第 8 讲 (学生2份) 正方形的性质及判定

第8讲正方形的性质及判定重、难点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。难点：正方形知识的灵活应用知点1．正方形的定义：有一组邻边等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边性质：对边平行，四条边都相等．②角性质：四个角都是直角．③对线性质：两条对角线互相垂直平分且相等•条对角线平分一组对角．④对性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

平四形正矩方菱形平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．例精一正形性【铺垫】正方形有条称轴．例1、⑴已知正方形BDEF的长是正方形ABCD的对角线，则S:正方正方⑵如图，已知正方形ABCD的面积为，F在CD上点在的长线上，且AF，则BE的长为AE

DFC（图正形ABCD中E为AB边中点，分别为AD，BC边上的点BF，则GF的为．例2如图方形ABCD的长为圆心长为半径画弧交对角线BD于E接，P是上任意一点，于M，BDN，则PMPN的值为1

D

M

练习1、如图所示，正方形ABCD对线AC与BD交于，MN∥，且分别与、交于M、N．试探讨BM与CN之的关系，写出你所得的结论的证明过程．

COM

N

例3、已知正方形ABCD，AD、上别取、F两，∶2∶，证：等腰直角三角形．EHDF例1、

例4图知EF别是正方形ABCD的CD上的点，AE、AF分与对角线BD相于M、，50CMECNF

．D

FN

CEMA例5、☆如图，四边形ABCD为方形，以为向正方形外作正三角形，与相交于点，则AFD2

ABCD4BEMEABCD4BEME3D

例6图方形ABCD中的延长线上取点EFECE于，G．求证：GHD是腰三角形．

FCDF结BF分交CD，

D

FH

练习2方顶点引∥BD

BE与AD延长线的交点为证DFDE．

DFG例7如所示在方形ABCD中、AN是内两条射线，BKAK，BLAN，DMAK，AN，求证KL，KLD

A练习3、☆知：如图，在正方形BCD中是CD上点，延长BC到，CCG，连接BG并长交于F（）证：

≌DCE

；（）DCE绕D时针旋转90DAE四形是么特殊四边形？并说明理由．AE

DG

FB

C

E例8、若正方形的长为，为边一点，，

为线段

AE

上一点，射线

BM

交正方3

FBFAEFBFAE形的一边于点，且，则的为．例9、如图1，在方形ABCD中、F、、分为边AB、BC、、DA上点，HAEBFC，连接EG、FH，交点为．⑴如2，连接EFFGGH，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；⑵将方形ABCD沿线段EG、HF剪，再把得到的四个四边形按图的方拼接成一个四边形．若正方形的边长为，HAFC1cm则图3阴影部分的面积为_________．DGC

DF

FH

O

H

图

B

图

B

图练习4如正形ABCD对线相交于点点别是BC、CD上的点，AQ求）OQ.O

QPC例10、如图，正方形中F是边上两点，且AEFCDGEF于G，求证：DGDA

D

F

C练习5、如图，点N分别在正方形ABCD的边BCCD上已知的周长等于正方形ABCD周的半，求的数D

MB6、如图，设EF∥正方形ABCD的角线AC，延长线上取一点，AGAD，EG与DF交，证：AH形的边长．4

ADEHBFC例11把方形绕着点A顺时针方向旋转得到正方形AEFGFG与交点H如图问线段与段相等吗？请先观察猜，然后再证明你的猜想．D

G

CHA

BE

F练习7、如图所示，在直角梯形BCD中ADBC，ADC90是AD的直平分线交AD于点以腰为作正方形，l于，证2EP2CD.l

M

D

F二、正形判例1、四边形ABCD的个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH，证：⑴四边形对互补；⑵若四边形为平行四边形，则四边形为形．⑶四边形ABCD为方形，四边形为方形．AB

GH

FE

D练习

1如已平行四边形ABCD中对线、BD交于点O，是BD长线上的点且ACE是等边三角形．⑴求：四边形是菱形；⑵若，求证：四边形ABCD是方．5

DO

例2图是形ABCD边的中点AB是边一动点MCBM，垂足分别为E、F，点运到什么位置时，四边PEMF为方形．A

M

DF

EB

P

C例3、☆如图，是长为1正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AEa，S

则b=EFGH3A

E

DFB

HC练习2、如图，A在段上ABCD和DEFG都正方形，面积分别为

和1cm

，则的面积为EC

DFB

G3、☆如图，在正方形ABCD中点P为正方形内的两点，且PBPBABCBPPBP，则6

D

C例4、如图，若在平行四边形各上向平行四边形的外侧作正方形，证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．EN

D

CA

B

QPM例5、已知：PA2，，AB为一边作正方形，使、D两点在直线的侧（）图，当∠°，及的长；（）∠变，且其它条件不变时，求的大值，及相应∠APB的大小D

FCAP练习1.如，正方形中，是对角BD的交点，过点OF，分别交AB于，若，OF

D2.如图所示，ABCD是方形，E