高中数学北师大版2-1学案：第二章 空间向量与立体几何 §1 从平面向量到空间向量 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精[学习目标］1.了解空间向量的概念.2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程.3。了解空间中直线的方向向量,平面的法向量，共面向量与不共面向量的概念.知识点一空间向量(1)在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量.(2)向量用小写字母表示，如：a，b.也可用大写字母表示，如:eq\o（AB,\s\up6（→)),其中A叫作向量的起点，B叫作向量的终点。（3）数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量.（4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用｜eq\o（AB,\s\up6(→)）|或｜a｜表示。（5)向量夹角的定义:如图所示,两非零向量a，b，在空间中任取点O，作eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o(OB，\s\up6（→)）＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角,记作〈a，b〉。（6)向量夹角的范围:规定0≤〈a，b>≤π。(7）特殊角：当〈a，b>＝eq\f(π,2)时，向量a与b垂直，记作a⊥b;当〈a,b〉＝0或π时,向量a与b平行，记作a∥b.知识点二向量、直线、平面（1）所谓直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量,一条直线的方向向量有无数个。(2)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量,叫作平面α的法向量.平面α有无数个法向量,平面α的所有法向量都平行。(3）空间中，若一个向量所在直线平行于一个平面,则称这个向量平行于该平面。(4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，不平行于同一个平面的一组向量称为不共面向量.(5)平行于一个平面的向量垂直于该平面的法向量.思考观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量eq\o(OA，\s\up6(→）），eq\o（OB,\s\up6(→）)，eq\o(OC，\s\up6(→))，它们和以前所学的向量有什么不同？答案eq\o(OA，\s\up6（→))，eq\o(OB，\s\up6（→))，eq\o（OC，\s\up6（→）)是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内.题型一空间向量的概念例1判断下列命题的真假.（1）空间中任意两个单位向量必相等；（2）方向相反的两个向量是相反向量；(3)若｜a｜＝|b|,则a＝b或a＝－b；（4）向量eq\o(AB，\s\up6(→）)与eq\o（BA,\s\up6(→)）的长度相等.解(1)假命题.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同.(2）假命题。因为方向相反的两个向量模不一定相等。（3)假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.（4）真命题.因为eq\o（BA，\s\up6(→))与eq\o（AB，\s\up6(→）)仅是方向相反，但长度是相等的。反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.跟踪训练1如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1）试写出与eq\o(AB，\s\up6（→））相等的所有向量；(2)试写出eq\o（AA1,\s\up6(→）)的相反向量；(3）若AB＝AD＝2,AA1＝1,求向量eq\o（AC1,\s\up6(→））的模.解（1）与向量eq\o（AB,\s\up6(→））相等的所有向量(除它自身之外）有eq\o（A1B1，\s\up6(→)),eq\o（DC,\s\up6(→））及eq\o(D1C1,\s\up6（→））共3个.(2）向量eq\o（AA1,\s\up6（→)）的相反向量为eq\o（A1A，\s\up6(→))，eq\o(B1B，\s\up6（→)），eq\o（C1C,\s\up6（→）），eq\o（D1D,\s\up6(→））.(3)｜eq\o（AC1,\s\up6（→))|＝3.

题型二直线的方向向量与平面的法向量例2如图，四棱锥P。ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，PB＝eq\r（3）,PA＝PD＝CD＝BC＝1，AD＝eq\r（2)，AB＝2，E是AD的中点,试证明eq\o（PE,\s\up6（→）)是面ABCD的一个法向量,eq\o(BD，\s\up6(→))是面PAD的一个法向量。证明在Rt△BCD中，BC＝CD＝1，∴BD＝eq\r（2)，在△ABD中，AD＝BD＝eq\r（2），AB＝2，∴∠ADB＝90°,在△PBD中，BD＝eq\r（2），PD＝1，PB＝eq\r（3)，∴∠PDB＝90°，∴BD⊥PD，BD⊥AD，∴BD⊥平面PAD。即eq\o（BD，\s\up6(→）)是平面PAD的一个法向量，在△PAD中，PA＝PD＝1，AD＝eq\r(2），E是AD的中点,∴PE⊥AD，且PE＝eq\f（\r(2)，2)，在Rt△BDE中，BD＝eq\r（2）,DE＝eq\f(\r（2)，2），∴BE＝eq\r（\f（5,2）)，在△PBE中，PE＝eq\f（\r（2）,2)，BE＝eq\r（\f(5,2）），PB＝eq\r(3），∴∠PEB＝90°，∴PE⊥BE，又PE⊥AD,∴PE⊥平面ABCD，即eq\o(PE,\s\up6(→)）为平面ABCD的一个法向量。反思与感悟（1)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；(2）要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法,在把向量问题转化为几何问题时,注意其等价性。跟踪训练2如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD,底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点.（1)试以F为起点作直线DE的方向向量;（2）试以F为起点作平面PBC的法向量.解(1)∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊eq\f（1,2)BC，又BC綊AD，∴EF綊eq\f(1，2）AD，取AD的中点M,连接MF，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE,∴eq\o（FM,\s\up6(→)）就是直线DE的一个方向向量。（2）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥面PCD，∵DE面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥面PBC，∴eq\o(DE，\s\up6（→))是面PBC的一个法向量，由(1）可知eq\o(FM，\s\up6（→））＝eq\o(ED，\s\up6（→）)，∴eq\o（FM，\s\up6（→））就是平面PBC的一个法向量.题型三空间向量的夹角例3如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求：（1）〈eq\o（AB,\s\up6(→）)，eq\o(D1C1，\s\up6（→))>;(2)<eq\o(AB，\s\up6（→）），eq\o(CD,\s\up6(→)）>；（3）〈eq\o(BA1,\s\up6（→)），eq\o（AD1，\s\up6(→)）>。解（1)由图知eq\o（AB，\s\up6（→)）＝eq\o（D1C1，\s\up6（→）)，则二者的方向相同，所以〈eq\o（AB,\s\up6（→)）,eq\o（D1C1,\s\up6（→))>＝0；（2)根据题意易知eq\o(AB，\s\up6（→））与eq\o（CD，\s\up6(→）)的方向相反,所以〈eq\o(AB,\s\up6（→））,eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝π；(3）连接BC1,A1C1，A1B，因为eq\o(AD1，\s\up6(→））＝eq\o(BC1，\s\up6(→)），所以〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AD1，\s\up6（→))>＝〈eq\o（BA1,\s\up6（→）),eq\o(BC1，\s\up6（→))〉，而△A1BC1为等边三角形，所以<eq\o(BA1，\s\up6(→))，eq\o（AD1，\s\up6(→））>＝〈eq\o(BA1，\s\up6（→))，eq\o（BC1，\s\up6(→））〉＝eq\f(π,3)。反思与感悟本题研究了三个特殊的夹角，在数学中所研究的向量是与向量的起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上,然后再研究向量之间的夹角问题.跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中求下列向量的夹角：(1)〈eq\o(AC,\s\up6(→））,eq\o(DD1,\s\up6（→)）>；(2）〈eq\o(AC,\s\up6（→)），eq\o(CD1,\s\up6(→))〉；（3)〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o（A1D,\s\up6（→)）〉；（4)<eq\o（AC,\s\up6（→）），eq\o（BD1,\s\up6(→）)〉。解（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥DD1，∴<eq\o(AC,\s\up6(→）），eq\o（DD1，\s\up6(→）)〉＝eq\f(π,2)。(2)连接AD1，则AC＝CD1＝AD1,故△ACD1为正三角形，∠ACD1＝eq\f(π，3）,∴<eq\o（AC,\s\up6（→)），eq\o(CD1，\s\up6（→））〉＝eq\f（2π,3）.(3）方法一连接AB1,B1C,则有eq\o（A1D,\s\up6（→)）＝eq\o（B1C,\s\up6(→)），∴〈eq\o(AC，\s\up6(→)），eq\o（A1D,\s\up6(→)）〉＝<eq\o(AC，\s\up6(→)），eq\o（B1C,\s\up6(→))〉，又AC＝CB1＝AB1，∴△AB1C为等边三角形,∠ACB1＝eq\f（π,3),∴〈eq\o(AC,\s\up6（→）)，eq\o（B1C，\s\up6（→)）〉＝eq\f（π,3)＝〈eq\o(AC，\s\up6(→）),eq\o(A1D,\s\up6（→))〉,方法二连接A1C1,C1D,则eq\o（A1C1，\s\up6(→）)＝eq\o（AC,\s\up6（→)），且△A1C1D为正三角形.∴∠C1A1D＝eq\f(π，3)＝〈eq\o（A1C1，\s\up6(→）），eq\o（A1D,\s\up6(→）)>＝〈eq\o（AC，\s\up6(→))，eq\o（A1D，\s\up6(→））〉.(4)方法一连接BD,则AC⊥BD，又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D.∴AC⊥面BD1D，∵BD1面BDD1,∴AC⊥BD1,∴〈eq\o（AC，\s\up6(→）），eq\o(BD1,\s\up6(→)）〉＝eq\f(π，2）。方法二连接BD交AC于点O，取DD1的中点M,则eq\o(OM,\s\up6（→)）＝eq\f(1,2）eq\o（BD1,\s\up6（→）)，∴〈eq\o(AC,\s\up6（→))，eq\o（BD1，\s\up6(→))〉＝<eq\o(AC,\s\up6（→))，eq\o（OM,\s\up6（→））〉，在△MAC中，MA＝MC，O为AC的中点，∴MO⊥AC.∴<eq\o（AC，\s\up6（→））,eq\o（OM,\s\up6（→))〉＝eq\f（π,2),即〈eq\o（AC，\s\up6(→)），eq\o(BD1,\s\up6（→））〉＝eq\f(π，2)。1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的（)A。充分不必要条件 B。必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析a＝b⇒|a｜＝｜b|;|a｜＝|b｜⇏a＝b。2。在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量eq\o（A′B′,\s\up6(→））的模相等的向量有（）A.7个B.3个C。5个D.6个答案A解析｜eq\o（D′C′,\s\up6（→））|＝｜eq\o(C′D′，\s\up6(→))|＝|eq\o（DC,\s\up6(→）)｜＝|eq\o(CD，\s\up6(→））｜＝|eq\o(BA,\s\up6（→）)|＝|eq\o（AB,\s\up6(→）)|＝|eq\o(B′A′,\s\up6（→））|＝｜eq\o(A′B′,\s\up6（→））｜。3。下列说法中正确的是(）A。若｜a|＝｜b|,则a，b的长度相等，方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量，则｜a｜＝｜b|C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中，一定是eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AD，\s\up6(→）)＝eq\o（AC，\s\up6(→））答案B解析若｜a|＝｜b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故A不正确；相反向量