材料固体力学课后习题解答

第一章

习题1证明e-6恒等式eijke.=8js8kt-%%,

［证明］

33认3,

^ijkist—3"§js3炉

港况sbkt

=di(染&/—3ks3")—3j®%—bksB)+编(3is3jt-3jsd)

=33js隗一3%3jt-般3kt+3ksM+3ks6jt-3js3kt

=6js3kt-3ks3jt

习题2证明若—mmq.a,则勺4=0

［证明］

••,ag=aji;by=-6户.•.%%=一勺:•a^bij+a)也A=a“bij+ap11bpq=0

又因为所有的指标都是哑指标，cipqbpq=ayby,所以2aijbij=0,即“也.=0

习题3已知某一点的应力分量＜7、*，0yy'0zz＞，▽不为零，而0;?=。*=0，试求过该点和Z轴，与

X轴夹角为a的面上的正应力和剪应力。

［解］如图1.1,过该点和Z轴，与X轴夹角为a的面的法线，其与X轴，y轴和Z轴的方向余弦分别为

cosa,Sina,0,则由斜面应力公式的分量表达式，＜7(八,=匕5，可求得该面上的应力为

(T(刃］=Vj(7yj—xxCOS(X+。用，sin(X。(p)2=y/。?j=bytCOSCX+CyysinCXb(p)3=U//=0

由斜面正应力表达式。〃=0■产,可求得正应力为

0“=COS2a+2a„cosasina+sin?a??

剪应力为

T=卜(“)一°n|=J%”)/-0：=g(b»，-a.")sin2a+er守cosla

习题4如已知物体的表面由%z)=0确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷

p(x,y,z)。试写出其边界条件。

［解］物体表面外表面法线的方向余弦为

7=cos阮x)=

+/

m=COS(H,y)=/；

+«2+£2

n=cos(〃,z)=

依+«2+/：2

带入应力边界条件，7j=为"八(i,J=1,2,3),得

fl"XX-〃)+fy0xy+fzaxz=。

fxOyx+fy-P)+/>.vz=0-

+f'yOyy+/；(<Tz2-p)=0

习题5已知某点以直角坐标表示的应力分量为，ayy,azz,axy,,ayz试求该点以柱坐标

表示的应力分量。

［解］如图1.2,两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示:

Xyz

rCOS0sin。0

6-sin0cos00

Z001注意

由应力分量转换公式＜7■。，求得

mnjn

27.

(yrr=(Jxxcos0+<Trvsin~6+20rqsin0cos0

o=asin26+cos20-2bsin0cos0

oexx。vvAy

cy。"

22

(y,.e=-axxsin0cos0+aVl.sin0cos6+axy(cos^-sin0)=。8.

er①=(Tvxcos0一吗sin3=(yze

ozr-avzsin0+azxcos0

利用三角公式可将上面的式子改写为

_axx+%平

+----cos2。+crsin2。

rr-22-

aa

_xx+yyXX

----cos20-asin20

6缈=―2—2xv

a,.e=-------------sin28+acos20

2尸

=arvcos0-sin0=oze

%.=<yV2sin3+wcos0

（oa（jbo、

习题6一点的应力状态山应力张量（qj=aaGco给定,式中，a，h。为常数，。是某应力值,

3。c<y

以使八面体面n=专（e1

求常数-b,+e2+©3）上的应力张量为零

［解］由斜面应力公式的分量表达式，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组:

一尸((T+4。+b(y)=0,—=(acr+a+ca)=0,—=(ba+ccr+a)=0

V3V3y/3

解得a=b=c=-,

2

习题7证明（I）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力6，。2，g必为实根

［证明］

（1）设任意两个不同的主应力为々、内，对应的主方向为A、n.O根据主应力定义有:

n7nn

®（k）=k,«=<Ak>°（/）=/•o=o-tn/

将以上两式分别点乘n*和n,再相减，得

nk-=（T/A-CT/ii|»nk

。是对称应力张量，上式可改写为

0=（cr*-CT/）nk«n（

所以应力的三个主方向互相垂直

（2）设任意两个不同的主应力为4、al>对应的主方向为）、、（4,机2，”2）

ff

nk•n।=0,二/&+"71+〃i〃2=0

若巧为复数，则%为其共一复数，从而方向余弦n*（/］,叫,由）、n«2,啊,"2）互为共辅

/,/2+m1m2+«］«2>0与主方向相互垂直矛盾

所以三个主应力必为实数

习题8证明球形应力张量。在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为丐“

［证明］球形应力张量=<7,一送|+<T„,e2e2+<T,„e,e3,设任意斜面的方向余弦为n。”?,”）

由斜面应力公式C（n）=G・n,得C（n）=+m。“遇2+〃<7,展3

由斜面正应力公式on=ff（n）*n,得0n=（/2+"/+〃2）cr,“=cr,"

由斜面剪应力公式，得7=卜（"）-玛卜J|G（"）|2_或=J（/2+加2+M）cr：-b：=0

习题9求应力偏量张量的不变量

［解］应力张量。可分解为球形应力张量和应力偏量张量S,(C”=；(61+0"22+63))

应力偏量张量S=(Sjj)=9厂3ijOm)，其主应力方程为n・S=S〃n,即巧(S厂S〃%)=0(j=1,2,3)

S12SI3

上述方程存在非零解力的必要条件是系数行列式为零，即521522-S23=0

$31S32833-5〃

得至|J关于S〃的三次代数方程，S；—，S：+咐「八=0

其中4，4和人分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量

设S］,S2和£为应力偏量张量的三个主值⑸=6-。〃?)，则

</：=S”4-^22+S33二b】［+<J22+C33-3。川=°

=(S22s33+S^S^+S^S22)-(S^+S；[+S^2)=SB?+S2s3+S3S]

S[1S]2S]3

§21S22S23

S31S32S33

习题11设中”为二阶对称张量，证明由6/=%/加〃。沁夕,〃导出的应力一定满足无体力的平衡方程

［证明］・・,Oij、j=-"qn、pmj又「?加J关于相，/反对称，%“冲关于加，/对称

3j,j=/pqejmn"〃、pmj=0,即ij=胸。加〃外〃回满足无体力的平衡方程，6j,j=。一忽略体力下的平衡

微分方程

5x10

习题12已知直角坐标系中各点的应力张量(bj=5x1

02X3,试求体积力分量

02X30

k

［解］根据平衡微分方程%j+F,=0,J/=1,2,3),得对谁偏导的问题

(Ia%,

dyxx9(7r.L八

+——+FY=0

dx)dzx

肛.

dCTyy._i,".k_n

dxdydz'

壮My+a^zz+"一0

dx力dz

得体积力分量为

Fx=13X2,Fy=2,F:=0

习题13如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为丁，承受着比重为片液体的压力，已求得应力

axx=ax+by

解为%T=ex+dy-)y-＞试根据直边及斜边上的表面条件确定系数〃，方，c和d

axy^-dx-ay

[解]如图所示，建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为n(cos〃,-sin⑶，受外力匕=Q,P、,的作用

根据应力边界条件，Pi=叫/j,(z,7=1,2,3)，在x=Wg6处

0=(ax+by)cos/3+(-dx-ay)(—sin/3)

[卜

—2V=(一公一砂)cos/3+(cx+dy-Ay)(-sin夕)

水坝右侧表面法线的方向余弦为n(-1,0),受外力2=y=0的作用

根据应力边界条件，4=4町，(厉=1,2,3),在j处

力歹=一(改+")]

0=dx+ay

由上述两个方程组，得〃=0,6=-y”c=xtg/3-2y、ag?B，d=-2外力是如何确定的

习题14如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为丁的液体，右侧为自由表面，试写出以

应力分量表示的边界条件。

[解]如图所示，建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为n(-cosa,-sina),受外力心=)ycosa,Pv=；vsin4的作用

根据应力边界条件，Pj=＜T,/w/,(z,y=1,2,3)，在工=»忠仪处

一axcosa-axysina=%cosa\

-axycosa-47、,sina=沙sina]

水坝右侧表面法线的方向余弦为n(-cos』,sin⑶，受外力2=%=0的作用

根据应力边界条件，眉=为町，(z,j=1,2,3)＞在》="〃夕处

axcosp-axysin4=0]

Oq,cosJ3-avsin=0\

第二章

习题1初始时刻位于（华,。2，。3）的质点在某时亥心的位置为b=%+姐3；%2=。2+总3；m=。3，其中

女二10-5,求格林应变张量的分量。

［解］采用拉格朗日描述法，％=阳-6=%.（%,外，％），得

u।=ka3；"2=ka3；〃3=0

由格林应变张量，E=EiJeie-）,Eij=（M;y+uy+umiunij）,得

加3加］dudu2加2加3加3

厂厂1}==-^=5xl0-6

Ei3=々1=5----：—|4-----4------

2

3(7］3(71da5--加1加3加］加3

加］加2加2

+----

da2da2da2

11du2+加3+加［加］+du2加2+加3加3jX

=£32=L=510-6

21加3加2加2加3da2加3加2加3)2

1(加3加3加1加1讪2加)加鼻

=------1------1-----------1------------1-----0

21da3da3加3加38外加3加3

习题2证明,,是二阶对称张量的分量，而将不是任何张量的分量。

I证明］

（1）%=；（〃,；/+“〃），显然可得其对称性

对于笛卡尔直角坐标系。盯Z和ox》'z',各坐标轴之间的方向余弦如下表

XZ

/

X/1叫勺

/

，2n

ym22

Zh加3〃3

由弹性力学理论知，叼，=四，4力与.，恰与张量定义相吻合，

・•・&是二阶对称张量的分量

（2）设有一剪应变张量丫，其分量为・=2%-跖%=（2-得乐

取任一矢量叫=wA.ek,则

y・i）k=[2-6y）Eijeiei»nk=[2-3iJ）£iJnkeiei»ek

ejCj*ek=Pjkem,但（2-匹耳4.%不能缩并为E,„,与假设丫是张量矛盾。

根据张量的商判则，为不是任何张量的分量。

习题3为求平面应变分量蜃、邑、方，将电阻应变片分别贴在X方向，与X成60°和120。方向上，测

得应变值以£（）、£60、£120表示，试求J、£y'4,

|解|平面应变状态下，沿X方向，与X成60。和120。方向上的方向余弦分别为

V[（l,0）；丫2（；，日）；丫3（一；，当）

根据V方向线元的工程正应变公式，£v=£vviVj,得

。=£x

求得

£x二£。

c_2%0+2£]20-

c—

yv3

“2£60—2£]20

习题4假设体积不可压缩位移W1（X1,X2）与〃2（、1，叼）很小，〃3三。，在一定区域内已知

%=（1-若]（4+如+以"，其中b,C为常数，求〃2（'1，》2）。

[解I题目条件适用小变形，%=;（町J+u〃）,得

、

（1YW+2CXJ_》2.+的+鬲）+；等0

1du2

£=-X2（a+如+鬲）+，如也

2\'"2切dx22dx3

0工也0

L2比z

体积不可压缩，•••-22+3。"22=普&-如2鹏）

x一）一（；/-x

即〃2=C£22^X2=（b+2cxj^23020

习题5在平面应变状态F,使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式，写出在极坐标中

的应变和位移的关系式。

［解］在平面应变状态下，由应变分量转换公式，£盯=而介，问,得

22

£rr=£双cos6+£yysin0+£xysin26

22

£缈=Exxsin^4-£vycos0-exysin20■（1）

££,

£..n=—--sin28+———sin26+scos26

，“22号xv

代入％=;（盯J+〃）,即

£-

£=

3

u=urcosO-ueSAnO1（4）

v=urcsin04-uecos

因此,

将式(2)-(6)代入式(1),得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式:

dut.

dr

1

£eo~------1---

rdO

。du0ue1du,.

习题7证明由下式确定的应变%+4.)恒满足变形协调方程，0时必%,w=0。

［证明|•・•£"=

eeeeU=

mjk,iil^ij,kl--mjknil+j.ikl）I”?emjl!uijkl+emjke„uujikl）

对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关

/.孙,而关于々对称；町,而关于i，/对称

对于排列符号

e9关于%反对称；关于i,/反对称

eueu

mjki,jkl=°；nUjtikl=°

即应变%恒满足变形协调方程，e.e..H=0

习题8假定物体被加热至定常温度场7(修,工2，》3州寸，应变分量为£[1=£22=£33=W；%2=匕1=匕2=0，

其中a为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场7的函数形式。

£

[解|由应变协调方程，EiJkl+£kuj-£ikjrjuk=°，得

a2（w）_M（w）_a2（M）_a2（M）_a2（w）_M（w）_0

dx^dxjdxjdx}dx2dx2dx38必取］

又定常温度场T（X1,与，X3）应满足拉普拉斯方程，（畀+W+券）7=0

故7n》2,%）的函数形式中不应含有高于或等于2次的项

温度场7的函数形式为

T{x\,X2，x3］-kxxx+k2x2+k3x3+c

其中，k2,自和c均为常数。

习题9试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程

［解1轴对称平面应变情况下，应变分量为

du

p=——r•£0=上；£rO=°

'dr'r

dUnlrJduu

/.r------=Jr------=--------

drdrdrr

因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为，.华=华_"

drdrr

习题10在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变£二为常数，试确定其余两个应变分量和%的友达

式（材料是不可压缩的）

［解I平面轴对称情况下，变形协调条件为：r也+%-3=。

ar

当材料不可压缩时，体积应变为零，即£,+%+£。=0,代入上式，得

厂也!_+2分-£,=0

dr°-

解得%=_%+=；式中，C是右边界条件确定的常数

2户2r2

习题11试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。

［解］均匀变形状态可表示为

名=。；£y=b;e,=c;%yyz=y2y=d2;y,v=yxz=d3

其中，“;b;c;d|；d2；d3为常量

设均匀变形前的坐标为Xo；%"。，则变形后的坐标为

x=（l+j）xo；y=（l+£》o；2=（1+£“

曲面在均匀变形后变成球面，即x2+y2+z2=&2

略去刚体位移，当x、y>z为主轴时，变形前的坐标勺:必）*。满足

X：+/+=1

R2R2R2

(1+a)2(1+〃『(l+c)2

变形前半轴为含，含，含的椭球面在均匀变形后会变成球麻

特别的，当J=£,.=£/时，表示球面均匀变形后仍为球面。

u=+a2y+ci3z

习题12若物体内各点的位移分量为y=dx+b2y+/z»,其中，生;4;缶（i=1,2,3）均是常数。

w=c]x+c2y+c3z

试证明，物体内所有各点的应变分量为常数（这种变形状态称为均匀变形），并分别证明在均匀变形后

的物体内有：

（1）直线在变形后仍然是直线；

（2）相同方向的直线按同样的比例伸缩：

[证明]由位移分量求得物体内各点的应变分量为

£

xx=«1>£抄=方2，£ZZ=C3

%,=。2+如Yyz=b3+C2,右=。3+。1

即物体内所有各点的应变分量为常数（均匀变形）

（1）若物体内任意一点尸（x,y,z）,变形后变为P'（x',y',z'）坐标x;y;z和x';y';z'之间的关系为

,

x'=（l+£j;y=（l+fw,）y;z=（l+£z.）z（2）

变形前，直线上的点尸（1X],,22。2，），2,22）和尸3（》3,乃,Z3）满足

,巧72_乃一为Z3-2⑶

X2-X|y2-ytZ2-Z1

将式（3）代入式（2）,并整理，得

状-x；=其=zj-z,

f/—，，­//

出7|y2-y}Z2F

式（4）表明直线在均匀变形后仍然是直线

（2）变形前连接两点片区,力当），&。2，为/2）的直线长度为r，方向余弦为/、，八〃，变形后的两

对应点P；（x；，K，zj）,用（4,%M）的直线长度为/,方向余弦为/‘、M、（图2.1）

|PM|='=JKZ-X；）?+（区一"）2+（Z；-Zj）2

将式（2）代入上式，得

-=J（1+£XJ（X2-X|）2+（1+£抄汽乃一乃尸+（1+£ZJ（Z2-ZJ2⑸

将上式两端除以「，得

=J(1+£J-+(1+£抄)2加2+(1+%)2M

而匚=匕生=1+£八其中，号为r方向的应变（6）

rr

对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦/、加、〃，在均匀变形情况下，由式（6）和（7）,知为

常数。即

相同方向的直线按同样的比例伸缩；

习题13物体的位移对称于坐标原点，试用球坐标和笛卡儿坐标表示位移分量和应变分量。

1解1位移对称于坐标原点，则任意一点的位移〃,沿半径向量r的方向，并且只是厂的函数,

科=%=0。

aed(p

(i)由球坐标系中的应变一位移关系，得

£----

“dr

1(1加。八1.u

》Ysin。ae”+/喻。=~〃即g0+—r

1加。uU

£娜=--寸■+—=—

ro(prr

1durd(空]=_丝

Yre一si.n(/p00+尸oar\r)r

13/方,加。1〃。以g。

/砌=.Mg(〃&SITM+a/=，,

rsin(pd(p

=z---

了6步(〃Jr6(p

(2)笛卡儿坐标中

u，/、u

u=—rx=f(r)x;v=—ry=f(r)y,w=—z=f(r)z

rrr

式中，r=y]x2+y2+z2，/(r)=—

r

因此，由€jj=g(〃jj+〃八J,得

乙、V#(£).2xydf(r)

£*=/(")+.v

rat,丁孙一raJr

r)”2yzdf(r)

rdr,%=raJr,

r)v_2zxdf(r)

rdirar

一第三章弹性本构关系和弹性问题的求解习题

习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力

方向和主应变方向相重合？

解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：

=C“£a+C12^+Jz+C|4/.n.+。15八z+%x

。抄=C2\£XX+C22£yy+C23£zz+C2AYxy+ClsYyz+C2f»Yzx

°zz=03EXX+。32%+°33£ZZ+++。36九

(a)

Jy=C4\£XX+C42£yy+C43^zz+C4AYxy+C4sVyz+C4bYzx

%z=C5lZvx+。52£”，+。53怎2+。54九y+CSsYyz+056rH

CC

，zx=6\^xx+62^yy+063gzz+C64yxy+。657产+。66%工

当=马2=^^=0时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当Zw=7尸=/x二°时，三个

互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为：

^xy~Q1Z*+C42£yy+C43£zz

^yz=C5\^xx+C52^yy+C53^zz(b)

“zx=C6\^xx+C62^yy+063Czz

若使My=7产=&r=0,则式中£.,£抄，£=具有非零解的条件为

。41。42。43

。51052°53=°(C)

C6lC62。63

上式即为x,y,z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平

面，则弓5=。16=。25=。26=。35=。36=。45=。46=。，而且0二。“此时(C)式恒等于零。在此情

况下，当存在以X,y,Z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为

Qy=QlJx+C42^yy+C43£zz

Tyz=0(d)

若应变分量之间满足％=C^\£xx+。42%，+。43七=0，则此点的应变主方向和应力主方向重合。

如果材料性能对称于Oxy,Oyz,Ozx三个平面，则有=c24=C34=。56=。，此时㈠)式总是满足

的。由此可知，当x,y,z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交

轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主

方向和应变主方向总是重合的。

习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进步证明：当其主

应力的大小顺序为cr,>(T2>时，其主应变的排列顺序为£]>E2>Ei,.

解：各向同性条件下的广义虎克定律为

£xx=[Lm-U(CTn,+bzz)]—(1)

E

£yy=-皿+J]—(2)

£・=凯7—)

将上式中的(1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)分别得：

E-£=1+一(b-(J)即-G-£)=2G(£-£)

yyzz£'冲在/yyzz\-\-y'XVzz)'抄zz/

/-I=~_Sz_%Jb”—(yxx-----------(£”-4)=2G(£”—£)

E1+iz

证明：当其主应力的大小顺序为cr,>cr2><T3时，其主应变的排列顺序为£„3「:G>0

且必2%，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有与？J?弓。

习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力p=0.45N//w/作用下，测得体积应变

e=—3.6x10-5,若泊松比v=0.3,试求该物体的弹性模量E。

解：设。=CT铉++CT”=/*为第一应力不变量，而(7“==cr„=-p,

“txyyzzAAXiyyzz，

26

€)=(7*+<7n.+cr„=—3p——1.35N/mm=—1.35xl0/?«

1-2r

据各向同性条件下的广义虎克定律为有：e=，其中体枳应变

E

e=%+£+&-=-3.6x10-5,故有

"jyvyr"

£=^^0=1-2X0.3(,135xl06\=15><1010^/???2=15xlo4jV/ww2。

e-3.6x10-5'>

习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力p,且横向变形完全被限制住(如图所示)。

试求应力与应变的比值(称为名义杨氏模量，以心表示)。

解：设柱体的轴线z轴，（y：:=-p^因为横向变形被限制，所以=0。据各向同性条

件下的广义虎克定律

+"］=（）

E刀

%，=3尻「一皿+。）］=0

%=*=-必+%.）］

得：+（7"）,ay=v（（yxx+cr::）,将此两式相减得：

crx-（rvy-v^yy-<T„）.而泊松比n的理论取值范围为-1<V<1/2,故

（7“==吆三，将其代入广义虎克定律得：

1-r

="[0_2仁」="

1-v

从而

图3-1=0=(~)E

得解。

'%(1+^X1-2^),

习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60和90方向上的正应变，其值分别为

6

fo=-lOOxlO-,々0=50x10-6,£90=150x10-6,试求该点的主应变、最大剪应变和主应力

（E=2.1x10、N/mm~v—0.3）。

解：设该点的X,y轴向的正应变分别为J,ey,剪应变为％w。任意方向。（a为与X轴正向的

夹角）上的正应变为：

£„-------H-------cos2a----sin2a,

a222

所以飞；,线。=J；£"+J；4cos1200•-勺sin1200,

与。=空&—%二殳，解由此三式组