第二节平面向量的分解及向量的坐标表示

第二节平面向量的分解及向量的坐标表示第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.课前自修知识梳理一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，称λ1e1＋λ2e2为e1，e2的线性组合．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．三、平面向量的坐标运算1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝(x2－x1，y2－y1).3．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2．三角形法则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，向量的减法三角形法则a－b＝(x1－x2，y1－y2)a－b＝a＋(－b)，数乘向量法λa是一个向量．满足：λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异向；λ＝0时，λa＝0λa＝(λx，λy)λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，a∥b⇔a＝λb(b≠0)基础自测A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)3．(2012·深圳市松岗中学模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(x，－6)共线，则x＝______________.解析：依题意有3x－2×(－6)＝0，得x＝－4.答案：

－44．(2011·漳州市模拟)已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__________.解析：∵a＋b＝(－1，)，∴|a＋b|＝＝2.答案：2考点探究考点一平面向量基本定理的应用变式子探究考点个二平面悦向量册坐标朝的基镰本运旅算变式添探究A．(－2,寨7)希B．(－6,出21列)帐C．(2，－7)岭D．(6，－21分)考点旁三利用仔向量瞒相等溉求点歇的坐会标【例3】已知购点A(1掘,0睡)，B(0蒜,2减)，C(－1，－2)，求目以A，B，C为顶扛点的夸平行猜四边炎形的愈第四射个顶牛点D的坐科标．变式嚼探究3．设冶向量a＝(1，－3)，b＝(－2,护4)，若旱表示还向量4a,3b－2a，c的有疯向线好段首纱尾相妈接能观构成兼三角校形，蝇则向雄量c＝()A．(4顷,6成)伏B．(－4，－6)C．(4，－6)谱D．(－4,母6)考点陷四共线喝向量咐的坐聪标运绳算【例4】平面叼内给暂定三亿个向简量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请闷解答业下列纱问题慎：(1盖)求满倚足a＝mb＋nc的实宝数m，n；(2凡)若(a＋kc)∥(2b－a)，求振实数k；(3蹦)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝煤，求d.点评包：运用丝式向量你的坐予标表码示，祖使向付量的网运算摩完全予代数功化，堆将数取与形垂有机记地结猎合．变式贩探究4．(2奇01贤2·北京矮市东砖城区货示范艰校综践合练此习)已知冤向量a＝(2框,3兄)，b＝(－1,清2)，若ma＋nb与a－2b共线法，则间等他于()A．－2病B．2削C．－D.课时收升华1．平狸面内宁任一药向量a都可照以分披解成a＝λ1e1＋λ2e2(其中e1，e2是平浅面内倒两个厦不共按线向医量)的形辛式，膏且分悄解式睡是唯单一的下．平面渐向量周基本抽定理帜是平块面向泄量正位交分喉解的栏理论据依据薯．若向院量a与两脂个不疗共线京向量e1，e2共面⇔存在喜唯一还一对乱实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.向量信的坐岸标表源示实或质上努是向短量的葱代数仪表示穷，可赖使向劣量运名算代困数化建，将挺数和勒形紧崖密结币合起炸来，介从而签使许孙多几戚何问垦题的粉证明盛转化裹为数俗量运区算．3．向安量的裂坐标疤与表庸示该柱向量迎的有款向线总段的役始点同、终溉点的唯具体鹊位置煎无关踩，只辈与其睡相对帐位置掩有关吊．4．向楼量的谱坐标魄表示状体现烘了数北形的隔紧密袄关系回，从块而可把用“数”来证弓明“形”的问辆题．境因此芝解题逃过程带中应弃注意志运用腔数形切结合衰的思密想方疤法.感垃悟雀高每考品味殖高考高考为预测1．设役向量a＝(1，si扁nθ)，b＝(3俊si坟nθ，1)，且a∥b