第二十六章反比例函数（基础过关）-2022-2023学年九年级数学下册单元过关测试定心卷（人教版）（解析版）

-2023学年人教版九年级数学下册单元测试定心卷第二十六章反比例函数（基础过关）时间：100分钟总分：120分选择题（每题3分，共24分）1．反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣1，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣4） B．（1，4） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣1，4），∴k＝﹣1×4＝﹣4．A、﹣1×（﹣4）＝4；B、1×4＝4；C、﹣2×（﹣2）＝4；D、2×（﹣2）＝﹣4．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k＝﹣4．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k的值是关键．2．当物体表面所受的压力F（N）一定时，物体表面所受的压强P（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（）A． B． C． D．【解析】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解析该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．3．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，连接OA，已知△AOH的面积是6，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12【解析】解：设A点坐标为A（x，y），由图可知A点在第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵AB⊥x轴，∴|AB|＝y，|OB|＝|x|，∴S△AOH＝×|AB|×|OB|＝×y×|x|＝6，∴﹣xy＝12，∴k＝﹣12故选：D．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．4．已知反比例函数，当x＜0时，y随x增大而减小，则a的值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x增大而减小，∴2﹣a＞0，解得：a＜2，故a的值可能是1．故选：A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．5．如图为反比例函数y＝，y＝，y＝在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（）A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k1＞k2 D．k3＞k2＞k1【解析】解：由图知，y＝的图象在第二象限，y＝，y＝的图象在第一象限，∴k1＜0，k2＞0，k3＞0，又当x＝1时，有k2＜k3，∴k3＞k2＞k1．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质．k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；k＞0时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．6．如图，反比例函数的图象与矩形OABC的边分别交于点E、F，且AE＝BE，点A、C分别在x、y轴上，若△OEF的面积为3，则k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：连接OB．∵E、F是反比例函数的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，∴S△AOE＝S△COF＝k．∵AE＝BE，∴S△BOE＝S△AOE＝k，S△BOC＝S△AOB＝k，∴S△BOF＝S△BOC﹣S△COF＝k﹣k＝k，∴F是BC的中点．∴S△OEF＝S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF＝2k﹣﹣﹣＝3，解得k＝4．故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|．得出点F为BC的中点是解决本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（）A．a＝2.5 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝3.5【解析】解：如图．由题意知，矩形平移到图示的位置时，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象．∵AB＝2，AD＝4，平移前点A的坐标为（2，6），∴平移后A坐标为（2，6﹣a），平移后点C的坐标为C（6，4﹣a）．∴2（6﹣a）＝6（4﹣a）．∴a＝3．故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征、矩形的性质、平移，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征、矩形的性质、平移的性质是解决本题的关键．8．如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36 B．18 C．12 D．9【解析】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．二．填空题（每题3分，共24分）9．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜2．【解析】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，∴k﹣2＜0，解得k＜2，故答案为：k＜2．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＜0时，y＝的图象位于第二、四象限．10．反比例函数y＝与正比例函数y＝﹣2x的图象的一个交点为（﹣3，6），则另一个交点为（3，﹣6）．【解析】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，∵一个交点坐标为（﹣3，6），∴另一个交点坐标为（3，﹣6）．故答案为：（3，﹣6）．【点睛】本题考查了反比例函数的中心对称性，掌握反比例函数与正比例函数都是中心对称图形是解题的关键．11．如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，若S△ABC＝3，则k＝﹣6．【解析】解：设点A的坐标为（x，y），∵点A在第二象限，∴x＜0，y＞0，∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝3，∴xy＝﹣6，∵A是反比例函数y＝的图象上一点，∴k＝xy＝﹣6，故答案为：﹣6．【点睛】本题考查了反比例函数系k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出xy的值．12．若反比例函数y＝的图象过点（﹣2，a）、（2，b），且a﹣b＝﹣6，则k＝6．【解析】解：∵反比例函数y＝的图象过点（﹣2，a）、（2，b），∴k＝﹣2a＝2b，∴a+b＝0，∵a﹣b＝﹣6，∴a＝﹣3，b＝3，∴k＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．13．如图，已知点A是反比例函数y＝﹣的图象上的一个动点，连接OA若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为y＝．【解析】解：∵点A是反比例函数y＝﹣的图象上，∴S△OAC＝|k|＝1，∵线段OB是由线段OA绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，又∵∠AOC+∠OAC＝90°，∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴S△OBD＝S△AOC＝1＝|k|，又∵k＞0，∴k＝2，∴过点B的反比例函数关系式为y＝，故答案为：y＝．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．14．对于反比例函数y＝﹣，当0＜x≤a（a＞0）时y≤﹣1恒成立，则a的取值范围为0＜a≤2．【解析】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当y＝﹣1时，x＝2，∵对于反比例函数y＝﹣，当0＜x≤a（a＞0）时y≤﹣1恒成立，∴0＜a≤2，故答案为：0＜a≤2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．15．如图，直线y＝3x与双曲线的图象交于A点，点P是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP＝∠1+∠2，则点P的坐标为（2，）．【解析】解：将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，∵∠AOP＝∠1+∠2，∴∠AOP＝∠+∠2＝45°，∴∠BOP＝45°，∴∠2+∠BOF＝45°，∴∠1＝∠BOF，∵∠AEO＝∠BFO＝90°，OA＝OB，∴△AOE≌△BOF（SAS），∴OE＝OF，AE＝BF，解得或，∴点A的坐标为（2，3）．∴BF＝AE＝2，OF＝OE＝3，∴B（3，﹣2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣5，∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP＝45°，∴OP⊥AB，∴直线OP为y＝x，由得，，∴P（2，），故答案为：（2，）．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，以AB为边作正方形ABCD，其中CD在AB上方，连接OA，则OA2﹣OC2＝8．【解析】解：正方形ABCD中，BC＝AB，∴OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，∵点A为反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上一动点，AB⊥y轴，垂足为B，∴AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2，∴OA2﹣OC2＝AB2+OB2﹣（AB﹣OB）2＝2AB•OB＝2×4＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及反比例函数系数k的几何意义，得出OC＝BC﹣OB＝AB﹣OB，AB•OB＝4，OA2＝AB2+OB2是解题的关键．三．解答题（每题8分，共72分）17．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，4）和点A（a，2）．（1）求该反比例函数的表达式和a的值．（2）若点A先向左平移m个单位，再向下平移m个单位（m＞0），仍落在该反比例函数的图象上，求m的值．【解析】解：（1）将点（2，4）代入y＝（k≠0），得：k＝2×4＝8，∴反比例函数解析式为：y＝，把点A（a，2）代入y＝得：，∴a＝4，A（4，2）．（2）将点A先向左平移m个单位，再向下平移m个单位后得点：（4﹣m，2﹣m），把点（4﹣m，2﹣m）代入y＝，得：（4﹣m）（2﹣m）＝8，解得：m＝0（舍），或m＝6．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用k＝xy求m的值，要注意m的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，已知点A的横坐标为2．（1）求k的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出关于x的不等式x+3的解集．【解析】解：（1）在y＝x+3中，令x＝2，得y＝5，∴A（2，5），∴5＝，∴k＝10；（2）设直线AB交y轴于C，如图：由得或，∴B（﹣5，﹣2），在y＝x+3中令x＝0得y＝3，∴C（0，3），S△OAB＝S△BOC+S△AOC＝OC•|xA﹣xB|＝×3×[2﹣（﹣5）]＝；（3）由图象可知：不等式x+3的解集是﹣5＜x＜0或x＞2．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是数形结合，当自变量相同时，函数值大则在直角坐标系中对应的点在上方．19．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？【解析】解（1）设反比例函数表达式为I＝（k≠0）将点（10，4）代入得4＝∴k＝40∴反比例函数的表达式为（2）由题可知，当I＝8时，R＝5，且I随着R的增大而减小，∴当I≤8时，R≥5∴该用电器的可变电阻至少是5Ω．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用问题，掌握反比例函数的单调性质是解析本题的关键．20．如图，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A和B（4，1），点P（1，m）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式和点P的坐标；（2）求△AOP的面积．【解析】解．（1）把点B（4，1）代入y＝，得k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝，∵把P（1，m）代入y＝得：m＝＝4，∴点P坐标为（1，4）；（2）∵点A与点B关于原点对称，点B（4，1），∴点A（﹣4，﹣1），设AP与y轴交于点C，直线AP的函数关系式为y＝ax+b，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）分别代入得，，解得，∴直线AP的函数关系式为y＝x+3，∴点C的坐标（0，3），∴S△AOP＝S△AOC+S△POC＝+＝．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．21．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是（0，0）或（4，4）；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．【解析】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，解得：x1＝0，x2＝4，∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；（2）在函数y＝中，令x＝，解得：x＝2，∴A（2，2），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为4，∴×|b|×|2﹣b|＝4，当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，解得b＝﹣4，当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，解得：b＝8，综上所述，b的值为﹣4或8．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．22．如图y＝ax+6的图象交x轴于点A（﹣3，0），交反比例函数的图象于点B（1，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作DC⊥y轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．【解析】解：（1）把A（﹣3，0）代入y＝ax+6，得﹣3a+6＝0，解得a＝2，∴直线解析式为y＝2x+6，∴当x＝1时，y＝2×1+6＝8，∴B（1，8）．∵反比例函数y＝的图象过点B，∴k＝1×8＝8，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）设C（a，2a+6），则D（，2a+6）．∴S△ACD＝（﹣a）（2a+6）＝﹣a2﹣3a+4＝﹣（a﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当a＝时，△ACD的面积有最大值．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质．正确求出两个函数的解析式是解题的关键．23．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，且BC＝2．将矩形OABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FADE，函数的图象刚好经过EF的中点N，交DE于点M．（1）求该反比例函数关系式；（2）求△OBM的面积．【解析】解：（1）∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在反比例函数（x＞0）的图象上，且BC＝2，∴点B的坐标为（2，），∴AB＝，∵将矩形OABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FADE，∴DE＝BC＝2，EF＝AB＝，∴OD＝2+，∵函数的图象刚好经过EF的中点N，∴N（2+，2），∴k＝2（2+），解得k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵k＝8，∴OD＝2+4＝6，B（2，4），把x＝6代入y＝得，y＝，∴M（6，），∵S△OBM＝S△AOB+S梯形ABMD﹣S△DOM＝S梯形ABMD，∴S△OBM＝（4+）（6﹣2）＝．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化﹣旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求得B、M的坐标是解题的关键．24．阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min