概率论与数理统计yygltj

技大第四章数字特§4.2方 例1设三个连队（各一百人）

⑩⑨⑧

E[XE(X)定 若E(X2)存在，则称E(X-EX)2为X的方差E(X2)D(X)=E[X2E(X2)对

D(X)=

=x

pi对C.R.V：D(X

∞(xEX)2f(x)dx

∞x2f(x)dx 环连环连 ⑨ E(X22)=102×0.75+L+72×0.07= D(X2)=例2设 求D(X)E(X202×(1p)+12×pD(X)=pp2=p(1 2

解E( )k

(k11) k (k2

k

k

(k

k1(kD(X) 60x E(X2)=0x

2exdxx2ex

2xexdx000 xexdx=00 D(X)=

(1

=

ttDXt

(x)22

2

te

te2 = D(X)≥0，且 分布D(cX)=E[cXE(cX)]2D(X+X

X1与X2D(X)+D(X

+X2+X2=D(X1)+D(X2)当X1与X2独立时,=E(X1EX1)E(X2EX2)例6设X~B(n，p求D(X)解设Xi~B(1，p)，i=1,2,…,n，相互独立niX=in

~故D(X)==故YX~7YX~求EY和DY1 E(Y)E(XEX E(XEX)1XD(Y)X

)(DX

D(XEX) 容 主讲人 间：第十五周一、十六周一、三第九~十二节 月

§4.3协方差和相关系数Cov(X,Y)=E[(XEX)(YEY=E(XY) 1°Cov(X,Y)=Cov(Y,X2°Cov(aX,bY)=abCov(Y,X3°Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,YX与Y不相关：Cov(XY定理1（1）Cov(X,Y)=（2）E(XY)=E(X)E(Y（3）D(X+Y)=D(X)+D(Y证明 Cov(X,Y)=E(XY)Cov(X,Y和D(X+Y)=D(XCov(X,Y定理2X与Y相互独立，则X与Y例1设X~N(0,1)，Y=X2，求Cov(XY)解Cov(XYE(XYE(X)E=E(X3)0×E(Y)

e2dx=Cov(XYE[(XEX)(YEY)]D(XDD(XD(Y

Cov(X,Y

D(XD(X

与X有相同的量2例2（P例4.30，32）设(XY~N2解Cov(X解Cov(X,Y)uvyu1 e[21u1u22 2(122(ue 1 22du] 2 2

2

12[说明]对正态分布，X与Y独立X与Y|XY|Cov2(Cov2(X1,Y1)≤D(X1)

a,b∈R，使P(Y=aX+b)=1X=X1E(X1Y=Y1E(Y1)|XY|≤ E(Y1aX1)2= D(Y1

P(Y=aX+b练习10.5设X与Y独立，都服从N(0,1)，以f(x,y)表示(X,Y)f(x,y)xy x2y2

x2y2 明：U,V都服从N(0,1)，但 g(x,y)dxdy

[f(x,y)xy

f(x,y)dxdy

xy

x2y2

1(x2y2

g(x,

x

≥

xy

(x)Q1x2Q

g(x,y)dy

f(x,y)dy同理g(x,y)dxy)，但g(xy)≠f(x练习11.4设二维 量(X,Y)的联合密度函数为解fZ(z)f(x,z解fZ(z)f(x,zzzdxz20z1zdxz(210z1z其 0

0x,y其习题练习9.3设二维 量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)4

0x,y 0 求(X,Y)的联合分布函数解x2y2

x0或y0x,y F(x,y)

y2 x1,0yx21

0x1,y x1,y习题 的概率分别为0.08，0.14，0.20，0.26，0.32，试求在一楼乘上电梯的15人中，恰好有1,2,3,4,5人分别在2,3,4,5,6层下电梯的解记Xi为在第i层下电梯的人数，i=2,3,4,5,6，P(X21,X32,X43,X54,X6

=C1C2C

C4C 0.0810.1420.2030.264 0.78 0.78 0.780.2030.58PC10.080.9214C

0.1420.78

C9C9

140.920.92 0.320.320.320.2640.320.58习题 U

XY

V

X2Y XY求U和V

X2Y