五年级数学思维拓展精讲(知识点详解+小升初能力培养)(二)

五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——三角形面积比例关系的基础知识了解三角形中的比例关系1、掌握三角形比例关系2、会用比例关系解题1.已知三角形ABD的面积为20，BD=10，BC=15。求三角形ABC的面积是多少？2.如图：三角形ABC的面积为160平方厘米，DC=3BD，AE=3BE，求三角形AED的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1.简答题：小学要学的五个常规直线型图形有哪些？2.简答题：三角形面积的比例关系有哪些？13.已知三角形ABD的面积为10，BD=5，BC=10。求三角形ABC的面积是多少？4.已知三角形ABD的面积为20，BD=5，DE=10，EC=10。求三角形ABC的面积是多少？5.已知三角形ABD的面积为6，BD=10，DC=20，点E是AC中点。求三角形DEC的面积是多少？1.答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。2.答案：1、高相同，2、底边相同，3.答案：两个三角形面积的比等于它们底边的比；两个三角形面积的比等于它们高的比。20根据三角形的面积比例关系，高相同，三角形面积的比等于底边的比。因此：S:SBD:BC5:101:2，又因为S10，所以S20ABDABCABDABC4.答案：1002根据三角形的面积比例关系，高相同，三角形面积的比等于底边的比。因此：S:SBD:BC5:(51010)1:5，又因为S20，所以S100ABDABCABDABC5.答案：6根据三角形的面积比例关系，高相同，三角形面积的比等于底边的比。因此，S:SBD:DC10:201:2，又因为S6，所以S12；点E是ACABDADCABDADCSS1226中点，因此，ADEDEC五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——三角形等积变换技巧了解三角形中的比例关系1、掌握三角形比例关系2、会用比例关系解题1.如图这是个直角梯形。求阴影部分的面积是多少？2.如图，已知正方形ABCD的边长是5，正方形CEFG的边长为10，且点B、C、E在一条直线上，连结AG、GE、AE，求三角形AGE的面积是多少？3FGABDEC3.如图，在四边形ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点。如果四边形ABCD的20，那么四边形BNDM的面积是多少？面积是（即是该课程的课后测试）1.简答：等积变换这堂课学了几个模型？2.简答：在3.判断题：平行线间的4.如图，是与小正方形组成的，小正方形的边长为10厘米，求三角形ABC的面积？一个梯形内部连接其对角线，里面有几对面积相等的三角形？两个同底三角形面积相等。说明理由。由大正方形5.如图，和ABFECDEFABBC都是矩形，的长是4厘米，的长是3厘米，那么图中面积是平方厘米。阴影部分的4AEBFCD1.答案：三个。分别是：三角形一边中点，平行线间的两个三角形，还有梯形。2.答案：三对。3.不对，应该为夹在平行线间的两个同底三角形面积相等。4答案：50平方厘米连接AD，得到梯形ABCD。11在梯形ABCD中，S=S=S=1010=50（平方厘米）△ABC△BDC22四边形BDCF5.答案：6平方厘米图中阴影部分的面积等于矩形ABCD面积的一半，即4326（平方厘米）。五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——综合巩固（1）掌握并熟练运用三角形的面积比例关系51、掌握三角形面积比例关系2、会用面积比例关系解题1.三角形ABC的面积为36平方厘米，DC=2BD，EC=3AE。求三角形ADE的面积是多少平方厘米？2.如图：在三角形ABC中，BC=8，BC边上的高AD=6，E、F分别是AB和AC的中点，求△EBF的面积。3.如图，是由大正方形与小正方形组成的，小正方形的边长为4厘米，求三角形ABC的面积？（即是该课程的课后测试）1.图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是。6ADGEBCF2.如图，。求三角形E在AD上，AD垂直BC，12厘米，3厘米ABC的面积ADDE是三角形EBC面积的几倍？AECBD3.图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？4.如图，BD，DE，EC的长分别是2，4，2。F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4。求三角形DFE的面积。5.下图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积。71.答案：48如图，把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正方形的顶点相连，整个正方形被分割成了9个形状各不相同的三角形。这13条边上，它们的长度都是正方形边长的。阴影部分39个三角形的底边分别都在正方形的被分割成了3个三角形。右边三角形的面积和第1、第2个三角形面积相等；中间三角形的面积和第3、第4个三角形面积相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形面积相等。1、S和S的。因此，因此这3个阴影三角形的面积分别是S△ABH全部阴影的总3△BCH△CDH1面积就等于正方形面积的。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。3AHD651G2E43BCF2.答案：4倍因为AD垂直于BC，BC为△ABC和△EBC的底时，AD是△ABC的高，ED是△EBC的高，S：S=AD：ED=12:3=4:1。这两个三角形的底相同，面积的比等于高的比：△ABC△BEC所以△ABC的面积是△EBC的面积的3.答案：2倍由题可知，△ABD与△ADC的高相同。比例关系：高相同，面积的比等S：S=BD：DC=4:2=2:1。△ABD的面积是△ADC面积的4倍。根据三角形面积于底边的比。△ABD2倍。△ADC4.答案：48BC=2＋4＋2=8，S84216。连接A和D，△ADE，与△ABC的高相同，DE△ABC长是4，是BC的一半，因此△ADE的面积是△ABC面积的一半。同理，EF是AE的一半，△11164。DFE的面积是△ABC面积的。4△DFEDFE面积是△ADE面积的一半，故△5.答案：120S4S20122=120观察图形可知，阴影部分的面积是矩形ABCD面积的一半。阴影五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——综合巩固（2）掌握并熟练运用三角形中的面积比例关系1、掌握三角形面积比例关系2、会用面积比例关系解题1.如图：长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。2.三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB，BD=2BC，△BDE的面积是多少？93.正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，求△BFD的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1.如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4:7，S16cm2，求△ABC的面积。△ADEADEBC2.如图在△ABC中，D在BA的延长线上，ABAD5:2，:E在AC上，且:AEEC3:2，12平方厘米，求△ABC的面积。S△ADEDAEBC10ABCDBEAB，CF2CB，GD33.如图，平行四边形，DC，HA4AD，平行四边形的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。ABCDHBAEGCDF4.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面ACAEADEABCABAD积等于1，那么三角形的面积是多少？ABCADECB5.如图所示，ABC中，ABC90，AB3，BC5，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积。EDOA35BC1.答案：70平方厘米S：S=AD：AB=2:5，S：S=AE：AC=4:7，所以连接BE，△ADE△ABE△ABE△ABCS：S=8：35，设S△ADE8份，则S35份，16平方厘米，所以1份是△ADES△ADE△ABC△ABC2平方厘米，35份是70平方厘米。2.答案：50平方厘米S：S=AD：AB=2:5，S：S=AE：AC=3:5，根据比连接BE。△ADE△ABE△ABE△ABC11S：S=6:25。设=6份，=25份，又知=12平方SSS△△ABC△例关系可知，△ADE△ABCADEADE=1262550平方厘米。ABC厘米，所以可知S△13.答案：18HBAEGCDF连接、。根据共角定理：ACBD∵在△和△中，与互补ABCABCBFEFBEABBC111S△ABCSBEBF133∴△FBE又SS=1，所以=3△ABC△FBE同理可得：S△GCF=8，S=15，S=8。△DHG△AEHS所以，S+S△AEH△DHG+S△GCF+S+S=8+8+15+3+2=36EFGH△FBEABCD21S所以，ABCDS。3618EFGH4.答案：15ADEBCSS：S=1:5，S：S=1:3，又=1，△ADE连接BE。根据题意可知，△ADE△ABE△ABE△ABC15。可知S△ABC125.答案：10EDOA35FBCOABO90如图，将沿着点逆时针旋转，到达OCF的位置。AOC90，所以OABOCB180。而OCFOAB，由于90，ABCOCF所以OCB180，那么、、三点在一条直线上。BCFOBOFBOFAOC90BOFBF，所以是等腰直角三角形，且斜边为由于，1538，所以它的面积为16。8245根据面积比例模型，的面积为OBC10168五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——综合巩固（3）掌握并熟练运用三角形中的面积比例关系1、掌握三角形面积比例关系2、会用比例关系解题1.三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD:DC=1:1，BE:AE=1:2，甲部分面积是乙部分的几分之几？132.长方形的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC3.如图，求图中阴影面积是多少平方厘米？（即是该课程的课后测试）1.如图，已知BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积。AEFBDC2.如图：在三角形ABC中，BC=8，BC边上的高是6，E、F分别是AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少？143.已知三角形ABD的面积为13，BD=5，DC=15。求三角形ABC的面积是多少？4.三角形ABC的面积为108平方厘米，DC=2BD，EC=3AE，求三角形ADE的面积是多少平方厘米？5.如图，已知CD5，DE7，EF15，FG6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是多少？ADGACDEFGB151.答案：12.51S3△10连接，由题目条件可得到△ABEDESABC1S2△12S2310△ABCAFFDS11S△ABE，所以。S△BDEBEC△BDE1S11S23111S2.5，232△ABCS△DEF2△DEA△ADC21S△ABC而△CDE10．所以阴影部分的面积为12.5S32AEFBDC2.答案：6∵F是AC边上的中点1∴S△ABF=S△ABC2又∵E是AB的中点1111686∴S△AEF=S△ABF=S△ABC=42243.答案：52根据三角形的面积比例关系，高相同，面积的比等于底边的比。S:SBD:BC5:(515)1:4。又因为S13，所以S52ABDABCABDABC4.答案：18平方厘米∵DC=2BD2∴S△ADC=S△ABC3又∵EC=3AE161∴S△ADE=S△ADC=×S△ABC=121210818（平方厘米）443435.答案：40ACDEFGB连接AF，BD。根据题意可知：CF571527；DG715628；121572821，SS所以，SSS28ADG，SAEGCBF，SAEDSADG，2727BECBEFCBF21于是：2815712SS65；SS38；272827ADGCBFADGCBF可得S40．故三角形ADG的面积是40。ADG五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——数的整除基本知识（1）了解数的整除特征1、认识数的整除特征172、运用数的整除特征方法技巧解决问题1.一个三位偶数13a，可以被3整除，问a取值是多少？2.判断下面哪个数既是3的倍数，又是4的倍数？A、128B、204C、357D、436（即是该课程的课后测试）1.能被2整除数的特征是？2.能被3整除数的特征是？3.能被4、25整除数的特征是？4.能被5整除数的特征是？5.判断下面哪个数既是3的倍数，又是5的倍数？_______A、128B、204C、350D、4351.答案：一个数，个位是0、2、4、6、8的数，可以被2整除。2.答案：一个数字，各个位数字之和能被3整除，那么这个数也能被3整除。3.答案：一个数末两位能被4（25）整除，那么这个数就能被4（25）整除。4.答案：一个数，个位是0、5的数，可以被5整除。5.答案：D根据能被3整除数的特征和能被5整除数的特征，可知D选项正确。18五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——数的整除基本知识（2）了解数的整除特征1、认识数的整除特征2、运用数的整除特征方法技巧解决问题1.判断：abcabc能否被7、11和13整除？2.已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，求所有满足这个条件的整数有？（即是该课程的课后测试）1.简答：能被7、11、13整除数的特征是？2.简答：11不同于7、13的独有的整除特征是？3.在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，80644.判断七位数1839673能否被11整除？5.用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？191.答案：一个数从个位起，每三位分成一段，然后所有奇数段三位数之和与所有偶数7、11、13整除，那么这个数就可以被段三位数之和做差（大减小），如果这个差值可以被7、11、13整除。2.答案：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小），如果这个差可以被11整除，那么这个数就可以被3.答案：能被4整除的数有7756，3728，8064；8整除的数有3728，8064；9整除的数有234，8865，8064。4.答案：1839673能被11整除11整除数的特征，奇数位上的数字之和为11整除。能被能被根据能被1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24－13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。5.答案：3377，3773，7337，7733只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，7337，7733。五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——整除的性质认识数的整除性质1、认识数的整除性质202、运用数的整除特征和整除性质解决问题1.一个五位数7654a，可以被6整除，求这个五位数？2.一个六位数字98b75a，可以被72整除，求这个六位数是多少？（即是该课程的课后测试）1.简答题：整除的可加性是什么？2.简答题：整除的可分性是什么？3.简答题：整除的传递性是什么？4.简答题：整除的可乘性是什么？5.一个六位数，它能够被9和11整除，去掉6位数的首、尾两个数字，中间的4个数字是1997，问这个6位数可能是多少？1.答案：整除的可加性：如果a|c，a|b，那么a|(bc)。2.答案：整除的可分性：如果ab|c，那么a|c，b|c。3.答案：整除的传递性：如果a|b，b|c，那么a|c。4.答案：整除的可乘性：如果a|c，b|c，且(a,b)1，那么ab|c。5.答案：这个六位数是219978设这个六位数为a1997b。它能被9整除，所以a+1+9+9+7+b=a+b+26能被9整除，因此a+b=1或a+b=10。当a+b=1时，a=1，b=0，而119970不能被11整除，所以a+b=10。又a1997b能被11整除，（b+9+1）-（7+9+a）=b-（a+6），说明b-（a+6）=0或（a+6）21-b=11，即b-a=6或a-b=5，结合a+b=10，只有b-a=6符合，此时a=2、b=8。所以这个六位数是219978。五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——综合巩固（1）熟练运用数的整除特征和数的整除性质进行解题1、熟练掌握数的整除特征和性质2、运用数的整除特征和性质解决问题45|x2011yx2011y满足条件的六位数？1.已知，求所有15ABC62.要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，那么A=___，B=___，C=___。（即是该课程的课后测试）123A1.已知可以被13整除，求A的值可以为多少？2.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，这个数能否被3整除？3.任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、1322整除吗？4.求能被26整除的六位数xy。19912、3、5整除？______5.选择题：下面哪个数可以同时被A.120B.235C.1250D.6891.答案：A为5123A解析：23A13|，根据13的整除性质与1的差是13的倍数。在229~238之间，13×18=234能被13整除，所以A的值为4+1=5。2.答案：3整除1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，3|45，又因为1993除以位数的最末4位数字是1234。1+2+3+4=10，310，所以这个1993位数不能被3.答案：7、11、13整除只有这个数不能被解析：因为9余4，所以这个19933整除。这个六位数能同时被解析：假设这个六位数是abcabc，这个六位数末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是：abc-abc=0。0能整除任何数，所以任意一个因为三位数连着写两次得到的六位数，一定能同时被7、11、13整除。4.答案：解析：因为26=2×13，（2，13）=1，所以2和13整除。xy能分别被1991因为2|x1991y所以y可能取0，2，4，6，8。又因为13|x1991y，所以x1991y13能整除与的差。当y=0时，由于13|910，而13又要整除x19与910的差，所以13|x19。x19=100x+19=（7×13+9x）+19=7×13x+9x+13+6，又因为23根据整除“性质1”，有13|9x+6，只有当x=8时，13|9x+6。所以当y=0时，符合题意的六位数是819910。当y=2时，因为13|x19912，所以x19与（910+2）的差，也即x19与13整除13整除2的差。与之前相仿，x19=7×13x+9x+13+6，所以13能整除9x+6-2，即13|9x+4，经试验只有当x=1时，13|9x+4。所以当y=2时，符合题意的六位数是119912。同理，当y=4时，13能整除9x+6-4，即13|9x+2，经试验可知当x=7时，13|9x+2。所以当y=4时，符合题意的六位数是719914。1991x是xy的同理，当y=6时，13整除9x+6-6，即13|9x。经试验可知x无解。（因为最高位数码，x≠0）。所以当y=6时，找不到符合题意的六位数。同理，当y=8时，符合题意的六位数是619918。答：满足条件的六位数共有819910,119912,719914,619918四个。5.答案：A解析：根据能被2，3，5整除数的特征，可以判断出A符合题意。五年级数学思维拓展精讲（知识点详解+小升初能力培养）（二）——综合巩固（2）熟练运用数的整除特征和数的整除性质进行解题1、熟练掌握数的整除特征和性质2、运用数的整除特征和性质解决问题241.在“25□79”这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除。方格内应填_____。2.把一个三位数3ab连续重复地写下去，一共写1993个，。3ab3ab3ab1993个3ab3ab得到的数恰好是91的倍数，求ab代表的两位数是多少？3.在865后面加上三个数字，组成一个新六位数，它能分别被3、4、5整除，求新的六位数最小值是多少？（即是该课程的课后测试）3AA11.填空题：四位数是9的倍数，那么A=_____。2.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_____号。3.填空题：如果六位数1992□□能被105整除