锐角三角函数

情境引入

我们都有过走上坡路的经验，坡面有陡有平，在数学上该如何衡量坡面的倾斜程度呢？如图所示：100m30m100m20m如图所示：80m30m20m100mX=？80m如图所示：20m动手实践，寻找规律

由推理可得：角度不变，比值不变；由动态演示：角度改变，比值改变。ABCαB’C’βDD新知探究，明确定义比值叫做∠A的正切，记做tanA。┌B∠A的对边C∠A的邻边A斜边用数学去解释生活

如图，正切也经常用来描述山坡的坡度。例如，有一山坡在水平方向上每前进lm就升高hm，那么山坡的坡度i(即tanα)就是：

定义：坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度

(或坡比)，记作i，即坡度等于坡角的正切。100m60mαi┌hl例题讲解

例1

如图，在ΔABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，求tanA和tanB的值。ACB┌练习拓展，层层递进

例2在Rt

ΔABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，求锐角∠A、∠B的正切值。练一练1.判断对错：A10m6mBC(1)如图，tanA=（）(2)tanB=（）(3)tanA=0.75m（）(4)tanB=0.8（）√×××tanA是一个比值（注意比的顺序），无单位。(5)如图，tanA=（）×2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，tanA的值（）A、扩大100倍

B、缩小C、不变D、不能确定C练一练小结：1.正切的定义；2.坡比的表示方法。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。∠A的对边aBCA斜边c∠A的邻边b正切：tanA==tanB==

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值也是唯一确定的吗？探究也是定值吗？如：∠A的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值即：==再探究BCAB'C'

在任意Rt△ABC中，∠C＝90°，在AB（或延长线）上任取一点B′，作B′C′垂直于AC，垂足为C′点，那么与有什么关系？你能解释一下吗？由于∠ACB＝∠C′＝90°，所以BC//B′C′所以Rt△ABC∽Rt△AB′C′且为定值（常数）

在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA。

类似地可以证明：在有一个锐角A的直角三角形中，角A的邻边与斜边的比值也为一个常数。定义

在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA。即：即：斜边的邻边角AA=cos

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA、tanA也是A的函数。BACabc归纳小结求∠A的各个三角函数值。∠A的邻边是AC。根据勾股定理，得于是AB=13m。CAB5m12m例题解思考

求∠B的sinB和cosB的值。例1在直角三角形ABC中，∠C=90º，BC=5m，AC=12m。

在直角三角形ABC中，∠C=90º，BC∶AC=3∶4。ACB解

∠A的对边为BC=3k，斜边AB=5k，于是求∠A的正弦sinA、余弦cosA。因为BC∶AC=3∶4，∠A的邻边是AC=4k，于是拓展延伸设BC=3k，AC=4k，根据勾股定理，得：AB=5k方法点拨：参数法（参数为k）试一试在直角三角形ABC中，∠C=90º，∠A=30º。求∠A的正弦sinA，∠A的余弦cosA。CBA30°解Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，由于在直角三角形中，30º所对的直角边等于斜边的一半，得：AB=2BC，即AB∶BC=2∶1。设：BC=k，AB=2k根据勾股定理，得：AC=所以

例2如图平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），求OP与x轴正半轴夹角α的所有三角函数值。αyQP（3，4）xO过P作PQ⊥x轴于Q点，例题解在Rt△POQ中，OQ=3，QP=4，所以OP=5。所以构造直角三角形思路点拨：展示你的风采1.求直线y=2x与x轴正半轴夹角α的所有三角函数值。解oxyy=2xQ P在y=2x上任取一点P（1，2），过P作PQ⊥x轴于Q点，在Rt△POQ中，OQ=1，QP=2，所以OP=所以，

思考：求直线y=2x+2与x轴正半轴夹角α的所有三角函数值。α在直角三角形中，∠A为其中一个锐角小结

这节课我们主要学习了哪些知识？有何体会和收获？有哪些你认为最重要？斜边∠A的邻边A=costanA=其中sinA，cosA，tanA是关于角A的函数。

在锐角三角函数定义中有哪些注意事项？定义中应该注意的几个问题：回味无穷1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA、t