二元一次方程组的应用典型习题总结

实际问题与二元一次方程组经典例题知识关键点梳理

列方程组解应用题中惯用基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很主要一个，它特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于了解与分析。其等量关系式是:二者行程差＝开始时二者相距旅程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很主要一个，它特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助了解与分析。这类问题等量关系是：双方所走旅程之和＝总旅程。

(3)航行问题：①船在静水中速度＋水速＝船顺水速度；

②船在静水中速度－水速＝船逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题一样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.

3．商品销售利润问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；

打几折就是按标价十分之几或百分之几十销售。（比如八折就是按标价十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．储蓄问题：

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息×(1－利息税率)。

5．配套问题：

解这类问题基本等量关系是：总量各部分之间百分比=每一套各部分之间百分比。

6．增加率问题：

解这类问题基本等量关系式是：原量×(1＋增加率)＝增加后量；

原量×(1－降低率)＝降低后量.

7．和差倍分问题：

解这类问题基本等量关系是：较大量＝较小量＋多出量，总量＝倍数×倍量.

8．数字问题：

处理这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等关于概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，关于两位数基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字

9．优化方案问题：

在处理问题时，经常需合理安排。需要从几个方案中，选择最好方案，如网络使用、到不一样旅行社购票等，通常都要利用方程解答，得出最好方案。

注意：方案选择题题目较长，有时方案不止一个，阅读时应抓住重点,比较几个方案得出最好方案。经典例题透析

类型一：列二元一次方程组处理——行程问题

1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

举一反三：

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，假如甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；假如乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中速度和水流速度。

类型二：列二元一次方程组处理——工程问题

2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天能够完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

举一反三：

【变式3】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰企业合作6周完成需工钱5.2万元；若甲企业单独做4周后，剩下由乙企业来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个企业单独完成，从节约开支角度考虑，小明家应选甲企业还是乙企业？请你说明理由.

类型三：列二元一次方程组处理——商品销售利润问题

3．有甲、乙两件商品，甲商品利润率为5%,乙商品利润率为4%,共可赢利46元。价格调整后，甲商品利润率为4%，乙商品利润率为5%，共可赢利44元，则两件商品进价分别是多少元？

举一反三：

【变式4】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共赢利6万元，其进价和售价以下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：赢利=售价—进价）

求该商场购进A、B两种商品各多少件；

类型四：列二元一次方程组处理——银行储蓄问题

4．小明妈妈为了准备小明一年后上高中费用，现在以两种方式在银行共存了元钱，一个是年利率为2.25％教育储蓄，另一个是年利率为2.25％一年定时存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）举一反三：

【变式5】李明以两种形式分别储蓄了元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率和为3.24%，问这两种储蓄年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）

【变式6】小敏父亲为了给她筹备上高中费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一个，一年期整存整取，共重复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏父亲两种存款各存入了多少元？

类型五：列二元一次方程组处理——生产中配套问题

5．某服装厂生产一批某种款式秋装，已知每2米某种布料可做上衣衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料损耗)，应分别用多少布料才能使做衣身和衣袖恰好配套？

举一反三：

【变式7】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，能够恰好制成一批完整盒子？

【变式8】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母配套产品，每人天天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出螺栓和螺母刚好配套。

【变式9】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，假如1立方米木料能够做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

类型六：列二元一次方程组处理——增加率问题

6.某工厂去年利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年降低了10%，今年利润为780万元，去年总产值、总支出各是多少万元？

【变式10】某城市现有些人口42万，估量一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这么全市人口增加1%，求这个城市城镇人口与农村人口。

类型七：列二元一次方程组处理——和差倍分问题

7.（北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每七天生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职员加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作帐篷数分别达成了原来1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？

举一反三：

【变式11】(北京门头沟区中考一模试题)“地球一小时”是世界自然基金会在提出一项倡议．号召个人、小区、企业和政府在每年3月最终一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，意在经过一个人人可为活动，让全球民众共同携手关注气候改变，提倡低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动城市个数比去年3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．

类型八：列二元一次方程组处理——数字问题

8.一个两位数，减去它各位数字之和3倍，结果是23；这个两位数除以它各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？

举一反三：

【变式12】一个两位数，十位上数字比个位上数字大5，假如把十位上数字与个位上数字交换位置，那么得到新两位数比原来两位数二分之一还少9，求这个两位数？

【变式13】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，假如百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数恰好是原三位数各位数字倒序排列，求原三位数。

类型九：列二元一次方程组处理——浓度问题

9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液酒精与水比是3∶7，乙种酒精溶液酒精与水比是4∶1，今要得到酒精与水比为3∶2酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

举一反三：

【变式14】要配浓度是45%盐水12千克，现有10%盐水与85%盐水，这两种盐水各需多少？

【变式15】一个35%新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%农药加水多少千克，才能配成1.75%农药800千克？

类型十：列二元一次方程组处理——几何问题

10．用长48厘米铁丝弯成一个矩形，若将此矩形长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形面积比矩形面积大多少？

举一反三：

【变式16】一块矩形草坪长比宽2倍多10m，它周长是132m，则长和宽分别为多少？

类型十一：列二元一次方程组处理——年纪问题

11．今年父亲年纪是儿子5倍，6年后父亲年纪是儿子3倍，求现在父亲和儿子年纪各是多少？

举一反三：

【变式17】今年，小李年纪是他爷爷五分之一.小李发觉，之后，他年纪变成爷爷三分之一.试求出今年小李年纪.

类型十二：列二元一次方程组处理——优化方案问题：

12．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不一样型号电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1)若商场同时购进其中两种不一样型号电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场进货方案；

(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可赢利150元、200元、250元，在以上方案中，为使赢利最多，你选择哪种进货方案？

举一反三：

【变式18】某地生产一个绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商企业收获这种蔬菜140吨，该企业加工厂生产能力是：假如对蔬菜进行粗加工，天天能够加工16吨；假如进行细加工，天天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件限制，企业必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完成，为此企业研制了三种加工方案

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多对蔬菜进行精加工，没来得及加工蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成

你认为选择哪种方案赢利最多？为何？

规律方法指导

1．学习列二元一次方程解应用题，经过深入挖掘隐含条件，渗透解题简捷性数学美以及准确设元，发挥解题创造性数学美．

2．实际问题主要包含：（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中盈亏问题;

（4）储蓄问题;（5）产品配套问题;（6）增加率问题;（7）和差倍分问题;

（8）数字问题;