随机事件与概率

第一节随机事件

随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.

研究随机现象,首先要对研究对象进行观察试验.这里的试验是一个含义广泛的术语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验.几个具体试验

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的情况.和反面观察正面将一枚硬币抛掷三次,THE2出现在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.上述试验具有下列共同的特点:(1)试验可以在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试验.用表示随机试验.样本点e.

S

现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.一、样本空间样本空间，样本空间，

例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):

在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.则样本空间如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，S={t

：t≥0｝样本空间故

若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现的次数：则样本空间由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的目的所确定的.

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观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE7出现的次数.试验的样本空间的子集称为的随机事件.二、随机事件如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件B={掷出奇数点}事件A={掷出1点}基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件)事件

B={掷出奇数点}如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.

事件Ai

={掷出i点},i=1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集.基本事件

当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件B={掷出奇数点}B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;即在试验中必定发生的事件，常用S表示;不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，常用表示.而“掷出点数8”则是不可能事件.三、浊事件乔间的表关系锯与事剖件的否运算则称为事件臂的运蛋算满斯足的存规律那么裁要问:如何浅求得室某事底件的恨概率惧呢?下面按几节肌就来礼回答筹这个搅问题.研究毛随机怀现象抢，不坑仅关抱心试殊验中瓜会出荷现哪汗些事秧件，笨更重岛要的献是想歼知道碰事件犹出现忙的可种能性汉大小奥，也诞就是事率件概的第二御节街随机归事件傍的概饰率研究微随机锋现象虚，不随仅关转心试对验中法会出焦现哪禾些事食件，印更重旨要的蒸是想帐知道营事件忙出现亭的可仰能性稳大小亚，也盾就是局事件界的概举率.概率刃是随羡机事洋件发生叶可能恩性大日小的度寺量事件芬发生焦的可学能性越大凤，概殃率就越大绩！例如践，了兽解发剧生意歉外人捐身事添故的次可能分性大贝小,确定谎保险闻金额.了解泥来商壳场购剪物的说顾客智人数守的各加种可尖能性宏大小怨，合课理配务置服哲务人就员.了解楼每年羞最大淘洪水挪超警伏戒线础可能牛性大季小，阶合理瞎确定电堤坝靠高度.一、频率委的定剖义试验者抛币次数n

“正面向上”次数

频率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005抛掷钱币试验记录可见,在大某量重祝复的茂试验摔中,随机酸事件耕出现佣的频崖率具成有暗稳定所性.即通播常所啊说的标统计蒸规律银性.二、谣概率氏的定纹义我们翻首先凝引入禽的计截算概唇率的托数学仇模型蜡，是圆在概现率论冰的发双展过们程中盟最早璃出现卫的研扇究对千象，搞通常离称为古典鬼概型三、呀古典乞概型假定碧某个嫂试验油有有消限个高可能雨的结穴果假定辩从该典试验疯的条血件及逃实施衬方法柄上去污分析贿，我钓们找无不到或任何搅理由何认为拢其中区某一罚结果狗例如ei比任唉一其州它结胖果，逐例如ej更有淋优势蛾，则硬我们绢只好仆认为叙所有踪蝶结果呆在试府验中济有同越等可锁能的嫂出现溜机会袖，即1/N的出因现机至会.e1,e2,县…，eN,23479108615例如译，一自个袋搏子中投装有10个大斤小、尊形状级完全匠相同胶的球.将球遇编号墙为1－10党.把球托搅匀赌，蒙迈上眼滚睛，湾从中吧任取顽一球.因为禽抽取掉时这咱些球唱是完慌全平门等的沸，我给们没递有理市由认罢为10个球辆中的私某一喜个会舰比另误一个互更容荡易取欢得.也就子是说营，10个球麦中的瞒任一拒个被姥取出艇的机机会是衰相等鼻的，盆均为1/脸10忽.1324567891010个球肾中的景任一处个被炭取出拴的机勾会都应是1/鹊1023479108615我们姜用i表示子取到i号球域，i=1涝,2奥,…遮,1谋0哗.称这庸样一岭类随厌机试俗验为古典犹概型.34791086152且每润个样龟本点(或者疮说基耽本事必件)出现职的可月能性便相同.S={匆1,挥2,戴…,留10险},则该裙试验听的样暴本空哀间如i怜=2称这孤种试硬验为等可偷能随耻机试鞭验或古典灰概型.若随嚷机试叹验满残足下圾述两喂个条和件：(1这)它的第样本被空间摘只有压有限柱多个吧样本荒点；(2搜)每个呼样本艘点出奴现的污可能卧性相疫同.定义1四、前古典伟概型屡中事脑件概棕率的姐计算记A={摸到2号球}P(米A)掩=?P(胃A)颗=1/鼓10记B={摸到钟红球}P(米B)溪=?P(锐B)摧=6/胀10223479108615132456这里枝实际值上是章从“比撤例”转化描为“概轿率”记B={摸到充红球}照,P(适B)木=6/泉10静态动态当我溪们要娱求“惠摸到冤红球筐”的崭概率少时，汁只要袄找出谦它在蔑静态拣时相扑应的悄比例.23479108615解=0挑.3镇02盖4允许搅重复疯的排冒列例某城弊市的案电话贫号码导由5个数弯字组故成，犁每个详数字煮可能挺是从0-9这十遵个数欲字中驼的任佳一个兆，求电话肺号码犯由五摆个不苏同数擦字组泳成的概突率.计算叨样本转空间速样本跃点总的数和诸所求倾事件所含搜样本终点数封计数唤方法垫不同.从10个不答同数冻字中取5个的沸排列例3设有N件产呢品,其中比有M件次询品,现从眼这N件中率任取n件,求其痰中恰堆有k件次萍品的产概率.这是鸟一种时无放鲁回抽找样.解栽令B={恰有k件次籍品}P(B)=？次品正品……M件次宇品N-吹M件正品第三撕节坡条针件概浩率与刷事件牧的独谊立性在解世决许走多概州率问仰题时享，往辈往需爸要在扔有某心些附筑加信朱息(条件)下求承事件段的概沈率.一、膜条件盛概率1.条件岛概率捎的概执念如在菊事件B发生堡的条洪件下晓求事蛛件A发生抵的概店率，患将此剩概率振记作P(A|B).一般举地P(A|B)赚≠P(A)若事弊件B已发更生,则为请使A也发生,试验慈结果核必须把是既捎在B中又捉在A中的秩样本踢点,即此忽点必栽属于AB.由于歇我们锹已经议知道B已发必生,故B变成分了新敬的样茶本空引间,于是赶有(1渔).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

(1)2.条件赶概率溉的定姓义为在船事件B发生孩的条酸件下,事件A的条道件概苹率.例设某欢种动愿物由赢出生劫算起念活到20年以禾上的匹概率粱为0.氧8，活拍到25年以拼上的任概率投为0.塑4.问现箱年20岁的讯这种脾动物菌，它剂能活味到25岁以座上的感概率崖是多虽少？解桶设A={能活20年以序上}，B={能活25年以报上}依题很意，P(A)霸=0.结8,P(B)芹=0.光4所求搅为P(B|誉A)光.由条趋件概昂率的旦定义输：即榆若P(B)>读0,则P(AB)=P(B)P(A|B)驴(2拔)而P(AB)=P(BA)二、难乘终法定两理若已促知P(B),P(A|B)时,可以雅反求P(AB).将A、B的位驰置对课调，枪有故P(A)>择0浊,则P(AB)=P(A)P(B|A)卫(眼3)若P(A)>断0,则P(BA)=P(A)P(B|A)乘法赠公式旁应用锁举例一个恶罐子习中包乘含b个白疏球和r个红艳球.随机庭地抽蝴取一你个球滔，观抄看颜吉色后形放回蔽罐中押，并除且再疲加进c个与生所抽贱出的狐球具犹有相繁同颜穿色的悦球.这种洽手续扬进行输四次李，试厨求第浸一、头二次慢取到大白球撒且第讽三、敬四次刚取到待红球奔的概切率.（波诵里亚据罐子电模型锦）b个白球,r个红球于是W1W2R3R4表示勾事件射“连呜续取垃四个史球，兼第一略、第工二个盘是白敌球，场第三年、四乖个是弱红球.摧”b个白球,r个红球随机菜取一助个球析，观海看颜咸色后陪放回狂罐中匀，并事且再村加进c个与塔所抽糠出的乘球具亮有相掘同颜消色的壶球.解光设Wi={第i次取殃出是演白球},i=1臣,2盆,3哲,4Rj={第j次取树出是配红球}，j=1糕,2唉,3薄,4用乘箭法公纠式容铅易求分出当c驱>的0时，画由于步每次门取出困球后治会增促加下告一次德也取骑到同摆色球与的概景率.这是膛一个盯传染肿病模劲型.每次柔发现蔑一个斗传染帝病患幅者，看都会裹增加装再传饰染的皱概率.=P(W1)P推(W2|W1)P编(R3|W1W2)P纤(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一场梢精彩歉的足掘球赛抓将要顺举行,养5个球迷住好不征容易蛋才搞籍到一申张入快场券.大家叼都想封去,只好滤用抽摩签的狐方法更来解气决.入场券5张同详样的眨卡片,只有真一张布上写火有“尺入场需券”,其余昂的什层么也轧没写.将它吧们放毒在一晕起,洗匀,让5个人摔依次库抽取.我们役用Ai表示梳“第i个人年抽到盗入场羽券”i＝1,吧2,扯3,追4,栽5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人疾抽到笋入场挣券的嘉概率柿是1/蚊5.也就仿是说瞎，则表示“第i个人未抽到入场券”因为萌若第2个人降抽到了入河场券寒，第1个人肯定层没抽攻到.也就浓是要忆想第2个人朗抽到翻入场稻券，乡丰必须羽第1个人怕未抽接到，由于由乘枪法公具式P(A2)=愧(翠4/唐5)葵(1纠/4静)=秋1愧/5计算纪得：这就炭是有线关抽救签顺所序问谣题的煮正确毅解答.同理外，第3个人射要抽谦到“入场仙券”，售必须货第1、第2个人惑都没观有抽老到.因此＝(4愁/5泻)(影3/翁4)生(1惩/3模)=端1/芳5继续散做下卸去就记会发存现,每个哨人抽狮到“入场葡券”泥的概向率都斗是1/曲5.抽签析不必意争先腾恐后.也就塔是说丽，显然P(A|B)=P(A)这就沃是说,已知张事件B发生,并不沙影响堪事件A发生雀的概叉率,这时锯称事本件A、B独立.三、芦事件摇的独搞立性A={第二帆次掷乔出6点}，B={第一妙次掷被出6点}，先看丑一个那例子话：将一焰颗均摄匀骰镰子连赴掷两竖次，设由乘丝式法公末式知投，当事套件A、B独立读时，浆有P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻划约独立慰性,比用P(A|B)颜=P(A)或P(B|A)件=P(B)更好,它不艺受P(B)>变0或P(A)>揭0的制崖约.若两韵事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1眯)则称A、B相互横独立，简抢称A、B独立.两事萌件独岛立的余定义例从一织副不地含大怨小王馒的扑是克牌淹中任衔取一覆张，你记A={抽到K},B={抽到涂的牌烈是黑哄色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=纷4/缓52书=1扩/1胁3,故酱事件A、B独立.问事屡件A、B是否缩慧独立杰？解P(AB)=饱2/旱52学=1惜/2庭6.P(B)=壁26羽/5爬2=核1/移2,在实势际应廉用中,往往秤根据享问题叉的实欲际意显义去云判断云两事廊件是亦否独滑立.由于第“甲苍命中觉”并呆不影码响“鲜乙命炒中”个的概剩率，项故认始为A、B独立.甲、姿乙两控人向域同一筑目标痕射击,记A={甲命砖中},B={乙命弃中}，A与B是否卷独立默？例如（即绑一事棋件发难生与尽否并辞不影蛮响另获一事晃件发乒生的铅概率咐）=P(A)[否1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B独立概率挑的性嘉质=P(A)-P(A)P(B卵)仅证A与独立定理2若两钟事件A、B独立,则也相刚互独跨立.证明=P(A)P()故A与独立对独满立事毅件，桐许多哥概率夏计算闻可得暮到简恐化五、蕉独立盛性的蚊概念岂在计岸算概鞠率中砍的应善用即例3三人怖独立侮地去螺破译普一份吧密码照，已释知各墙人能晌译出诱的概兼率分步别为1/慈5，1/够3，1/假4，问竞三人遥中至轻少有雀一人裤能将酷密码若译出看的概侵率是骑多少功？解将三用人编朱号为1，2，3，所求霞为记Ai={第i个人批破译跟出密斩码}i=1饱,袄2修,成3已知,P(A1)=依1/驶5疲,P(A2)=采1/机3岁,P(A3)=拴1/陷4第四指节省全陡概率唤公式苗与贝照叶斯陕公式定义设S为随康机试恐验E的样辰本空蹈间,B1,B2,…，Bn为E的满怀足下为列条丛件的奸事件艇组：则称B1,B2,…,Bn为样么本空博间S的一逼个划分.（i）BiBj=Φ信(i固≠j搅,I遣,j撇=1比,2龟,…,n摧);(ii)例如泛，在恢掷一地枚骰挣子观浅察出始现的段点数分试验蚂中，B1={六1，2，3}，B2={亩4，5}，B3={育6}就是迅样本焦空间S的一被个划分。定理1设S为试念验E的样串本空站间,B1,B2,…,Bn为S的一个筒划分切，且P(眨Bi)>璃0(兄i=雄1,铲2,…,n端),则对叠任意箭事件A有全概壁率公玩式：【证】因为A可互蚁斥分脚解为所以追由有限通可加传性与乘法侍公式得：■【证】由条者件概艺率、拿乘法侦公式袄与全布概率欲公式狭得■定理2设S为试括验E的样很本空贝间,B1,B2,…,Bn为S的一个做划分,A为E的事径件,且P(型Bi)>埋0(翠i=填1,诱2,…,n愉),P(薪A)歼>0艺,则有贝叶村斯公兰式：在应农用全脖概率喇公式损与贝迫叶斯荐公式放时，园有两殃个问鹅题需要弄劈燕清楚洗：当事重件的栋发生凳与相信继两夺个试鞋验有婶关时黎，从帮第一收试验入手由寻找沸划分饰；当事他件的喂发生兄是由攻诸多停两两温互斥慌的原籍因而助引起蜓的，可以奸这些毙“原逢因”镇为划寨分。2、如股何区网分是竟用全拼概率条公式棵还是爪用贝巡寿叶斯阵公式1、如前何确粉定划薯分一般平，可冰从下与列两雨个方邪面来福寻找均划分烤：“由躁因求轻果”宏用全恋概率中公式,“执果影求因剂”用庭贝叶受斯公畏式.【例3】设工遮厂A和工甜厂B的产外品次骂品率宣分别选为1%和2%测,现从A与B的产友品分盏别占60券%和40悦%的一缝批产近品中仁随机久抽取欲一件,发现译是次激品,则该努次品弦属A厂生川