有限样本空间与随机事件

通过上一章的学习可知,许多实际问题都可以用数据分析的方法解决，即通过随机抽样收集数据,再选择适当的统计图表描述和表达数据,并从样本数据中提取需要的信息,估计总体的统计规律，进而解决相应的问题.从中可以看到,用样本推断总体.当样本量较小时，每次得到的结果往往不同:但如果有是够多的数据，就可以从中发现一些规律.例如,每天你从家到学校需要的时间(精确到分)不能预知;如果你记录周,会发现每天所用的时间各不相同;如果在一个月或学期内记录下每次所用的时间，通过数据分析你会发现,所用的时间具有相对稳定的分布规律.又如,从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个，事先不能确定它的颜色:有放回地重复摸取多次,记录摸到的球的颜色,从记录的数据中就能发现些规律,例如红球和白球的大概比例,进而就能知道每次摸出红球，白球的可能性大概是多少等等,这类现象的共性是:就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有稳定性.这类现象叫做随机现象,它是概率论的研究对象.

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中,成为一个常用词汇.本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法:通过古典慨型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解:通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力.

在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念,并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.一、探究新知

研究某种随机现象的规律,首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从你所在的班级随机选择10名学生,，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只,测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；记录某地区7月份的降雨量；等等.

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.二、样本空间

体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号0、1、2、…、9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可能结果?如何表示这些结果?

观察球的号码，共有10种可能结果.用数字m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.样本点：随机试验E的每个可能的基本结果.

样本空间：全体样本点的集合.

奥地利数学家来泽斯(1883-1953)在1928年引进了样本空间的概念.

一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况.

如果一个随机试验有n个可能结果的ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Q={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.例1抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解：例2抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上,反面朝上).如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω={h,t}.用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.二、样本空间例3抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间.解:

掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是，试验的样本空间

如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为如下图所示，画树状图可以帮助我们理解此例的解答过程.Ω={(1，1)，(1,0)，(0，1)，(0,0)}.101010第一枚第二枚Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.二、样本空间三、探究新知

在上面体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗?摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件?如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系?

显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}.因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A.

类似地，可以用样本空间的子集{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”.随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.基本事件:只包含一个样本点的事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.

必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.Ω为必然事件.不可能事件：在每次试验中都不会发生.∅为不可能事件.四、随机事件例4如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.ACB解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω={(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1),(1,1,1)}.还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下图.四、随机事件01元件A0101元件B01010101元件C000001010011100101110可能结果111(2)M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}；N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}；T={(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1),}.四、随机事件五、课堂小结1.样本空间有关概念：(2)样本空间：2.随机事件有关概念：(1)基本事件:只包含一个样本点的事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.(3)事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.(4)必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.Ω为必然事件.(5)不可能事件：