高中数学北师大版一学案：第二章 2.2 函数的表示法（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2函数的表示法(一)学习目标1。了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法。3。尝试作图并从图像上获取有用的信息．知识点一解析法思考一次函数如何表示？梳理一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法．知识点二图像法思考要知道林黛玉长什么样,你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图像法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1，2，3，…，100.第x个人写下的数字为y,则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示?梳理用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．函数三种表示法的优缺点:类型一解析式的求法例1根据下列条件,求f（x）的解析式．（1）f(f(x）)＝2x－1，其中f（x）为一次函数；（2)f（x＋eq\f(1，x））＝x2＋eq\f（1,x2）；(3)f（x)＋2f（－x）＝x2＋2x.反思与感悟(1)如果已知函数类型,可以用待定系数法．（2）如果已知f(g（x)）的表达式，想求f（x）的解析式，可以设t＝g（x），然后把f(g(x））中每一个x都换成t的表达式．（3)如果条件是一个关于f（x)、f（－x）的方程,我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f（x）、f(－x)的方程，然后消元消去f（－x）．跟踪训练1根据下列条件，求f（x）的解析式．(1)f（x）是一次函数，且满足3f(x＋1)－f（x)＝2x＋9；(2)f（x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）2f（eq\f(1,x))＋f(x）＝x(x≠0）．类型二图像的画法及应用eq\x（命题角度1画函数图像）例2试画出函数y＝eq\r(1－x2)的图像．反思与感悟描点法作函数图像的三个关注点（1)画出函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图．（2）图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．跟踪训练2作出下列函数的图像并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈［0,2］;（2）y＝eq\f(2，x），x∈[2,＋∞）；（3)y＝x2＋2x，x∈［－2，2]．eq\x（命题角度2函数图像的应用）例3已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．反思与感悟函数图像很直观,在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．跟踪训练3函数f（x）＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．类型三列表法及函数表示法的选择例4下表是某校高一(1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。测试序号成绩姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88。278.385。480。375。782。6（1）选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系;（2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示,有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练4若函数f(x)如下表所示：x0123f（x）3210则f(f（1))＝________。1．已知函数f（x）由下表给出,则f(f(3))等于(）x1234f（x）3241A.1B．2C．3D．42．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点（0,0)，则此二次函数的解析式可以是（)A．f(x)＝x2－1B．f（x）＝－（x－1）2＋1C．f（x）＝(x－1)2＋1D．f（x）＝（x－1）2－13．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为（）A．y＝eq\f(\r（2),2)x B．y＝eq\f(\r（2）,4）xC．y＝eq\f（\r（2),8）x D．y＝eq\f（\r(2），16)x4．某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是(）5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0，3］的图像，并求出y的最大值，最小值．1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法,与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法）．2．如何作函数的图像一般地,作函数图像主要有三步:列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像,画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点,端点的虚、实问题等．3．如何用函数图像常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．

答案精析问题导学知识点一思考y＝kx＋b（k≠0）．知识点二思考一张二寸照片．知识点三思考对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．题型探究例1解（1）由题意，设f（x）＝ax＋b（a≠0)，∵f（f(x）)＝af（x）＋b＝a(ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝2,,ab＋b＝－1，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\r（2)，,b＝1－\r(2））)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2),，b＝1＋\r(2）.)）∴所求函数解析式为f(x）＝eq\r(2)x＋1－eq\r（2）或f(x）＝－eq\r(2)x＋1＋eq\r（2).(2)∵f(x＋eq\f（1，x）)＝x2＋eq\f(1，x2）＝（x＋eq\f(1,x))2－2，∴f(x）＝x2－2.又x≠0，∴x＋eq\f(1,x)≥2或x＋eq\f(1，x)≤－2,∴f(x)中的x与f(x＋eq\f（1,x)）中的x＋eq\f(1,x）取值范围相同,∴f(x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞)．（3）∵f(x）＋2f（－x)＝x2＋2x，将x换成－x，得f(－x）＋2f(x)＝x2－2x,∴联立以上两式消去f（－x），得3f（x)＝x2－6x，∴f（x）＝eq\f(1，3）x2－2x.跟踪训练1解（1）由题意,设f(x)＝ax＋b（a≠0)，∵3f（x＋1）－f(x)＝2x＋9，∴3a(x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9,即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，，3a＋2b＝9，）)∴a＝1，b＝3.∴所求函数解析式为f（x）＝x＋3。(2）设x＋1＝t，则x＝t－1，f（t)＝（t－1)2＋4(t－1）＋1，即f(t）＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x）＝x2＋2x－2.(3)∵f（x）＋2f（eq\f（1,x)）＝x，将原式中的x与eq\f(1，x)互换，得f（eq\f（1，x）)＋2f(x）＝eq\f(1，x).于是得关于f(x)的方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(fx＋2f\f（1，x)＝x，，f\f(1，x)＋2fx＝\f(1，x），)）解得f（x)＝eq\f(2，3x）－eq\f(x，3）(x≠0）．例2解由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．当x＝±1时，y有最小值0。当x＝0时，y有最大值1.x＝±eq\f（1，2）时，y＝eq\f（\r(3),2).利用以上五点描点连线,即得函数y＝eq\r(1－x2)的图像如下：跟踪训练2解(1）列表：x0eq\f（1,2)1eq\f（3，2）2y12345当x∈[0,2］时，图像是直线的一部分,观察图像可知，其值域为[1,5]．（2）列表：x2345…y1eq\f（2，3）eq\f（1,2）eq\f(2，5）…当x∈[2，＋∞)时,图像是反比例函数y＝eq\f(2，x)的一部分,观察图像可知其值域为（0，1]．（3)列表：x－2－1012y0－1038图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1，8］．例3［－2,4]∪[5，8］［－4,3]解析函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．跟踪训练3解f（x)＝x2－4x＋3（x≥0）图像如图,f（x)与直线y＝m图像有2个不同交点，由图易知－1〈m≤3.例4解（1)不能用解析法表示，用图像法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图像如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势,表明他的数学成绩在稳步提高．跟踪训练41解析∵f(1）＝2，