线性空间及线性变换

第六章线性空间及线性变换一、基本概念和重要结果1.空间的直和

我们用W=V1+V2记子空间V1与V2的和,用W=V1△V2记W是V1与V2的直和.(1)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2,对任意的有,其中,i=1,2,且表示法是唯一的.(2)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且零向量的表示法是唯一的.(3)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且V1∩V2={0}.(4)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且W的维数=V1的维数+V2的维数.目前一页\总数六十九页\编于八点(5)若是线性空间V的一组基,则其中表示由生成的子空间.(6)若W=V1+V2且V1与V2正交,则W=V1△V2.

上面的结论可推广到多个子空间的情况.(7)设线性变换/A的特征多项式为:则V可分解为A的不变子空间的直和V=V1△V2△…△Vs,其中:是A属于的根子空间.目前二页\总数六十九页\编于八点2.子空间的性质

我们用dimV表示线性空间V的维数.(1)设V1和V2是线性空间V的子空间,则

dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2).(2)设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存在,使,(3)设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成子空间V1.3.子空间的和与交的基与维数的求法

设V1和V2是线性空间V的子空间,是V1的一组基,是V2的一组基.目前三页\总数六十九页\编于八点(1)V1+V2的基与维数.

令矩阵,求A的秩,则V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为V1+V2的基.(2)V1∩V2的基与维数.

令,解这个方程组求它的一个基础解系:(xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基,V1∩V2的维数等于d=k+l-r.4.线性变换的值域与核

线性变换/A的值域,/A的核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.目前四页\总数六十九页\编于八点(2)dim/AV+dimA-1(0)=dimV.(4)/AV和/A-1(0)都是线性变换/A的不变子空间.(5)/A与/B可换,则/B的核与值域也是/A的不变子空间.(1)dim/AV=A的秩,,其中是线性空间V的一组基.(3)设是/AV的一组基且,1≤i≤r,则V=/A-1(0)△.一般地V不等于/AV与/A-1(0)的直和.5.不变子空间(1)线性空间V的子空间W是线性变换/A的不变子空间当且仅当对任意的有.目前五页\总数六十九页\编于八点(3)不变子空间的和与交是不变子空间.(4)任一空间是数乘变换的不变子空间.(6)设V1是线性变换/A的不变子空间,则对任一多项式f,V1是f(A)的不变子空间.(8)V1是线性变换/A和/B的不变子空间,则它也是/A+/B及/A/B的不变子空间.(2)设是线性变换/A的特征根,则A属于的特征子空间是A的不变子空间.(5)设W是线性空间V的子空间且,则W是A的不变子空间当且仅当,i=1,2,…,r.(7)设/A和/B是线性变换且/A/B=/B/A,是/A的特征子空间,则也是/B的不变子空间.目前六页\总数六十九页\编于八点二、基本方法1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2只要证明以下两点:(1)V1∩V2={0};(2)dimV=dimV1+dimV2.3.证明多个子空间的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.4.几种常见的线性空间:2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成元组,然后证明线性无关.(1)数域P上的线性空间Pn,dimPn=n,是Pn的一组基,其中=(0,…,1,…,0),i=1,2,…,n.目前七页\总数六十九页\编于八点(2)数域P上的线性空间Pm×n,dimPm×n=mn,Eij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n是Pm×n的一组基,其中Eij是第i行第j列的元素为1,其余元素为0的m×n矩阵.(3)数域P上的线性空间P[x]n,dimP[x]n=n.1,x,x2,…,xn-1是P[x]n的一组基.5.求线性变换的特征值与特征向量的方法:(1)取定V的一组基,写出在这组基下的矩阵A.(2)求出|E-A|在数域P中的全部根,它们就是的全部特征值.(3)对每个特征值,解齐次线性方程组(E-A)X=0,求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标.目前八页\总数六十九页\编于八点

注意:在解方程|E-A|=0时,最好能分离出关于的因式,否则可用求整系数的有理根的方法求它的根.(一般地,A的元素是整数).三、例题考点1：线性空间的定义、维数与基,坐标变换

解:(1)显然只要验证对加法和数乘封闭即可.

例6.1.1(西安交通大学,2004年)设A∈Rn×n(R表示实数域)记S(A)={Z|AZ=ZA,Z∈Rn×n}(1)证明:S(A)为Rn×n的子空间.(2)若取A为对角阵,求S(A)的基与维数.考点点拨:主要对线性空间的定义、线性空间的维数和基的求出,以及线性空间中不同基之间的坐标变换的考查.目前九页\总数六十九页\编于八点(2)对任何矩阵C,若:

那么比较等式两边易得C(i,j)=0(i≠j),于是S(A)的维数为n维,它的一组基可取为E11,E22,…,Enn.□

例6.1.2(北京航空航天大学,2005年)设向量组与是两组n维向量,证明:若这两个向量组都线性无关,则的维数等于齐次方程组的解空间的维数.

对任意Z1,Z2∈S(A),任意k∈R,有A(Z1+Z2)=AZ1+AZ2=Z1A+Z2A=(Z1+Z2)A.知Z1+Z2∈S(A).(kZ1)A=kAZ1=A(kZ).知kZ1∈S(A).即知S(A)为一个子空间.目前十页\总数六十九页\编于八点

记矩阵

X=(x1,x2,…,xs,y1,y2,…,yt)T.

证明:设,,那么由题知dim(W1)=s,dim(W2)=t.

那么方程组AX=0的解空间的维数为:s+t-r(A),注意到W1+W2=,那么显然有dim(W1+W2)=r(A).于是有:s+t-r(A)=dimW1+dimW2-dim(W1+W2)=dim(W1∩W2).即解空间的维数等于的维数.□目前十一页\总数六十九页\编于八点

例6.1.3(北京理工大学,2004年)设A,B分别是数域K上的p×n、n×m矩阵,令V={x|x∈Km,ABx=0},W={y|y=Bx,x∈V}.证明:W是向量空间的子空间,且dimW=r(B)-r(AB).

证明:要证明W是一个子空间,只要说明它对加法和数乘封闭即可.

若y1,y2∈W,k∈K,那么存在x1,x2∈V,使得y1=Bx1,y2=Bx2,显然V是方程组ABx=0的解空间,它是一个子空间,那么有x1+x2∈V,kx1∈V,这时y1+y2=Bx1+Bx2=B(x1+x2).于是有y1+y2∈W,而ky1=kBx1=B(kx1),知ky1∈W,知W必是向量空间的一个子空间.

把B看成是向量空间Km到向量空间Kn的线性映射,那么有:W=B(V),于是有:dimImB|V+dimkerB|V=dimV(I)目前十二页\总数六十九页\编于八点

注意到ImB|V=W,那么有dimImB|V=dimW.而dimV=m-r(AB),kerB|V=kerB∩V.若Bx=0,显然有ABx=0,所以有kerBV,那么有B=B∩V.

注意到dimkerB即为Bx=0的解空间的维数,它等于m-r(B),于是有dimkerB|V=dimkerB∩V=dimkerB=m-r(B),代入等式(I)有:dimW+(m-r(B))=m-r(AB).移项即得:dimW=r(B)-r(AB).□

例6.1.4(中南大学,2003年)设P是一个数域,A是Pn×n中一个矩阵,令F(A)={f(A)|f(x)∈P[x]}.证明:(1)F(A)是Pn×n的一个线性子空间.(2)可以找到非负整数m,使I,A,A2,…,Am是F(A)的一组基.(3)F(A)的维数等于A的最小多项式的次数.目前十三页\总数六十九页\编于八点

解:(1)任取f(A),g(A)∈F(A),k∈P,有f(A)+g(A)=(f+g)(A).显然由f(x),g(x)∈P[x]可得(f+g)(x)=f(x)+g(x)∈P[x],于是有f(A)+g(A)∈F(A).而kf(A)=(kf)(A),那么由kf(x)∈P[x]可知kf(A)∈F(A),即知F(A)是Pn×n的一个线性子空间.(2)不妨设A的最小多项式为,并记=m+1,那么由m(A)=0且的首项系数为1可知Am+1可被I,A,A2,…,Am线性表出.

显然有任意f(A)∈F(A),都可使得f(A)被I,A,A2,…,Am线性表出.下证I,A,A2,…,Am线性无关,利用反证法.

若I,A,A2,…,Am线性相关,那么存在一组不全为零的数k0,k1,…,km∈P,使得:

k0I+k1A+k2A2+…+kmAm=0.目前十四页\总数六十九页\编于八点

令h(x)=k0+k1x+k2x2+…+kmxm,显然有h(A)=0且

,这将与是A的最小多项式矛盾.于是I,A,A2,…,Am线性无关,那么I,A,A2,…,Am构成F(A)的一组基.

(3)显然由第(2)问知I,A,A2,…,Am构成F(A)的一组基,那么有dim(F(A))=m+1=□

例6.1.5(北京大学,2002年)用Mn(K)表示数域K上所有n阶矩阵组成的集合,对于矩阵的加法和数量乘法它成为K上的线性空间.数域K上n阶矩阵称为循环矩阵.用U表示K上所有n阶循环矩阵组成的集合.证明:U是Mn(K)的一个子空间,并求U的一个基和维数.目前十五页\总数六十九页\编于八点

证明:令矩阵:

注意到J2,J3,…,Jn-1的形式,并有Jn=In,那么有.

若A,B∈U,k∈K,并记A=a1In+a2J+a3J2+…+anJn-1,B=b1In+b2J+b3J2+…+bnJn-1.那么有:kA=(ka1)In+(ka2)J+(ka3)J2+…+(kan)Jn-1,A+B=(a1+b1)In+(a2+b2)J+(a3+b3)J2+…+(an+bn)Jn-1,目前十六页\总数六十九页\编于八点

即U必是Mn(K)的一个子空间,且其中的所有矩阵都可以表示为In,J,J2,J3,…,Jn-1的线性组合,注意到In,J,J2,J3,…,Jn-1是线性无关的,那么有dim(U)=n,且U的一组基即为：In,J,J2,J3,…,Jn-1.□

例6.1.6(北京交通大学,2004年)设V是数域P上次数小于n的多项式全体构成的线性空间,a1,a2,…,an是n个互不相同的数,f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an),而.证明:f1(x),f2(x),…,fn(x)是V的一组基.

证明:显然有dim(V)=n,若要证明f1(x),f2(x),…,fn(x)是V的一组基,只要证明它们是线性无关的即可.作线性组合k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)=0.

将x=aj代入,注意到fi(aj)=0(i≠j),那么可得kjfj(aj)=0.目前十七页\总数六十九页\编于八点

注意到a1,a2,…,an互不相同,显然有fj(aj)≠0,于是有kj=0,由j可以任取,可知k1=k2=…=kn=0.即f1(x),f2(x),…,fn(x)线性无关,成为V的一组基.□考点2：线性子空间的和、交、并、直和及之间的关系,同构的概念

例6.2.1(上海交通大学,2004年)设A是数域P上n阶可逆矩阵.任意将A分为两个子块.证明n维线性空间Pn是齐次线性方程组A1X=0的解空间V1与A2X=0的解空间V2的直和.考点点拨：对线性子空间的和、交、并、直和及之间的关系,同构的概念的考查.目前十八页\总数六十九页\编于八点

那么有A1A-1=(Ir,0),A2A-1=(0,In-r).

对任意的X∈Rn,不妨设

其中分别是r维和n-r维向量.

那么有:

有:

证明:由于A是可逆矩阵,那么A的所有行向量线性无关,不妨设r(A1)=r,那么显然有r(A2)=n-r.注意到目前十九页\总数六十九页\编于八点

知X1∈V1,X2∈V2.显然V为V1和V2的和.又有dimV1=n-r,dimV2=n-(n-r)=r,dim(V1+V2)≤dimV=n.于是由维数公式

dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)=dimV1+dimV2可知dim(V1∩V2)≤0,必有dim(V1∩V2)=0,也即V1∩V2={0},显然V为V1和V2的直和.□

例6.2.2(浙江大学,2006年)设W,W1,W2是向量空间V的子空间W1

W2,W1∩W=W2∩W,W1+W=W2+W.证明:W1=W2.证明:对于i=1,2,都有dim(Wi+W)=dimWi+dimW-dim(Wi∩W).由题目条件有dim(W1∩W)=dim(W2∩W),dim(W1+W)=dim(W2+W).目前二十页\总数六十九页\编于八点

那么显然有dimW1=dimW2.又由W1

W2,可知W1=W2.□

例6.2.3(武汉大学,2006年)设数域K上的n维矩阵A,B,C,D关于矩阵的乘法两两交换,且满足AC+BD=I,又设线性方程组ABX=0,BX=0与AX=0的解空间分别是W,I,M.证明:W是I与M的直和.

证明:任取,那么有,注意到AC+BD=In(I)将等式(I)两边同时作用,那么有.

注意到A,B,C,D关于乘法两两交换,于是有:则有.即有W=I+M.目前二十一页\总数六十九页\编于八点

若,那么有,于是将等式(I)两边同时作用有,即有I∩M={0}.那么有W=I△M.□

例6.2.4(北京理工大学,2005年)设A为数域F上的n阶矩阵,f(x),g(x)∈F[x],证明：如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式,那么齐次线性方程组d(A)X=0的解空间等于f(A)X=0的解空间与g(A)X=0的解空间的交集.

证明:由题知,存在u(x),v(x)∈F[x],使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x).且存在h(x),k(x),使得f(x)=h(x)d(x),g(x)=k(x)d(x).

那么有u(A)f(A)+v(A)g(A)=d(A)(I)

f(A)=h(A)d(A),g(A)=k(A)d(A)(II)目前二十二页\总数六十九页\编于八点

证明:(1)必要性

不妨设d(A)X=0的解空间为W，f(A)X=0的解空间为U,g(A)X=0的解空间为V.

若d(A)X=0,那么由(II)知

f(A)X=h(A)d(A)X=0,g(A)X=k(A)d(A)X=0,于是有WU∩V.

若f(A)X=0且g(A)X=0,那么由(I)可知d(A)X=u(A)f(A)X+v(A)g(A)X=0于是有U∩VW，那么可得W=U∩V.□

例6.2.5(重庆大学,2005年)设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)=r(B)的充要条件是ABx=0的解均为Bx=0的解.

记ABx=0的解空间为W1,Bx=0的解空间为W2,那么如果Bx=0,显然有ABx=0,即有W2

W1.目前二十三页\总数六十九页\编于八点

由dimW1=n-r(AB),dimW2=n-r(B),且r(AB)=r(B)可知dimW1=dimW2.那么有W1=W2,显然有ABx=0的解均为Bx=0的解.(2)充分性

若ABx=0的解均为Bx=0的解,那么有W1

W2.

又显然有W2

W1,于是可得W1=W2,那么dimW1=dimW2.

由dimW1=n-r(AB),dimW2=n-r(B),即知r(AB)=r(B).□

例6.2.6(复旦大学,2002年)设n为一个自然数,V是由所有n×n实矩阵构成的n2维实向量空间,U和W分别为由所有n×n对称矩阵和反对陈矩阵构成的空间.证明:V=U△W,即V是U和W的直和.目前二十四页\总数六十九页\编于八点

然后证明是直和.只要证明U∩W={0}即可.

证明:先证明V=U+W,显然U+W

V,下证V

U+W,任取A∈V,有容易验证是对称矩阵,是反对陈矩阵,因此有V

U+W,可得V=U+W.

任取B∈U∩W,有BT=B,BT=-B,于是B=-B,即2B=0,从而B=0,因此U∩W={0}.

综上所述,V=U△W.□

例6.2.7(上海大学,2005年)Fn是n×n矩阵的全体,已知V1={x|Ax=0,x∈Fn},V2={x|(A-I)x=0,x∈Fn},求证:Fn=V1△V2的充分必要条件是A2=A.目前二十五页\总数六十九页\编于八点

证明:(1)充分性:

若A2=A,那么有A(A-I)=(A-I)A=0.

即有:Fn=V1+V2

那么有V1+V2={0}

于是Fn=V1△V2.有:

显然有:

于是有:

若∈V1∩V2,那么显然有A=0,(A-I)=0,两式相减即得=0目前二十六页\总数六十九页\编于八点

证明:(2)必要性:

若Fn=V1△V2,那么有n=dim(Fn)=dimV1+dimV2.记dimV1=r,那么有dimV2=n-r.于是A的特征值0的特征子空间的维数为r,属于特征值1的特征子空间的维数为n-r,那么存在可逆矩阵P,使得:

于是:□目前二十七页\总数六十九页\编于八点

例6.2.8(北京师范大学,2006年)V是n维线性空间,V1,V2是V的子空间,且V1,V2的维数相等.证明:存在一个子空间W,使得V=V1△W=V2△W.

证明:不妨设dim(V1∩V2)=r,dimV1=dimV2=m,那么有dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2)=2m-r.

将它扩充为V的一组基为:

记空间V1∩V2的一组基为:

那么可将它扩充为V1的一组基为:

也可将它扩充为V2的一组基为:

那么显然有V1+V2的一组基为:目前二十八页\总数六十九页\编于八点

那么有dimW=m-r+(n+r-2m)=n-m.

注意到dimV1=m,那么有dimV=dimV1+dimW.记:

由的线性无关显然可得是线性无关的.

若,那么有:

那么移项有目前二十九页\总数六十九页\编于八点

且有kr+1-lr+1=0,…,km-lm=0.

将lj=0(j=r+1,…,m)代入上式有ki=0(i=r+1,…,m).

于是有dimV=dim(V1+W)=dimV1+dimW.

显然有V=V1△W.

同理有V=V2△W.□

那么由的线性无关有ki=0(i=1,2,…,r),lj=0(j=r+1,…,n+r-2m).

于是有=0,即V1∩W={0}.

例6.2.9(北京邮电大学,2003年)

证明:同一个数域P的两个有限维的线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.

证明:设V和V/都是数域P上的有限维线性空间.目前三十页\总数六十九页\编于八点

必要性的证明见下面的理论链接(6),下证充分性.

设dimV=dimV/=n,在V,V/中可取一组基:

令:

从(I)看出,V中的每一个向量在V/中都有唯一的向量与对应.由于是V/的一组基,因此V中不同的向量对应于V/中不同的向量;并且对V/中每个向量,都有V中的向量对应于.因此是V到V/的双射 .目前三十一页\总数六十九页\编于八点

注(理论链接):关于线性空间的同构概念和性质如下:

设:

则:

因此是一个V到V/的同构映射,从而V≌V/.□(1)设V与V/都是域F上的线性空间,如果有V到V/的一个双射,使得对于任意V,k∈F,有.目前三十二页\总数六十九页\编于八点

那么称是V到V/的一个同构映射(简称为同构).如果V到V/有一个同构映射,则称V和V/是同构的,记为V≌V/.(2)(0)是V/的零元素0/.(3)对任意的,有.(4)对于V中的任一组向量,F中任意一组元素k1,k2,…,ks有:(5)V中向量组线性相关,当且仅当是V/中线性相关向量组.(6)如果是V的一个基,则是V/的一个基.目前三十三页\总数六十九页\编于八点

证明如下:考点3:线性映射、线性变换与矩阵

由(5)可知是V/的一个线性无关的向量组.任取,由于是V到V/的一个满射,因此存在,使得.

设:

则:

因此是V/的一个基.考点点拨：对线性映射的定义,线性变换在不同基下的矩阵表示及联系的考查,其中包括了对线性变换的逆与直和及子空间一系列概念的综合考查.目前三十四页\总数六十九页\编于八点

例6.3.1(上海交通大学,2004年)

设为线性空间V的一个线性变换,.证明:(1)的特征值只能是1或0.(2)若用V1与V0分别表示对应于特征值1和0的特征子空间,则,.(3)

解:(1)不妨设为的某个特征值,对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量)为,那么由于,有,也即有,于是,那么或.于是的特征值只能为1或0.(2)使得,那么目前三十五页\总数六十九页\编于八点

那么有,于是.

另一方面,若,那么,显然有,即有.

于是有.,即有,显然有,即有.

若,那么,即,于是,则.(3)

于是V=V1+V0.目前三十六页\总数六十九页\编于八点

证明:(1)必要性

而若V1∩V0,那么有.

即有,那么有V1∩V0={0}

可见有.□

例6.3.2(浙江大学,2003年)设A为n阶复矩阵,若存在正整数m使得Am=0,则称A为幂零矩阵.求证:(1)A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为零.(2)设A不可逆,也不是幂零矩阵,那么存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=,其中B是幂零矩阵,C是可逆矩阵.

若A是幂零矩阵,那么若取A的特征值为,对应于的特征向量为,有A=,于是0=0=An=,即可得=0,所以A的特征值全为0.目前三十七页\总数六十九页\编于八点

充分性:若A的特征值全为零,那么A的Jordan标准形J中对应的Jordan块都形如Jk(0),不妨设这些Jordan块中阶数最大的为m,那么显然有Jm=0,由A相似于其Jordan标准形,那么存在可逆矩阵P使得A=PJP-1,那么有Am=PJmP-1=0.(2)由于A不可逆,那么A必有特征值为零,那么A的特征值多项式必可写成的形式(其中k>0,且的首项系数为1.).

若=1,那么,于是f(A)=An=0,知A必为幂零矩阵,导致矛盾.可见,于是将分解为一次因式的乘积,可得A的所有的初等因子,将A的所有的对应于特征值零的Jordan块组成块对角矩阵B,显然B是个幂零矩阵,而将A的所有的对应于非零特征值的Jordan块组成对角矩阵C,由于上三角阵C目前三十八页\总数六十九页\编于八点

显然J为A的Jordan标准形那么存在可逆矩阵P,使得:的主对角线上没有零元,显然C可逆,令□

例6.3.3(浙江大学,2004年)设V=Pn×n是P上的线性空间.取定A,B,C,D∈Pn×n,对任意X∈Pn×n,令

(X)=AXB+CX+XD.求证:(1)是V的线性变换.(2)当C=D=0,可逆的充要条件是|AB|≠0.目前三十九页\总数六十九页\编于八点(2)充分性

证明:(1)显然有(X)∈V,知是V上的线性变换,下面证明它必是线性的.

即为V上的线性变换.

若|AB|≠0,那么有|A|≠0且|B|≠0,则矩阵A,B都可逆.若令Y=AXB,那么有X=A-1YB-1,于是可令

-1(X)=A-1XB-1,易验证,即有可逆.目前四十页\总数六十九页\编于八点

特别地,取Y=In代入(I)式并在两边取行列式有|AXB|=1≠0,显然可得|AB|≠0.□

证明:必要性.

必要性:若可逆,那么显然有为V上的双射,且是满射,那么任取Y∈V,存在X∈V使得AXB=Y(I)

例6.3.4(华中科技大学,2006年)

设是数域P上的n维线性空间V的线性变换,W1,W2是V的子空间,并且V=W1△W2,证明:有逆变换的充分必要条件是:

若有逆变换,那么是个V上的双射,显然也是V上的同构变换,注意到同构变换不改变向量组的线性相关性那么显然有:目前四十一页\总数六十九页\编于八点.即有,由是个单射知,即有,由V是W1与W2的直和知.即有,知,于是比较维数有:

而若,那么存在使得:

也即有:

充分性:若且V=W1△W2,下面证明必可逆.

由V=W1△W2,不妨设dimW1=r,取W1的一组基和W2的一组基合起来构成V的一组基.若一个空间中的一组向量线性相关,那么这组向量在下的象也必线性相关,那么显然有.若或,将导致的矛盾,于是必有.目前四十二页\总数六十九页\编于八点

例6.3.5(武汉大学,2003年)设V1和V2是向量空间V的子空间,且V=V1△V2(即V是V1与V2的直和),若定义映射：

注意到张成了空间,由知必线性无关,那么就构成了的一个基.同理构成了的一个基,由V=W1△W2

知这两组基合起来就构成了V的一组基,于是取V上的变换如下:将V上的基依次映射到基

显然易验证.

即有是的逆变换.□目前四十三页\总数六十九页\编于八点

证明:(1)f1,f2是V的线性变换.(2)f12=f1,f22=f2.(3)f1f2=f2f1=0(零变换),f1+f2=idV(V的恒等变换).知f1,f2都是V的线性变换.

证明:(1)对∈V和常数k有:目前四十四页\总数六十九页\编于八点即知f12=f1,f22=f2.即有:f1f2=f2f1=0,f1+f2=idV.□(2),有：(3),有：且有：目前四十五页\总数六十九页\编于八点

下面证这个线性变换是唯一的.

可见有S=T,即得唯一性.□

例6.3.6(重庆大学,2003年)设e1,e2,…,en是n维线性空间Vn的一组基,对任意n个向量,证明:存在唯一的线性变换T使得.

证明:显然,由于e1,e2,…,en是它的一组基,那么可写为=l1e1+l2e2+…+lnen(I)

作Vn上的线性变换T为,那么显然有T()=l1T(e1)+l2T(e2)+…+lnT(en)

若还有一个线性变换S满足,那么对于(I)中任取的有S()=l1S(e1)+l2S(e2)+…+lnS(en)目前四十六页\总数六十九页\编于八点

例6.3.7(重庆大学,2004年)已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V:(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2);k(a,b)=(ka,kb+[k(k-1)/2]a2)(1)求V的一组基.(2)定义变换/A(a,b)=(a,a+b),证明:/A是一个线性变换,并求/A在V的一组基下的矩阵表示.

解:(1)显然dimV=2,那么只要找到V中的两个线性无关的向量即可组成V的一组基,考查V中的两个向量:e1=(1,0),e2=(0,1).

下面证明它们是线性无关的,令它们的线性组合为零,有:k1(1,0)+k2(0,1)=(0,0).

于是有:(k1,[k1(k1-1)/2]+k2)=(0,0).目前四十七页\总数六十九页\编于八点即有e1,e2线性无关,并组成V的一组基.(2)任取(a,b),(c,d)∈V,k∈R,有/A((a,b)+(c,d))=/A((a+c,b+d+ac))=(a+c,a+b+c+d+ac),/A(a,b)+/A(c,d)=(a,a+b)+(c,c+d))=(a+c,a+b+c+d+ac)

即知/A((a,b)+(c,d))=/A(a,b)+/A(c,d).

那么有:

易推得:

而目前四十八页\总数六十九页\编于八点

显然有:/A(k(a,b))=k/A(a,b).

即知/A是个线性变换.

由(1)知e1,e2是V的一组基,下面求线性变换/A在这组基下的矩阵表示.

由/A(e1)=/A((1,0))=(1,1),不妨设(1,1)=l1e1+l2e2

解得:l1=l2=1.

而显然:/A(e2)=/A((0,1))=(0,1)=1·(0,1),

那么可得

于是有:

即为/A在基e1,e2下的矩阵表示.□目前四十九页\总数六十九页\编于八点

例6.3.8(北京科技大学,2004年)如果都是幂等的线性变换.证明:(1)如果,则也是幂等变换.(2)如果是幂等变换,则.

证明:(1)若,那么

即也是幂等变换.(2)(大连理工大学,2007年考过)目前五十页\总数六十九页\编于八点

如果是幂等变换，则.

设全空间为V,且不妨设为的某个特征值,且对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量)为,那么由,有.

也即有,于是,那么或.

于是的特征值只能为1或0,那么记V1和V0分别为线性变换的对应于特征值1和特征值0的特征子空间,那么,有:由知于是V=V1+V0.

而若,那么有目前五十一页\总数六十九页\编于八点

于是有V=V1△V0.

即有,那么V1∩V0={0}.

由易得,存在,使得

等式(I)两边同时作用有

注意到,且(I)式两边同时作用有

那么由(II)易推得

注意到的特征值只能有1和0,那么必有(否则就有特征值为-1,导致矛盾),于是就有:

即有:.□目前五十二页\总数六十九页\编于八点

例6.3.9(华东师范大学,2002年)设/A为数域K上的n维线性空间V的一个线性变换,满足/A2=/A,C为/A在V的某组基下的矩阵,且有r(C)=r.(1)证明:(i)A+E为V的可逆线性变换;(ii)r(C)=tr(C).(2)试求|2E-C|.(E为单位矩阵或恒等变换)

证明:(1)(i)显然只要证明C+I是个可逆阵即可.

由/A2=/A可知C2=C.由对矩阵作分块矩阵的初等变换可得r(C)+r(I-C)=n.若设r(C)=r,那么矩阵C对应于特征值1的线性无关的特征向量的个数为r个,对应于特征值0的线性无关的特征向量的个数为n-r个,将这些特征向量合并成可逆矩阵P,有:目前五十三页\总数六十九页\编于八点

即知C+I可逆,那么/A+/E为V上的可逆线性变换.(ii)显然由(I)式可得:(2)由(I)知:

那么有:

显然有:□目前五十四页\总数六十九页\编于八点考点4:特征值、特征向量、矩阵的对角化与矩阵的幂考点点拨：对矩阵的特征值、特征向量的定义和性质，以及利用矩阵的完全的特征向量系对角化并利用对角化形式计算矩阵的幂的考查,包含了将矩阵看成是线性变换的情形.

例6.4.1(上海交通大学,2004年)对于数域P上的n维线性空间V,假设存在V上的线性变换,满足(1);(2)的秩小于的秩.试证明:与至少有一个公共的特征向量.分析:注意将线性变换转换成矩阵的形式以简化条件.目前五十五页\总数六十九页\编于八点

那么由题目条件可知:CB=0,r(A)<r(B).

下面找出A和C的一个公共的特征向量.

由条件CB=0知,B的列向量全属于线性方程组Cx=0的解空间,那么显然有B的列秩满足r(B)≤n-r(C).

由r(A)<r(B)知r(A)+r(C)<n.

不妨设Ax=0,Cx=0的解空间分别为V1,V2,那么dimV1+dimV2=n-r(A)+n-r(C)>n.

证明:取定V中的一组基e1,e2,…en,不妨设在这组基下的矩阵表示分别为A,B,C.

注意到V1+V2

V,显然有dim(V1+V2)≤dimV=n.目前五十六页\总数六十九页\编于八点

利用维数公式

dim(V1∩V2)=dimV1+dimV2-dim(V1+V2)>0

证明:必要性显然,下证充分性.

即存在非零向量V1∩V2,显然就是属于A和C的特征值为零的公共的特征向量.那么以e1,e2,…en为基,以为坐标的V中的向量即为与的一个公共的特征向量.□

例6.4.2(浙江大学,2006年)设A为实矩阵,证明存在正交矩阵G,使得G-1AG为上三角矩阵的充要条件是A的特征值均为实数.

若A的特征值全为实数,对A的阶数n使用数学归纳法.

n=1时结论显然成立.目前五十七页\总数六十九页\编于八点

假设在n-1时结论成立,那么在A的阶数为n时,取A的一个特征值为所对应的一个单位特征向量,显然有,那么将扩充为n维列向量空间V的一组标准正交基为,将A看成是V上的线性变换,有:

令正交阵,那么.

显然有矩阵与矩阵A相似,那么它们有着相同的特征值,于是n-1阶矩阵A1的特征值必全为实数.利用归纳假设,存在正交矩阵P1使得P1-1A1P1=D为上三角矩阵,若令,显然G-1AG为上三角矩阵.□目前五十八页\总数六十九页\编于八点

例6.4.3(北京航空航天大学,2004年)设T是n维线性空间V的一个线性变换,是T的一个特征值,是T的关于特征值的特征子空间,证明:的维数≤的重数

分析:也即特征值的几何重数不超过其代数重数,在一般的高代书上都有解答.

证明:设dim=t,且有e1,e2,…,et是的一组基,由于中的元素都是T的关于的特征向量,那么有:

将e1,e2,…,et扩充为V的一组基,记为e1,…,et,et+1,…,en,那么T在这组基下的矩阵表示为:目前五十九页\总数六十九页\编于八点

注:几何重数和代数重数的定义:

显然n维空间V上的线性变换有完全的特征向量系当且仅当有n个线性无关的特征向量.

设是V上的线性变换,是的一个特征值,V0是关于的特征子空间,则称dimV0为