高中数学北师大版一学案：第三章 2 指数扩充及其运算性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化。2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质。3.能用实数指数幂运算性质化简、求值．知识点一分数指数幂思考由a2＝22(a〉0)易得a＝2＝，由此你有什么猜想？梳理分数指数幂(1）定义:给定__________a，对于任意给定的整数m，n（m,n互素)，存在唯一的__________b，使得____________,我们把b叫作a的____________,记作b＝__________。（2)意义正分数指数幂负分数指数幂0的分数指数幂前提条件a>0，m，n均为正整数,m，n互素结论＝________＝______＝________＝______，无意义知识点二无理数指数幂思考无理数是无限不循环小数,课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的?梳理无理数指数幂无理数指数幂aα（a〉0，α是无理数)是一个确定的正实数．至此，指数幂aα的指数取值范围扩充为R.知识点三实数指数幂的运算性质思考1在实数指数幂ax中,为什么要规定a〉0？梳理一般地,在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数．思考2初中,我们知道a≠0，m〈n时有eq\f(am，an）＝a－(n－m)(其中m，n为正整数）．那么，当a>0，m,n为任意实数时，上式还成立吗？梳理一般地,当a>0，b〉0时，有:（1）am·an＝am＋n；(2)（am）n＝amn；（3）(ab）n＝anbn，其中m，n∈R.知识点四实数指数幂的化简思考如何化简(eq\f（a－1\r（b－1）,b\r（a）)）？梳理实数指数幂的化简中,先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简．类型一根式与分数指数幂之间的相互转化eq\x(命题角度1分数指数幂化根式)例1用根式的形式表示下列各式（x〉0，y>0）．（1)；(2)。反思与感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握．跟踪训练1用根式表示(x〉0，y〉0)．eq\x（命题角度2根式化分数指数幂）例2把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0,b>0。(1)eq\r(5,a6)；(2)eq\f（1，\r(3,a2））;（3）eq\r（4,\f（b3,a2))；(4)eq\r(－a6）.反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如（－1)＝eq\r(3，－1)＝－1，但（－1）就不是实数了．为了保证在eq\f（m,n）取任何有理数时，都有意义，所以规定a〉0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂．（1)eq\r（6,8\r（2））；（2）eq\r（a\r(a）)（a〉0）；（3)b3·eq\r(3，b2）;（4）eq\f(1，\r(3，x\r(5,x2）2））.类型二运用指数幂运算公式化简求值例3计算下列各式（式中字母都是正数）．（1)(0.027)＋(eq\f(27,125)）－（2eq\f（7,9）)0.5；(2）(3）反思与感悟一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练3（1）化简：（eq\f(1，8)）×（－eq\f（7，6)）0＋80.25×eq\r（4，2）＋(eq\r（3，2)×eq\r（3))6；(2)化简：（3)已知＝5,求eq\f（x2＋1，x)的值．类型三运用指数幂运算公式解方程例4已知a〉0，b〉0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数,给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的．跟踪训练4已知67x＝27，603y＝81，求eq\f（3，x)－eq\f（4，y)的值．1．化简的值为（)A．2 B．4C．6 D．82．等于(）A．25B.eq\f(1，25)C．5D。eq\f（1,5)3．用分数指数幂表示eq\r（a－b3)（a>b）为()A．(a－b) B．（b－a)C．（a－b） D．(a－b)4．(eq\r(3,\r(6，a9)）)4等于（)A．a16B．a8C．a4D．a25．计算4eq\r(2)＋1×22－2eq\r(2）的结果是(）A．32B．16C．64D．1281．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的;无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号,底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质．2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中,一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．

答案精析问题导学知识点一思考当a>0，b〉0时,若am＝bn,则a＝(m，n为非零整数）．梳理(1)正实数正实数bn＝ameq\f(m,n)次幂(2)eq\r（n,am）eq\f（1，\r（n，am)）0知识点二思考随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数．知识点三思考1把指数扩大为全体实数后，若a<0，ax有时没有意义，如(－2）,为运算方便，规定a>0.思考2因为指数已扩充为实数，故有eq\f（am，an)＝am·a－n＝am－n.既不必再区分m、n的大小，也不必区分am·an和eq\f（am,an）了．知识点四思考（eq\f（a－1\r（b－1）,b\r（a)))＝（a－1·a·b·b－1)＝（题型探究例1解（1)＝eq\r（5,x2）。（2）＝eq\f（1,\r(3，x5)).跟踪训练1解＝eq\f（1,\r(x))·eq\r（3,y2）.例2解（1）eq\r(5,a6）＝(2)eq\f(1，\r(3，a2))＝(3）eq\r(4,\f(b3,a2））＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(b3，a2))）＝(4)eq\r(－a6)＝eq\r(a6）＝＝a3.跟踪训练2解(1)(2)（3)b3·eq\r（3，b2)＝b3·(4）例3解(1)（0.027）＋（eq\f（27，125）)－(2eq\f(7,9))0。5＝(eq\r(3，0。027))2＋eq\r（3,\f(125，27)）－eq\r(\f(25,9)）＝0.09＋eq\f（5,3）－eq\f（5，3)＝0。09。(2)原式＝[2×(－6)÷（－3)]＝4ab0＝4a.(3)＝.跟踪训练3解(1）原式＝(2）＝5×(－4)×(－eq\f(6，5))×(3)由＋＝5,两边同时平方得x＋2＋x－1＝25,整理得x＋x－1＝23，则有eq\f（x2＋1,x)＝23.例4解方法一∵a〉0，b>0,又ab＝ba，∴方法二∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，即(a9）a＝(9a）a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝eq\r(4，3）.跟踪训练4解由67x＝33，得67＝3,由603