第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

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空间点、直线、平面间的位置关系一、选择题1.(2015湖北卷)l表示空间中的两条直线是异面直线，l2

不相交，则()p是充分条件，但不是q必要条件B.

p必要条件，但不是q充分条件C.

p充分必要条件p不是充分条件，也不是q必要条件解析

直线l

是异面直线l与l

不相交p是充分条件；若l与l不相交，那么l与l可能平行，也可能是异面直线，所以是q的必要条件.故选A.答案A2.(2017郑州联考)已知直线和平面，βα∩＝，⊄，⊄β，且在，内的射影分别为直线b和，则直线bc的位置关系是()相交或平行C.平行或异面

B.相交或异面相交、平行或异面解析

依题意，直线b和

的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确1个或3平.其中正确的序号是()①B.④C.②③③④

1111111111111解析

显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1或3个平面，则命题④正.答案B4.(2017济南模拟)c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()若直线，b面，，c异面，则，c异B.若直线，b交，，c

相交，则，c

相交C.若∥，则，b与

所成的角相等若⊥，⊥，则∥c解析

若直线，b异面，，c

异面，则，c

相交、平行或异面；若，b相交c相交，则c交、平行或异面；⊥⊥，则c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知正确.故选答案C5.已知正方体－ABCD中

分别为的中点，那么异面直线DF

所成角的余弦值为()4A.5

B.

35

C.

23

5D.7解析

连接，则∥，∴D异面直线AE与F设正方体棱长为，

所成的角.

111a＋a221111111111111a＋a22111111111111111111111则＝，＝

52

，D＝

52

，∴cosD＝答案B

55552aa22

－23＝.5二、填空题6.如图－ABCD中CD，CC中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与MB是异面直线；④直线与成的角为60.其中正确的结论为________(序号).解析，，C三点共面，且在平面B，但∉平面C，C∉，因此直线是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错B三点共面，且在平面中，但∉平面MBB∉MB因此直线与MB是异面直线，③正确；连接D，因为∥，所以直线与成的角就是DC成的角，且角为60.答案③④7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α，且，则直线

与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_______.

11111111111111111111111111解析

取的中点，连接，.在正四面体中，由于⊥，⊥，且∩＝，所以⊥平面，所以⊥平面则平面与正方体的左右两侧面平行与之平行余四个平面相交.答案48.(2014全国Ⅱ卷改编直三棱柱ABC中，＝90°N分别是AB，AC的中点，＝＝CC则BM与所成角的余弦值为________.解析如图所示，取BC点，连接，，.∵，N分别是B，C的中点，11∴綉BC.又BD綉BC，22∴綉，则四边形平行四边形，因此∥，∴为异面直线BM成的角或其补角.设＝2则＝＝6，＝5，＝5，在△中，由余弦定理得∠＝

2＋2－2AN

＝

3010

.故异面直线与成角的余弦值为

30.10答案

3010三、解答题

11111111111111111111111111111111111111111111111111111119.如图所示，正方体－ABCD中，，N分别是AB，BC的中点.问：(1)和是否是异面直线？说明理由；(2)B和是否是异面直线？说明理由解(1)，不是异面直线理由：连接，AC，.因为，N分别是AB，BC的中点，所以∥AC.又因为AAC，所以四边形为平行四边形，所以AC∥，所以∥，所以，，，C在同一平面内，故不是异面直线.(2)线B和是异面直线.理由为－ABCD是正方体以不共.假设B与不是异面直线，则存在平面α，D平面，CC平面α所以，，，C∈α，这与，，C，D不共面矛盾.所以假设不成立，即B和是异面直线.10.都月考如图所示，在三棱锥－ABC，π⊥底面D是中点.已知，＝2，2＝23，＝：(1)棱锥－的体积；(2)面直线与成角的余弦值.

1解(1)＝×2×22

3＝23三棱锥－的体积为＝

11＝×233

3×2

43

3.(2)图，取PB中点，连接，则∥，所以∠是异面直线BC成的角(或其补角).在△中，＝2＝

2，＝2，cos∠

2

2＋2－23＝.2×2×243故异面直线与成角的余弦值为.411.下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点D面，点E共面，则点E共面；③若直线，b面，直线，c

共面，则直线，c

共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾其中任意三点不共线以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点，，，但是若，，C线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.

1241223314l∥l1241223314l∥l与l1411112341122334141414141141答案B12.空间中四条两两不同的直线llll，满足l⊥ll⊥ll⊥l，则下列结论一定正确的是()l⊥l

B.

1C.

14

既不垂直也不平行

l与l

的位置关系不确定解析

如图，在长方体－ABCD中，记l＝l＝l＝.若l＝满足⊥ll⊥ll⊥l，此时l∥，可以排除选项A若取CDll与l则l与相交且垂直.

相交取l与

异面D为l，因此l与答案D

的位置关系不能确.13.图，正方形等腰直角三角形所在的平面互相垂直＝290别是线段，BC中点，则所的角的余弦值为________.1解析取中点，连接，.由题设，.2∴为异面直线成的角或其补角.在△，可求＝2，＝＝6，∴cos∠

2662×26

＝

36

.答案

36

14.图，在四棱锥－，底面是边长为正方形，⊥底面，＝2，M为的中点.(1)四棱锥－体积；(2)异面直线所成角的正切值解(1)由