约分。通分。分数和小数的互化。分数的加法和减法。分数加、减法的意义。分数加、减法运算（不含带分数）。加法的运算定律推广到分数。分数、小数加、减混合运算。教学要求：理解分数的意义和基本性质。会比较分数的大小，比较熟练地进行约分和通分。会进行分数与小数的互化。理解分数加、减法的意义。掌握分数加、减法的计算法则，能够比较熟练地计算分数加、减法。正确地进行分数加减混合运算。会口算简单的分数加、减法。（六年级）教学内容：分数的乘法和除法。分数乘法的意义。分数乘法。乘法的运算定律推广到分数。倒数。分数除法的意义。分数除法。分数四则混合运算。

百分数、比和比例，百分数的意义和性质。比例的意义和基本性质。解比例。成正比例的量和成反比例的量。比的意义和性质。比例的意义和基本性质。解比例。成正比例的量和成反比例的量。

教学要求：理解分数乘、除法的意义。掌握分数乘、除法的计算法则。会计算分数乘、除法。会口算简单的分数乘、除法。会进行分数四则混合运算（不超过三步）。理解百分数的意义。知道百分数在实际中的应用。会进行有关百分数的计算。理解比的意义和性质。会求比值和化简比。理解比例的意义和基本性质。会解比例。理解正、反比例的意义。会判断两个量是否成正比例或反比例。通过比例的教学，使学生进一步受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。参考资料：小学数学教学中分数的引入

根据三年级学生思维发展和生活经验的特点，教材从学生熟悉的、并且能够实际操作的分物情境引入分数。问题：一个苹果平均分给两个人，每人分多少？怎样表示呢？鼓励学生讨论用什么方式来表示“一半”。这个讨论过程，一方面可以使学生意识到原来学过的数不够用了，感到学习新知识的必要性；另一方面可以鼓励学生发挥想象，大胆创造表示“一半”的方法。学生可以画图来表示，也可以发明自己的符号来表示。在此基础上，再引入“一半可以用1/2来表示”。这实际上鼓励学生经历了从运用自己的符号表示到运用数学符号进行表示的过程。

进而或，教愿师安驻排了饼分别汁涂出付一些碑图形翠的1/袍2，不贱仅有饱利于捧学生旺借助魄几何邮模型能体会嚷分数进的意尾义，捉并且独学生字将感谢受到1/乌2不仅凤可以岂表示距半个棵苹果旁，还故可以功表示裤许多团事物哗的“扎一半炮”，遮感受希数学缴符号乘的作默用。“分紧一分液（二持）”俯的主卖要内扔容是粥感受剃可以怀用分丸数表舰示由猎多个仓个体村组成狂的整荡体中般的若陡干份鼻。这柳种分再数“作整体茅”意捏义的弹拓展汇，更张多突挤出了奇分数宰的实薄质——部分糠和整摊体的遭关系畜。2、妨小数成的概层念、鸡性质疲及分第类（1）小剃数概菊念及祥意义小学灰数学督教学相中的披表述潜：小数仔：像5.称98、0.华85、2.径60的数王叫做近小数厨。小数舞计数仁单位枕是：十分爱之一熟、百带分之蚕一、吨千分霜之一..侵..引..分别抗记作:0趁.1、0.抄01、0.烈00掏1，..裁..鹊..小数阶的产鲜生是公由于滨测量克的需颜要.在进心行测挣量和核计算各时,往往立不能伯正好脸得到罪整数追的结银果,这时仓常用不小数痛来表喝示（2）小拘数的继读法滑和写者法小数袍的记爪数法墓（写染数）记数柱的含出义：最用符移号表甘示数洲，就灯是把哨数写查下来地的意县思。记数忆的基废础：童位值君制.数位宫顺序裹表,如下谜表：具体吊方法盾：记冒数符河号——阿拉炊伯数锣字（确１０怖个）既和小滴数点顺序——从高锦往低矮写起整数么部分月读法敬同自容然数团，小础数部险分依习次读导出每良个数英字小数幸部分......位百位十位个位小数点......百十一(个).十分位百分位千分位万分位...十分之一百分之一千分之一万分之一...小数掘部分小数熄部分练习时：读哪出下鸣列小羞数２４跌５４豆３６栗８９.0际38株7２４象５４赤，３潮６８消９.0赤38奶7３５倘７３足８３跌４５捏１２.0累00尝5３５躬，７斯３８搬３，粪４５尝１２.0颤00将5３８至９０雷１０失２０.2飘89球9３８永９０炮，１彩０２昨０.2页89劝9１５懒０２绣８５遍４３效２９蛛００.0遵01域0１５峡０２类，８撤５４灭３，也２９浑００.0返01话0１０镇０２监８５鲁４３进２９形００１０汇０２疏，８学５４棍３，霸２９气００.1狮00钓0小数柔的认堡识被袄安排稀在三猾个学爷段中袖进行秧学习腿，即岛三年彩级初闯步认旷识小纠数，豪四年往级初浩步认些识小旋数的旦意义肠和性肥质,五年恼级认创识小沿数乘经除法坑。三年突级下庄册的惊小数泰的初邮步认染识限真制在丝式元、孔角、御分背层景下扇，把葛元、倦角、参分作举为一瘦种生柿活原萍型，纵帮助补学生飞初步带认识绢和学配习小截数的泥读、木写和舌一位酷小数招的大志小比雹较等挨。四府年级础下册惑的小圆数加华减法煌内容疾则是犹脱离扣元、脏角、宫分背栽景，哄从实袄际情怠境的般数量旧中抽铃象出垒小数稀的意例义，美进行彩小数平的比默较大林小。参考辱资料移：阅蔑读指教导法小学鞭数学龄中的掀描述畅性概六念主见要是状通过膝文字液和图渣形来氏体现窝的。淋课本陡中揭恋示概患念的护文字希和图啄形是斜指导梨学生卖阅读朝的重观要内例容。狠教师奥在教迈学时永，不之要认身为这木些内洽容可剑有可党无而裕轻易杏放过取，应倒该指拒导学腾生认莫真阅亏读，惩逐字分逐句耗体会休，从制而达志到真洽正理章解的狭目的毅。例技如第遗七册烛“小白数的咬初步缴认识室”这折一单夹元中搬，对减于“捎小数云”，驱教材歼是通橡过列雄举大蚁量的腾例子兼来说便明的道。这夸样的枣内容镇，指传导学锈生阅昆读比南由教模师讲逝学生亩听效寄果好引得多拉。（3）小晒数的透性质根据剑这条预性质两可以腿化简仓小数赞。如0.他20站=0捏.2问题怀：0.矛20和0.建2的意米义相代同吗绩？小数送的末卷尾添剥上“0”或去顿掉“0”小数蜻的大掘小不忽变（4）小载数大卫小的肌比较练习:比较绢下列蜡分数奇的大挂小20伯9.醋05与20只9.详12；0.拜00谱2与0.枕01胁0整数克不为枝“0”时，汇先比赔较整轧数的群大小整数虹为“0”时，毒依次呜比较艇十分便位、豪百分距位..答.的大法小（5）小泡数的默分类纯小披数闭循环肯小数小数巡寿小驾数带小披数启不循董环小姻数有限钳小数小数无限代小数思考辨：分傍类的下标准绵是什散么？（6）小来学数逆学中小数的安他排和稀要求（四年团级）教学砌内容恢：小数撕的意吼义、焰性质勾。小数惩的大托小的寸比较疗。小买数点医移位欠引起剩小数饥大小咱的变海化。药小数箭的近咏似值带。昂加法锣和减雷法。所加法讽运算驳定律芳推广字到小块数。教学葱要求明：理解尺小数骆的意部义和嫂性质妄。比稠较熟最练地苍进行贡小数动加、爸减法详笔算反（对拦位数兴个数宜的限踩制与适整数抬加、鱼减法仙相同先）和烤简单地的口调算。（五坏年级浇）教学扩内容义：小数映的乘麻法和起除法叔。积和汁商的瞎近似盏值。撇循环困小数旦。乘欧法运披算定传律推材广到度小数优。不数附四则墙混合瞎运算翅（不渗超过帖三步海）。教学贯要求设：比较瓶熟练户地进贵行小糟数乘浙、除贯法笔的算（卵对位立数个婆数的绑限制率与整乡丰数乘拆除法闷相同证）和嫂简单氧的口洗算。框会用横四舍辽五入归法截野取积酬、商闻的近郊似值纺。会皂进行即小数树四则瘦混合委运算勉（不泊超过达三步爬）。1、分绪数和挨除法顾的关州系是下什么搞？2、0.化2和0.纪20的读慰法相岭同吗殖？意辩义相